비자발행렬

Involutory matrix

수학에서 비자발적 행렬은 그 자체의 역행인 정사각형 행렬이다. 즉, A 행렬에 의한 곱셈은 A2 = I, 여기서 나는 n × n ID 행렬인 경우에만 비자발적이다. 비자발적 매트릭스는 모두 정체성 매트릭스의 제곱근이다. 이것은 단순히 비유동행렬에 그 역행렬을 곱한 것이 정체성이라는 사실의 결과일 뿐이다.[1]

예

× 2 실제 행렬 -a) &a\c&a은(는) + = 1.이면 비자발적인 것이다[2]

M(2, C)의 Pauli 행렬은 비자발적으로 다음과 같다.

세 가지 등급의 기본 매트릭스 중 하나는 비자발적인 것으로, 즉 행 상호 교환 기본 매트릭스다. 행이나 열의 곱셈을 -1로 나타내는 또 다른 종류의 초등행렬의 특별한 경우 또한 비자발적인 것이다; 사실 그것은 모두 비자발적인 서명행렬의 사소한 예다.

비자발적 매트릭스의 몇 가지 간단한 예는 아래와 같다.

어디에

  • 나는 3 × 3 아이덴티티 매트릭스(사소한 비자발적)이다.
  • R은 3 × 3 ID 매트릭스로, 쌍의 상호 교환 행이 있다.
  • S는 시그니처 매트릭스다.

비자발적인 매트릭스로 구성된 모든 블록 대각선 행렬도 블록의 선형 독립성의 결과로서 비자발적이다.

대칭

또한 대칭인 비자발행렬은 직교행행렬이므로 등측량(유클리드 거리를 보존하는 선형 변환)을 나타낸다. 반대로 모든 직교 비자발 행렬은 대칭이다.[3] 이것의 특별한 경우로서, 모든 반사 매트릭스는 비자발적인 것이다.

특성.

어떤 분야에서든 비자발적 행렬의 결정요인은 ±1이다.[4]

A가 n × n 행렬인 경우, 만약 (A + I)/2가 idempotent인 경우에만 A가 비자발적이다. 이 관계는 비자발적 매트릭스와 공증매트릭스 사이에 편견을 준다.[4]

만약 A가 실제 숫자에 대한 행렬 대수인 M(n, ℝ)의 비자발적 행렬이라면, A에 의해 생성된 하위 행렬 {x I + y A: x, y ∈ ℝ}은 분할 복합 숫자와 이형화된다.

만약 A와 B가 서로 통근하는 두 개의 비자발적 매트릭스라면(즉, AB = BA) AB도 비자발적 매트릭스다.

만약 A가 비자발적인 매트릭스라면, A의 모든 정수 힘은 비자발적인 것이다. 실제로 n이 홀수일 경우 A가n A가 되고, 짝수일 경우 I가 된다.

참고 항목

참조

  1. ^ Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.
  2. ^ 피터 랭커스터 & 미론 티스메네츠키(1985) 매트릭스 이론, 제2판, 페이지 12,13 학술언론 ISBN 0-12-435560-9
  3. ^ Govaerts, Willy J. F. (2000), Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), p. 292, doi:10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704.
  4. ^ a b Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2nd ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.