세이퍼트 표면

수학에서 세이퍼트 표면(독일 수학자 허버트 세이퍼트의^[1][2] 이름을 따서 명명)은 경계선이 주어진 매듭이나 연결인 방향성 있는 표면이다.

그러한 표면은 관련된 매듭이나 링크의 특성을 연구하는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 많은 매듭 불변제는 세이퍼트 표면을 사용하여 가장 쉽게 계산된다.세이퍼트 표면은 그 자체로 흥미롭고, 상당한 연구의 대상이 되기도 한다.

특히 L은 유클리드 3-공간(또는 3-sphere)에서 길들여진 매듭이나 링크가 되도록 한다.세이퍼트 표면은 경계가 L인 3공간에 내장된 소형 연결 지향형 표면 S로, L의 방향은 S의 유도 방향일 뿐이며 S의 모든 연결된 구성요소는 비빈 경계를 가진다.

유클리드 3-공간에서 경계가 비어 있지 않은 소형, 연결되고 지향적인 표면은 경계 링크와 연관된 세이퍼트 표면이라는 점에 유의하십시오.하나의 매듭이나 고리는 많은 다른 불평등한 세이퍼트 표면을 가질 수 있다.세이퍼트 표면은 방향을 정해야 한다.또한 방향을 잡거나 방향을 잡을 수 없는 노트에 표면을 연결할 수도 있다.

예

표준 뫼비우스 띠는 경계선에는 언코트를 가지고 있지만 방향성이 맞지 않기 때문에 언코트를 위한 세이퍼트 표면은 아니다.

트레포일 매듭의 통상적인 최소 교차 투영법의 "체커보드" 색상은 모비우스 스트립을 세 번 반 비틀어 보이게 한다.앞의 예와 같이, 이것은 방향을 잡을 수 없기 때문에 세이퍼트 표면이 아니다.예상대로 이 다이어그램에 세이퍼트의 알고리즘을 적용하면 세이퍼트 표면이 생성되는데, 이 경우 속 g = 1의 구멍이 뚫린 토러스, 세이퍼트 행렬은

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.}$

존재와 세이퍼트 행렬

어떤 링크든 항상 연관된 세이퍼트 표면을 가지고 있다는 것은 하나의 정리다.이 정리는 1930년에 프랑클과 폰트랴긴에 의해 처음 출판되었다.^[3]허버트 세이퍼트에 의해 1934년에 다른 증거가 발표되었고 현재 세이퍼트 알고리즘이라고 불리는 것에 의존하고 있다.알고리즘은 문제의 매듭이나 링크의 투영에 따라 세이퍼트 표면 $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$을(를$)$

링크에 m 성분( 매듭의 경우 m = 1)이 있고, 다이어그램에 교차점이 있으며, 교차점( 매듭의 방향을 유지)을 해결하면 원이 나온다고 가정하자.$그런{\displaystyle }$ 다음 표면 S {\$displaystyle S}$을(를$)$ d 밴드를 부착하여 f 디스조인트 디스크로 생성한다$$.호몰로지 그룹 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle H_{1}(S)}$은(는) 2g 생성기에서 자유 아벨리안이다.

${\daystyle g={\frac {1}{1}:{2}}(2+d-f-m)}$

is the genus of ${\displaystyle S}$. The intersection form Q on ${\displaystyle H_{1}(S)}$ is skew-symmetric, and there is a basis of 2g cycles ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$ with ${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$ equal to a di행렬의 g 복사본의 정확한 합계

