카르탄 행렬

수학에서 카르탄 행렬이라는 용어는 세 가지 의미를 가지고 있다. 이 모든 것들은 프랑스의 수학자 엘리 카르탄의 이름을 따서 지어졌다. 재미있게도, 리 알헤브라의 문맥에 있는 카르탄 행렬은 빌헬름 킬링에 의해 처음 조사된 반면, 킬링 형식은 카르탄 때문이다.^{[citation needed]}

리알헤브라스

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

(대칭형) 일반화된 카르탄 행렬은 다음과 같은 적분 입력을 가진$$ 정사각형 행렬 $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle$ A$=(a_{ij})$이다.

1. 대각선 항목의 경우 ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a_{ii}=2$}$$$.$
2. 대각선이 아닌 항목의 경우 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{ij}\leq 0$
3. ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$인 경우에만 j = ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle DS}$로 쓸 수 있으며$,$ 여기서$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$$}$은(는$)$ 대칭 행렬이다.

예를 들어 G에₂ 대한 카르탄 행렬은 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}2&#3\-1&2\end{bmatrix}={\\\\nd{bmatrix}3&0\0&1\end{bmatrix}{\frac{2}{3}&1\1&2\end{bmatrix}}}.}$

세 번째 조건은 독립적이지 않지만 실제로 첫 번째와 네 번째 조건의 결과물이다.

우리는 항상 긍정적인 대각선 항목이 있는 D를 선택할 수 있다. 그 경우, 위의 분해에서 S가 양성으로 확연한 경우, A는 카르탄 행렬이라고 한다.

단순 Lie 대수학의 카르탄 행렬은 스칼라 산물인 요소를 가진 행렬이다.

${\displaystyle a_{ji}=2{{(r_{i}},r_{j}) \over(r_{j},r_{j})}}$ ^[1]

(때로는 카르탄 정수라고 불리기도 한다) 여기서_i r은 대수학의 단순한 뿌리다. 그 항목들은 뿌리의 속성 중 하나에서 필수적이다. 첫번째 조건의 정의에서, 사실에서 두번째 것을 나는 ≠ j, rj− 2(rirj)(rir나는)r나는{\displaystylei\neq j,r_{j}-{2(r_{나는},r_{j})\over(r_{나는},r_{나는})}r_{나는}}은 뿌리는은 일차 결합의 단순한 뿌리 리와 rj과 긍정적인 계수에 rj.d 따라서 r에_i 대한 계수는 음수가 아니어야 한다. 세 번째는 직교성이 대칭 관계이기 때문에 사실이다. And lastly, let ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ and ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Because the simple roots span a Euclidean space, S is positive definite.

반대로 일반화된 카르탄 행렬을 주어진다면 그에 상응하는 리 대수학을 회복할 수 있다.(더 자세한 내용은 Kac-Moody 대수학 참조).

분류

An ${\displaystyle n\times n}$ matrix A is decomposable if there exists a nonempty proper subset ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ such that ${\displaystyle a_{ij}=0}$ whenever ${\displaystyle i\in I}$ and ${\displaystyle j\notin I}$. A is indecomposable if it i분해할 수 없는 s

A를 외설적인 일반화된 카르탄 매트릭스가 되게 하라. 우리는 A가 모든 주요 미성년자가 양성이면 유한형이고, A가 양성이면 어핀형이고, A가 결정성 0이면 무기형이라고 말한다.

Finite type indecomposable matrices classify the finite dimensional simple Lie algebras (of types ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$), while affine type indecomposable matrices classify the affine Lie algebras (say over 특성 0의 일부 대수적으로 닫힌 필드.

단순 리알헤브라의 카르탄 행렬 결정요인

단순 리알헤브라의 카르탄 행렬의 결정 요인은 다음 표에 제시되어 있다(A₁=B₁=C₁, B₂₃=C₂, D=A₃, D₂=AA₁₁, E₅=D₅, E₄=A₄, E₃=A와₂₁ 함께).^[2]

A을n	Bn	Cn	Dn n ≥ 3	En 3 n n ≤ 8	F4	G2
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

$이$ 결정요인의 또 다른 특성은 관련 루트 시스템의 지수와 동일하다는 것이다. 즉$$, P, Q는 각각 중량 격자와 $루트$ 격자를 나타낸다$.$

유한차원 알헤브라의 표현

모듈형 표현 이론에서, 그리고 보다 일반적으로 반실현되지 않는 유한차원 연상 알헤브라스 A의 표현 이론에서 카르탄 행렬은 주요 외설적 모듈들의 (마인드) 세트를 고려하고 그것들을 위한 구성 시리즈를 수정 불가능한 모듈들의 관점에서 작성함으로써 정의되며, 정수의 행렬을 산출한다.s 복구할 수 없는 모듈의 발생 횟수를 계산한다.

M 이론의 카르탄 행렬

M-이론에서는 2-주기의 영역이 0이 되는 한계에서 한정된 점수로 서로 교차하는 2-주기가 있는 지오메트리를 고려할 수 있다. 이 한계에는 국부 대칭 그룹이 나타난다. 두 사이클의 기초가 되는 교차로 번호 행렬은 이 국부 대칭군 리 대수학의 카르탄 행렬로 추측된다.^[3]

이것은 다음과 같이 설명할 수 있다. M-이론에는 2차원 표면인 막이나 2-brane이 있다. 2-브레인은 장력이 있어 수축하는 경향이 있지만 0으로 수축하지 않도록 2-사이클을 감쌀 수 있다.

하나는 모든 두 사이클과 교차점이 공유하는 하나의 치수를 압축한 다음 이 치수가 0으로 축소되는 한도를 취하여 이 치수에 대한 치수 축소를 얻을 수 있다. 그런 다음, 2-branes가 D-branes 사이에 늘어선 열린 문자열로 설명되는 2-branes를 M-tory의 한계로 IIA 문자열 이론을 얻는다. 각 D-brane에는 U(1) 국부 대칭 그룹이 있어 방향을 바꾸지 않고 이동할 수 있는 자유도와 유사하다. 두 사이클이 영영역을 갖는 한계는 이러한 D-brane이 서로 상위에 있는 한계로, 한 사람이 강화된 국소 대칭 그룹을 얻게 된다.

이제, 두 개의 D-bran 사이에 뻗은 열린 문자열은 Lie 대수 생성기를 나타내고, 그러한 생성기 두 개의 정류자는 세 번째 것으로, 열린 문자열의 가장자리를 함께 붙여서 얻는 열린 문자열로 표현된다. 서로 다른 개방 문자열 사이의 후자의 관계는 2-brane이 원래의 M-이론에서 교차하는 방법, 즉 2-주기의 교차점 번호에 따라 달라진다. 따라서 Lie 대수학은 전적으로 이러한 교차점 숫자에 의존한다. 카르탄 행렬에 대한 정확한 관계는 후자가 단순 뿌리의 정류자를 설명하기 때문인데, 이는 선택한 기준으로 두 사이클과 관련이 있다.

카르탄 하위 분지브라에 있는 생성기는 D-브레인과 자기 자신 사이에서 확장되는 열린 문자열로 표현된다.

참고 항목

• 딘킨 도표
• 특출한 요르단 대수
• 기초표현상
• 킬링폼
• 심플리리 그룹

메모들

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory: A first course. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 129. Springer-Verlag. p. 334. ISBN 0-387-97495-4.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9. Springer-Verlag. pp. 55–56. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
• Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

외부 링크

• "Cartan matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cartan matrix". MathWorld.