베주 행렬

수학에서 베즈아웃 매트릭스(또는 베즈투티안 또는 베즈투티안트)는 제임스 조셉 실베스터(1853년)와 아서 케이리(1857년)가 소개하고 에티엔 베주트의 이름을 딴 두 개의 다항식 매트릭스와 연관된 특별한 사각 매트릭스다. 베주티안은 또한 두 다항식의 결과물과 동일한 이 행렬의 결정요인을 언급할 수도 있다. Bézout 행렬은 때때로 주어진 다항식의 안정성을 시험하기 위해 사용된다.

정의

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)}$ $및$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle z)}$ ${\displaystyle g(z)}$을(를) 최대 n의 두 개의 복합 다항식이 되도록$$ 한다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{n}z^{i}}}\qquad g(z)=\sum _{i=0}v_{i}z^{i}}}.}$

(참고: ${\displaystyle u_{}}$ i ${\$ 또는$$ $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 0일 수 있음$$) 다항식 f 및 g와 관련된 순서의 Bézout 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\오른쪽)_{i,j=0,\dots,n-1}$

$여기$서 b i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 항목은 ID에서 비롯된다$$.

${\displaystyle {\f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.}$

이 행렬은 n × n 복합 행렬이며, ${\displaystyle 각}$${\displaystyle }i$에 $대해$ m i ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle min}${${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle m_$${\displaystyle \{}$$ij}=\min\{$$n-1-j\}}$을$(를)$ 허용하면 $다음$이 된다$.$

${\displaystyle b_{ij}=\sum_{k=0}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}v_{j+k+1}).}$

각 베주 행렬에 대해 다음과 같은 이선형식을 연관시킬 수 있는데, 이선형식(Bézoutian)이라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {Bez} :\mathb {C} ^{n}\time \mathb {C}\mathb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez}(x,y)=x^{*B_{n}(f,g)\y)\y.}$

예

• n = 3의 경우 모든 다항식 f 및 g(최대) 3:

${\displaystyle B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.}$

• $Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 3 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ -${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle f(x)=3x^{3}-x}$ 및$$ ${\displaystyle g}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 5 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g(x)=5x^{2}+1$}이$$두 다항식이 되도록$$ 한다. 다음:

${\displaystyle B_{4}(f,g)=\왼쪽[{\begin{matrix}-1&0&3&0&0\\0&0&0&0\\3&0&0&0\end{matrix}\right]!}$

마지막 행과 열은 모두 0이다. f와 g는 n(이것은 4이다)보다 엄격히 낮은 학위를 가지고 있기 때문이다. 다른 0 항목은 $각{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 0,\dots ,}$ n ${\displaystyle i=0,\dots,n$에 대해 ${\displaystyle u_{}}$ i ${\$ ${\displaystyle {또는}_{}}$ v i ${\$이 0이기$$ 때문이다.

특성.

• ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( f${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$이(가) 대칭(행렬로)임$$;
• ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( f${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)}$;
• ${\displaystyle {}_{}\mathrm{B}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle B_{n}(f,f)=0}$;
• ${\displaystyle (f}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle B_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle f}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle (f,g)\mapsto B_{n}(f,g)}$는 이선 함수다.
• ${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle f}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$은(는) f와 g가 실제 계수를 갖는 경우 실제 행렬이다$$.
• ${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle f}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$은(는$$) $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle max(\mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ ( g${\displaystyle }$) ${\displaysty n=\max(\deg(f),\deg(g)}$을(는)를 가진 비정형이다$$.
• ${\displaystyle {}_{}}$$b{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}n}$ ( f${\displaystyle }$,${\displaystyle }$g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$${\displaystyle B_{n}(f,g)},$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle max}$ (${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{deg}}$(${\displaystyle g}$)${\displaystyle$ n$=\max(\deg(f),\deg(g)}$은 f와 g의 결과인 결정 인자를 가지고$$ 있다.

적용들

Bézout 행렬의 중요한 적용은 제어 이론에서 찾을 수 있다. 이를 보려면 f(z)가 n의 복잡한 다항식이 되도록 하고 f(iy) = q(y) + ip(y)(여기서 y가 진짜인 경우)와 같은 실제 다항식을 q와 p로 나타내도록 한다. 우리는 또한 ${\displaystyle {Bn}_{}}$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$)$${\$displaystyle B_{n}(p,q)}$의 서명에 대해 r을 나타내고 σ을 가리킨다$.$ 그러면 다음과 같은 문장이 나온다.

• f(z)는 그 결합과 공통적으로 n - r 루트를 가지고 있다.
• f(z)의 왼쪽 r 루트는 다음과 같은 방법으로 위치한다.
  • (r + σ)/2가 열린 왼쪽 반면에 놓여 있고,
  • (r - σ)/2는 열린 우측 하프 평면에 위치한다.
• f는 ${\displaystyle {Bn}_{}}$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle B_{n}(p,q)}$이(가) 양의 확정일$$ 경우에만 Hurwitz가 안정적이다.

세 번째 진술은 안정성에 관한 필요하고도 충분한 조건을 제시한다. 게다가 첫 번째 진술은 실베스터 행렬에 관한 결과와 일부 유사성을 보이는 반면 두 번째 진술은 루스-허비츠 정리와 관련이 있을 수 있다.

참조

• Cayley, Arthur (1857), "Note sur la methode d'elimination de Bezout", J. Reine Angew. Math., 53: 366–367, doi:10.1515/crll.1857.53.366
• Kreĭn, M. G.; Naĭmark, M. A. (1981) [1936], "The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations", Linear and Multilinear Algebra, 10 (4): 265–308, doi:10.1080/03081088108817420, ISSN 0308-1087, MR 0638124
• Pan, Victor; Bini, Dario (1994). Polynomial and matrix computations. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9.
• Pritchard, Anthony J.; Hinrichsen, Diederich (2005). Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44125-5.
• Sylvester, James Joseph (1853), "On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure" (PDF), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, 143: 407–548, doi:10.1098/rstl.1853.0018, ISSN 0080-4614, JSTOR 108572