증강 매트릭스

선형대수학에서 증분행렬은 주어진 행렬 두 개의 열을 추가하여 얻은 행렬로, 대개 주어진 행렬 각각에 대해 동일한 초등행렬 연산을 수행할 목적으로 한다.

매트릭스 A와 B가 주어진 경우,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\end{bmatrix},\quad B={\begin{bmatrix}4\3\\1\end{bmatrix},},}$

증강 매트릭스(A B)는 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle (AB)=\좌측[{\begin{array}{ccc c}1&3&2&4\\\2&1&3\5&2&1\end{array}\오른쪽]}$

이것은 선형 방정식의 시스템을 풀 때 유용하다.

주어진 알 수 없는 숫자의 경우, 선형 방정식 시스템에 대한 해법의 수는 시스템을 나타내는 행렬의 순위와 해당 증강 행렬의 순위에 따라서만 달라진다. 구체적으로 루체-카펠리 정리에 따르면, 증분 행렬의 순위가 계수 행렬의 순위보다 크면 선형 방정식의 어떤 시스템도 일관성이 없다(해결책이 없다). 반면에 이 두 행렬의 순위가 같다면, 시스템은 최소한 하나의 해답이 있어야 한다. 순위와 변수 수가 같은 경우에만 해법이 고유하다. 그렇지 않으면 일반 해답은 k 자유 매개변수를 가지며, 여기서 k는 변수 수와 순위 간의 차이이므로, 이 경우 해답의 불량이 존재한다.

증강 매트릭스는 또한 정체 매트릭스와 결합하여 매트릭스의 역행성을 찾는 데 사용될 수 있다.

행렬의 역행렬을 찾는 방법

C를 정사각형 2×2 행렬로 한다.

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}.}$

C의 반전을 찾기 위해 우리는 (C I)를 창조한다. 여기서 나는 2×2 아이덴티티 매트릭스다. 그런 다음 (C I)의 기본 행 연산만 사용하여 ID 매트릭스에 C에 해당하는 (C I) 부분을 줄인다.

${\displaystyle (C I)=\왼쪽[{\begin{array}{ccc}1&3&1&0\\\-5&0&0&1\end{array}\오른쪽]}$

${\displaystyle (I C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]}$,

그 오른쪽 부분은 원래 행렬의 역행렬이다.

해결책의 존재 및 개수

방정식의 체계를 고려한다.

${\displaystyle {\displaysty}x+y2z&=2\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{정렬}}}$

계수 행렬은

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\1&1\\2&2\\end{bmatrix},}$

그리고 증강 매트릭스는

${\displaystyle (AB)=\왼쪽[{\begin{array}{ccc c}1&2&2&2\\\1&1&1&3\2&2&6\end{array}\오른쪽]}$

이 두 가지 모두 같은 순위, 즉 2가 있기 때문에 적어도 하나의 해결책이 존재하고, 그들의 순위가 미지의 수보다 적기 때문에 후자는 3이 되기 때문에 해결책은 무한히 많다.

반대로 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle {\displaysty}x+y2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{정렬}}}$

계수 행렬은

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\1&1\\2&2\\end{bmatrix},}$

그리고 증강 매트릭스는

${\displaystyle (AB)=\왼쪽[{\begin{array}{ccc c}1&1&2&3\\1&1&1&1\2&2&5\end{array}\오른쪽]}$

이 예에서 계수 행렬은 2등급인 반면 증강 행렬은 3등급이다. 따라서 이 방정식 시스템은 해법이 없다. 실제로, 선형 독립 행의 수가 증가함에 따라 방정식의 체계가 일관되지 않게 되었다.

선형계 해법

선형대수학에서 사용되는 것처럼, 증강 행렬은 각 방정식 집합의 계수 및 용액 벡터를 나타내기 위해 사용된다. 방정식 집합의 경우

${\displaystyle {\displaysty}x+2y+3z&=0\\\3x+4y+7z&=2\\\6x+5y+9z&=11\ended}}}}$

행렬을 나타내는 계수와 상수 항

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\3&3\4&7\\6&9\end{bmatrix},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix},},},}$

따라서 증강 매트릭스를 제공한다.

B)=[ 3 4 ${\$A$B)=\좌측[{\begin{array}{ccc c}1&3&0\3&4$&4$&7\6&9&9&11\end{array$

계수 행렬의 순위는 3으로 증강 행렬의 순위와 같으므로 적어도 하나의 해법이 존재하며, 이 순위는 알 수 없는 숫자와 같으므로 정확히 하나의 해법이 존재한다는 점에 유의한다.

솔루션을 얻기 위해 증원 매트릭스에서 행 연산을 수행하여 왼쪽의 ID 매트릭스를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left[{\\put{array}{ccc c}1&0&0&4\\0&0&1&1\\\end{array}\right},}$

따라서 시스템의 용액은 (x, y, z) = (4, 1, -2)이다.

참조

• Marvin Marcus와 Henryk Minc, Matrix 이론과 Matrix 불평등에 대한 조사, Dover Publishments, 1992, ISBN0-486-67102-X. 31페이지.