평형점

수학, 특히 미분방정식에서 평형점은 미분방정식의 상수해이다.

형식적 정의

x${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$$ \$style${ $tilde${$mathbf { x }}$ \$$in \ $mathbb$ { R$$} ^ { n} 은 $미분$ 방정식의$$ 평형점입니다.

${\displaystyle {d\mathbf {x} {dt}}=\mathbf {f}(t,\mathbf {x})}$

if $f{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t\stackrel{}{\mathbf{}}}$,${\displaystyle \stackrel{}{}}$x${\displaystyle }$~ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0\mathbf{}}${ { $displaystyle$\$mathbf${ $f$} ( $t$, { \ $tilde${$mathbf${ $x$} } ) = \ $mathbf${ 0$}$ } ($모든$ t \ $displaystyle$ t$\}$ ) 。

마찬가지로 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R ${\displaystyle {}^{}}$\ $displaystyle${$tilde${$mathbbf$ { $x }$} \ $in$ \$mathbb${ R } ^ { $n}$ 은 차분 방정식의 평형점(또는 고정점)이다.

$\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

${\displaystyle f}$( k${\displaystyle }$,${\displaystyle \stackrel{}{}x\stackrel{}{\mathbf{}}}$~ ) ${\displaystyle =\stackrel{}{}x\stackrel{}{\mathbf{}}}$~ {\$displaystyle \mathbf {f}$ ($k,$ {\$tilde {mathbf {x}})$=$$k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0,1}$,${\displaystyle }$2,$…({displaystyle$ k=$0, 1$, 2$,$ $\ldots$})일$$경우

평형은 평형에 관한 방정식의 선형화의 고유값의 부호를 보면 분류될 수 있다.즉, 시스템의 각 평형점에서 야코비안 행렬을 평가하고 그 결과 고유값을 찾아냄으로써 평형을 분류할 수 있다.그러면 각 평형점 근처에서 각 고유값과 관련된 고유 벡터를 발견함으로써 시스템의 동작을 정성적으로 결정할 수 있다(또는 경우에 따라서는 정량적으로 결정할 수도 있다).

평형점은 모든 고유값의 실제 부분이 0이 아닌 경우 쌍곡선입니다.모든 고유값에 음의 실제 부품이 있으면 점이 안정적인 것입니다.하나 이상의 실제 부품이 양의 경우 점이 불안정합니다.적어도 하나의 고유값이 음의 실부를 가지며 적어도 하나의 고유값이 양의 실부를 가지면 평형은 안장점이며 불안정하다.모든 고유값이 실재하고 부호가 같은 경우 점을 노드라고 합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 자율 방정식
• 임계점
• 정상 상태

레퍼런스

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed.). Springer. pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.