${\displaystyle {\pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

2g × 2g 정수 Seifert 행렬

${\displaystyle V=(v(i,j)}$

v 짓의 유클리드3-space(또는에서 3-sphere)과 aj S{S\displaystyle}의 긍정적인 방향으로"pushoff"에의 연결 번호{\displaystyle v(i,j)}. 좀 더 정밀하게, 사이페 르트 표면이, 우리가 한던 1가지 이슈 때문이었습니다에 S{S\displaystyle}읬던 1가지 이슈 때문이었습니다를 연장할 수 있어 의미 bicollared을 회수할 때(나는, j) 있다.${\displaystyle S\times [-1,1]}$, given some representative loop ${\displaystyle x}$ which is homology generator in the interior of ${\displaystyle S}$, the positive pushout is ${\displaystyle x\times \{1\}}$ and the negative pushout is ${\displaystyle x\times \{-1\}}$.^[4]

이것으로 우리는

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

여기서 V^∗ = (v(j, i)) 전치 행렬.$V$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$의 모든 정수 $2g$ × 2g 매트릭스 $V{\displaystyle }$ ${\$displaystyle V^{*}=Q$}$는 Seifert surface 속과의 매듭의 Seifert 매트릭스로서 발생한다$$.

알렉산더 다항식은 Seifert 행렬에서${\displaystyle }A{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle det}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle -}$ t V${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{**}\right)$로 계산되는데, $이$는 불확정 t${\displaystyle }$. ${\displaystyt.}$에서 최대 2g의 다항이다.$$ 알렉산더 다항식은 세이퍼트 표면 $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S,}$의 선택과 무관하며$$ 매듭이나 링크의 불변성이다.

매듭의 서명은 대칭 세이퍼트 행렬 $V{\displaystyle }$+ V ${\displaystyle T^{}}$. ${\displaystyle V+V^{\mathrm {T}}}}$의 서명이다$$.

매듭의 속

Seifert 표면은 전혀 독특하지 않다: seifert 표면의 g와 seifert 매트릭스 V는 위상학적 수술에 의해 수정될 수 있으며, seifert 표면의 g + 1과 seifert 매트릭스의 s′가 생성된다.

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.}$

매듭 K의 속은 K에 대한 세이퍼트 표면의 최소 속 g에 의해 정의된 매듭 불변성 물질이다.

예를 들어,

• 디스크의 경계인 Unknot은 0의 속성을 가지고 있다.더욱이 언코트는 0속과의 유일한 매듭이다.
• 삼포일 매듭은 그림 8개의 매듭과 마찬가지로 속 1을 가지고 있다.
• a (p, q)-토러스 매듭의 속은 (p - 1)(q - 1)/2이다.
• 매듭의 알렉산더 다항식의 정도는 그 속 두 배에서 하한이다.

속성의 기본 속성은 매듭 합과 관련하여 첨가된다는 것이다.

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#}K_{2}=g(K_{1})+g(K_{2})}$

일반적으로 매듭의 속은 계산하기 어렵고, 세이퍼트 알고리즘은 보통 최소 속들의 세이퍼트 표면을 생성하지 않는다.이러한 이유로 다른 관련 불변제들은 때때로 유용하다.${\displaystyle {매듭}_{}}$의 정식$$ 속 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 세이퍼트 알고리즘으로 구성할 수 있는 모든 세이퍼트 표면 중에서 가장 작은 속이고, 자유 속 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 보어가 핸들바디인 모든 세이퍼트 표면 중에서 가장 작은 속이다$$.(Seifert 알고리즘에 의해 생성되는 Seifert 표면의 보완은 항상 핸들바디 입니다.)어떤 매듭에도 불평등 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ $\$ g {\$displaystyle$ g\$leq g_{f$}\$leq$g_{$c}}$가 분명히 고정되어 있으므로, 특히 이러한 불변성은 속성에 상한을 둔다.^[5]

매듭 속은 이안 아골, 조엘 해스, 윌리엄 서스턴의 작품으로 NP 완성된다.^[6]

참고 항목

• 크로스캡 번호
• 매듭의 아르프 불변성
• 슬라이스속

참조

외부 링크

• 잭 반 바이크의 세이퍼트뷰 프로그램은 세이퍼트의 알고리즘을 사용하여 생성된 노트의 세이퍼트 표면을 시각화한다.