쿼터니온 행렬

쿼터니온 행렬은 원소가 쿼터니온인 행렬이다.

매트릭스 연산

쿼터니온은 비 커밋 링을 형성하며, 따라서 쿼터니온 행렬에 대해 어떤 링 위의 행렬에 대해서도 덧셈과 곱셈을 정의할 수 있다.

덧셈. 두 개의 쿼터니온 행렬 A와 B의 합은 요소별 추가에 의해 통상적인 방법으로 정의된다.

${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\,}$

곱하기. 또한 두 개의 쿼터니온 행렬 A와 B의 곱은 행렬 곱셈에 대한 일반적인 정의를 따른다. 이를 정의하려면 A의 열 개수가 B의 행 개수와 같아야 한다. 그 다음 제품의 ith 행과 j번째 열에 있는 항목은 두 번째 행렬의 j번째 열과 함께 첫 번째 행렬의 ith 행의 도트 곱이다. 구체적으로:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}\,}$

예를 들어,

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{12}\\end{pmatrix},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\v_{22}\{pmatrix},}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},},},},}, {pmatrix}, {pmatrix},},},},},$

제품은

${\displaystyle UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.}$

쿼터니온 곱셈은 명확하지 않기 때문에 행렬의 곱셈을 계산할 때 인자의 순서를 보존하기 위해 주의를 기울여야 한다.

이 곱셈의 ID는 예상대로 대각 행렬 I = diag(1, 1, ... , 1)이다. 곱셈은 연상성과 분배성의 일반적인 법칙을 따른다. 행렬의 추적은 대각선 원소의 합으로 정의되지만 일반적으로는 대각선 원소의 합으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {trace}(AB)\neq \operatorname {trace}(BA)}$

왼쪽 스칼라 곱하기 및 오른쪽 스칼라 곱하기 정의:

${\displaystyle (cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad(Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,}$

다시 말하지만, 곱셈은 서로 상응하지 않기 때문에 요인의 순서에 따라 주의해야 한다.^[1]

결정인자

(제곱) 쿼터니온 행렬에 대한 결정 인자를 정의하여 결정 인자의 값이 쿼터니온으로 되도록 하는 자연적인 방법은 없다.^[2] 그러나 복합적인 가치 결정 요인은 정의할 수 있다.^[3] 쿼터니온 a + bi + cj + dk는 2×2 복합 매트릭스로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}.}$

이것은 m by n quaternionic matrix에서 2 by 2n by 2n complex matrix까지 각각의 quaternionic matrix를 2 by 2 bottom 표현으로 대체하여 지도 ψ을_mn 정의한다. 정사각형 쿼터니온 행렬 A의 복합 값 결정 인자는 DET(Det(A))로 정의된다. 결정요인에 대한 많은 일반적인 법칙은 유지된다. 특히, n by n 행렬은 결정요소가 0이 아닌 경우에만 변환할 수 있다.

적용들

양자역학 행렬은 양자역학과^[4] 다중역학 문제 처리에 사용된다.^[5]

참조