교대 부호 행렬

{\displaystyle{\begin{행렬}{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\\0&, 0&, 1\end{bmatrix}}\qquad{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\\0&, 1&, 0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&, 1&, 0\\1&, 0&, 0\\0&, 0&, 1\end{bmatrix}}\qquad{\begin{bmatrix}0&, 1&, 0\\1&, -1&, 1\\0&, 1&, 0\end{bmatrix}}\qquad{\be.gin{bmatrix}0&, 1&, 0\\0&, 0&, 1\\1&, 0&, 0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&, 0&, 1\\1&, 0&, 0\\0&, 1&, 0\end{bmatrix}}\qquad {\bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0\end{bmatrix}\end{bmatrix}}}

3 사이즈의 7개의 교대 부호 행렬

수학에서 교대 부호 행렬은 각 행과 열의 합이 1이고 각 행과 열의 0이 아닌 항목이 부호로 번갈아 입력되는 0, 1 및 -1의 제곱 행렬이다. 이러한 행렬은 순열 행렬을 일반화하고 결정 인자를 계산하기 위해 Dodgson 응축을 사용할 때 자연적으로 발생한다.^{[citation needed]} 그것들은 또한 통계 역학으로부터 도메인 벽 경계 조건을 가진 6-Vertex 모델과 밀접한 관련이 있다. 그것들은 윌리엄 밀스, 데이비드 로빈스, 하워드 럼시에 의해 전자의 맥락에서 처음 정의되었다.

예

순열 행렬은 교대 부호 행렬이고, 교대 부호 행렬은 항목 없음만 -1일 $경우$ 순열 행렬이다.

순열 행렬이 아닌 교대 부호 행렬의 예는 다음과 같다.

퍼즐 그림

{\bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0\\0&1&1\0&0\end{bmatrix}.

교대 부호 행렬 정리

교대 부호 행렬 $n\times n$ 에는 $n\times n$ $×$ n {\ $displaystyle$ n $\time$ n} $교대$ 부호 행렬의 $수$ 가 다음과 같이 명시되어 있다.

\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{{n+k)!}}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots(3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots(2n-1)!}}.

n = 0, 1, 2, 3에 대한 이 시퀀스의 처음 몇 항은 다음과 같다.

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (OEIS에서 연속 A005130).

이 정리는 1992년 도론 질베르거에 의해 처음 증명되었다.^[1] 1995년 그렉 쿠퍼버그는 아나톨리 이제르긴으로 인해 결정적인 계산을 사용하는 도메인-월 경계 조건을 가진 6베르텍스 모델에 대한 양-백스터 방정식을 바탕으로 짧은 증거를^[2] 제시했다.^[3] 2005년에 일스 피셔는 운영자 방식이라고 불리는 것을 사용하여 세 번째 증거를 제시하였다.^[4]

라즈모프-스트로가노프 문제

2001년에는 A. 라즈모프와 Y. 스트로가노프는 O(1) 루프 모델, FPL(완전 포장 루프 모델)과 ASMs의 연관성을 추측했다.^[5]이 추측은 칸티니와 스포티엘로에 의해 2010년에 증명되었다.^[6]

참조

^ Jeilberger, Doron, "교대 부호 행렬 추측의 증명", 전자 저널 of Combinatorics 3 (1996), R13.
^ 쿠퍼버그, 그렉 "교대 부호 행렬 추측의 또 다른 증거" 국제 수학 연구 노트(1996), 139-150.
^ "6-Vertex 모델의 결정 공식", A. G. 이저긴 외 1992 J. 체육 A: 수학. 25 4315 장군.
^ Fischer, Ilse (2005). "A new proof of the refined alternating sign matrix theorem". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 114 (2): 253–264. arXiv:math/0507270. Bibcode:2005math......7270F. doi:10.1016/j.jcta.2006.04.004.
^ 라즈모프, A.V., 스트로가노프 유.G., 스핀 체인과 콤비네이터, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.
^ L. 칸티니와 A. 스포티엘로, Razumov-Stroganov 추측의 증명 시리즈 A, 118 (5), (2011) 1549–1574,

추가 읽기

브레수드, 데이비드 M, 증명 및 확인, MAA 스펙트럼, 미국 수학 협회, 워싱턴 D.C., 1999.
브레수드, 데이비드 M. 그리고 프로프, 제임스, 교대 부호 행렬 추측이 어떻게 해결되었는가, 미국 수학 학회의 통지서, 46 (1999), 637–646.
밀스, 윌리엄 H, 로빈스, 데이비드 P, 그리고 럼지, 하워드 주니어, 맥도날드 추측의 증명, 발명품 매스매티카에, 66 (1982), 73–87.
밀스, 윌리엄 H, 로빈스, 데이비드 P, 럼지, 하워드 주니어, 교대 부호 행렬과 하강 평면 칸막이, 시리즈 A, 34 (1983), 340–359.
Propp, James, 교번 신호 행렬의 많은 면들, 이산 수학과 이론 컴퓨터 과학, 이산 모델에 관한 특별호: 결합학, 연산, 기하학(2001년 7월)
Razumov, A. V, Stroganov Yu. G, O(1) 루프 모델의 접지 상태 벡터의 결합 특성, 이론. 수학. 체육, 138 (2004), 333–337.
Razumov, A. V, Stroganov Yu. G, O(1) 루프 모델(교대 신호 행렬의 경계 조건 및 대칭 등급)), 이론. 수학. 물리적, 142(2005), 237–243, arXiv:cond-mat/0108103
로빈스, 데이비드 P, $1,2,7,42,429,7436,\dots$ , $1,2,7,42,429,7436,\dots$ , $1,2,7,42,429,7436,\dots$ 7, $1,2,7,42,429,7436,\dots$ $1,2,7,42,429,7436,\dots$ $1,2,7,42,429,7436,\dots$ … ${\displaystyle$ 1 $,$ 2 $,7,42,429,7436,\dots$ The Mathemical Intelligence, 13(2), 12–19(1991), doi:10.1007/BF03024081의 이야기.
Zeilberger, Doron, Proof of the proof of exter sign matrix assusion, New York Journal of Mathematics 2(1996), 59–68.

외부 링크

MathWorld의 교대 부호 행렬 항목
FindStat 데이터베이스의 교차 기호 행렬 항목

[1] Jeilberger, Doron, "교대 부호 행렬 추측의 증명", 전자 저널 of Combinatorics 3 (1996), R13.

[2] 쿠퍼버그, 그렉 "교대 부호 행렬 추측의 또 다른 증거" 국제 수학 연구 노트(1996), 139-150.

[3] "6-Vertex 모델의 결정 공식", A. G. 이저긴 외 1992 J. 체육 A: 수학. 25 4315 장군.

[4] Fischer, Ilse (2005). "A new proof of the refined alternating sign matrix theorem". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 114 (2): 253–264. arXiv:math/0507270. Bibcode:2005math......7270F. doi:10.1016/j.jcta.2006.04.004.

[5] 라즈모프, A.V., 스트로가노프 유.G., 스핀 체인과 콤비네이터, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.

[6] L. 칸티니와 A. 스포티엘로, Razumov-Stroganov 추측의 증명 시리즈 A, 118 (5), (2011) 1549–1574,

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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