전단 행렬

수학에서 전단행렬 또는 천이행렬은 한 행 또는 열의 배수를 다른 행에 더하는 것을 나타내는 기본행렬이다.이러한 행렬은 항등행렬을 취하여 제로 요소 중 하나를 0이 아닌 값으로 치환함으로써 도출될 수 있다.

shear라는 이름은 행렬이 전단 변환을 나타낸다는 사실을 나타냅니다.기하학적으로, 이러한 변환은 행렬의 행이 전단 요소를 포함하는 축을 따라 순수하게 축방향으로 분리된 벡터 공간 내의 점 쌍을 취하며, 이들 쌍을 더 이상 순수하게 축방향적이지 않고 2개의 벡터 성분을 갖는 쌍으로 효과적으로 치환한다.따라서 전단 축은 항상 S의 고유 벡터입니다.

정의.

전형적인 전단 행렬은 다음과 같은 형태이다.

({displaystyle S=begin{pmatrix}1&0&\lambda&0\0&0\0&0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&1\end{pmatrix}).}

이 행렬은 기본 벡터 공간의 네 번째 차원 방향으로 x축에 평행하게 전단됩니다.

x축에 평행한 전단에서는 x $x'=x+\lambda y$ $=$ + $x'=x+\lambda y$ y { $displaystyle$ x'= $x+\displayda$ y} 및 $x'=x+\lambda y$ $y'=y$ $y'=y$ $=$ { $displaystyle$ y'= $y$ 가 $x'=x+\lambda y$ . 매트릭스 형식:

({displaystyle {pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}=pmatrix}1&\displayda \\1&1\end{pmatrix}{\displaystyle{pmatrix}x\y\end{pmatrix}})}

마찬가지로, y축에 평행한 전단에는 x $x'=x$ $=$ {\ $displaystyle$ x'= $x}$ 및 $x'=x$ $y'=y+\lambda x$ $y'=y+\lambda x$ $=$ + $y'=y+\lambda x$ x {\ $displaystyle$ y'= $y+\displayda$ x $y'=y+\lambda x$ 가 $x'=x$ . 매트릭스 형식:

({displaystyle {pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}=pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}{pmatrix}x\y\end{pmatrix})}

3D 공간에서 이 매트릭스는 YZ 평면을 다음 세 지점을 통과하는 대각 평면으로 전단합니다 $(0,0,0)$ ( $(0,0,0)$ $(\lambda ,1,0)$ $(0,0,0)$ , $0$ ) $(0,0,0)$ { $displaystyle ($ \ $lambda , 1$ , $(\lambda ,1,0)$ ) $(\lambda ,1,0)$ $(\mu ,0,1)$ } ( $(\mu ,0,1)$ , $(\mu ,0,1)$ , $(\mu ,0,1)$ ) { $displaystyle$ ( \ $mu$ , 0 , $1$ ) }

({displaystyle S=begin{pmatrix}1&\lambda&\mu\0&1&1&end{pmatrix})}

결정식은 항상 1입니다. 전단 요소가 배치되는 위치에 관계없이 0개 요소를 포함하는 스큐 대각선 부재이기 때문에(모든 스큐 대각선은 최소 2개의 길이를 가지므로), 그 곱은 0으로 유지되며 결정식에 기여하지 않습니다.따라서 모든 전단 행렬은 역행렬을 가지며, 그 역행렬은 단순히 전단 요소가 부정된 전단 행렬이며, 반대 방향의 전단 변환을 나타냅니다.실제로 이는 보다 일반적인 결과의 일부로서 S가 전단소자 $\lambda$ { $style\lambda$ 인 전단행렬이라면 S는ⁿ 전단소자가 $\lambda$ n $≤$ { $displaystyle\lambda$ 인 전단행렬이므로 전단행렬을 n승으로 높이면 그 전단행렬에 n을 곱한다.

특성.

S가 n × n 전단 행렬인 경우:

S는 순위 n을 가지므로 반전할 수 있습니다.
1은 S의 유일한 고유값이므로 det S = 1 및 추적 S = n
S의 eigenspace(고유값 1과 관련됨)는 n-1 차원을 가집니다.
S에 결함이 있습니다.
S는 비대칭입니다.
S는 최대 1열 교환 및 1열 교환 연산에 의해 블록 매트릭스로 만들 수 있다.
폴리토프의 면적, 부피 또는 고차 내부 용량은 폴리토프 정점의 전단 변환 하에서 불변합니다.

구성.

두 개 이상의 전단 변환을 결합할 수 있습니다.

2개의 전단행렬이 ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ( $1$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ 1 $){$ $textstyle$ { $pmatrix }\lambda$ \\0& $1\end {pmatrix}}$ 및 (1 0 ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$ {pmatrix $}1&0\mu&1\end$ { $pmatrix}$ 인 경우

그러면 그들의 구성 매트릭스는

{pmatrix}1&\displaystyle {pmatrix}1&\displaystyle {pmatrix}1&\displaystyle {pmatrix}1+\displaystyle {pmatrix}1&\displaystyle {pmatrix

또한 행렬식 1이 있으므로 해당 영역은 보존됩니다.

특히 $=$ μ {\ $displaystyle \displayda$ =\ $mu$ 일 경우,

{pmatrix}1+\displayda ^{2}&\displayda & 1\end{pmatrix}

이것은 대칭행렬이다.

적용들

전단 행렬은 컴퓨터 ^[1]^[2]^[3]그래픽스에서 자주 사용됩니다.

「」를 참조해 주세요.

변환 매트릭스

메모들

^ 폴리 외 연구진(1991년, 페이지 207–208년, 216–217년)
^ 컴퓨터 그래픽을 위한 기하학적 도구, Philip J. Schneider와 David H. Eberly, 페이지 154-157
^ 컴퓨터 그래픽스, Apueva A.데사이, 페이지 162-164

레퍼런스

Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. (1991), Computer Graphics: Principles and Practice (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-12110-7

[1] 폴리 외 연구진(1991년, 페이지 207–208년, 216–217년)

[2] 컴퓨터 그래픽을 위한 기하학적 도구, Philip J. Schneider와 David H. Eberly, 페이지 154-157

[3] 컴퓨터 그래픽스, Apueva A.데사이, 페이지 162-164

[1]

[2]

[3]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
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