해밀턴 행렬

수학에서 해밀턴 행렬은 $JA$ 가 대칭인 2n by-2n 행렬 $A$ 이고, 여기서 $J$ 는 스큐 대칭 행렬이다.

J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}}

그리고 $나$ 는_n n-by-n ID 매트릭스다. 즉, $A$ 는 ( $JA) T$ = $JA$ 를 의미할 경우에만 해밀턴인 것이다. 여기서 $() T$ 는 전치물을 의미한다.^[1]

특성.

2n by-2n $매트릭스$ A가 블록 매트릭스로 기록된다고 가정해 보십시오.

A={\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}

$여기$ 서 a, $b$ , $c$ , $d$ 는 n-by-n 행렬이다. 그렇다면 $A$ 가 해밀턴이 되는 조건은 행렬 $b$ 와 $c$ 가 대칭이어야 하고, + $d T$ = $0$ 을 요구해야 하는 것과 같다.^[1]^[2] 또 다른 동등한 조건은 $A$ 가 S 대칭이 있는 $형식$ A = $JS$ 라는 것이다.^[2]^{: 34}

해밀턴 매트릭스의 전이가 해밀턴 매트릭스라는 정의에서 쉽게 따르게 된다. 게다가, 두 해밀턴 행렬의 합(그리고 어떤 선형 결합도)은 그들의 정류자와 마찬가지로 다시 해밀턴 행렬이다. 모든 해밀턴 행렬의 공간은 $sp(2n)$ 로 표시된 리 대수라는 것을 따른다 $.$ $sp(2n)$ 의 치수는 $2n 2$ + $n$ 이다. 해당 Lie 그룹은 공감 그룹 $Sp(2n)$ 이다 $.$ 이 $소분류$ 는^T $AJA$ = J를 만족하는 A $행렬$ 로 구성된다. 따라서 해밀턴 행렬의 행렬 지수(matrix)는 공통 행렬이다. 그러나 리 대수에서 집단에 이르는 지수적 지도가 굴절적이지 않기 때문에, 동시적 매트릭스의 로그가 반드시 해밀턴적인 것은 아니다.^[2]^{: 34–36}^[3]

진짜 해밀턴 매트릭스의 특징적인 다항식은 짝수다. 따라서 해밀턴 행렬이 $λ$ 을 고유값으로 가지고 있다면 $-λ$ , $λ *$ , -λ $또한 *$ 고유값이다.^[2]^{: 45} 해밀턴 매트릭스의 흔적은 0이 된다.

해밀턴 매트릭스의 제곱은 스큐 해밀턴어(A $매트릭스$ 는 ( $JA) T$ = $-JA$ 인 경우 스큐 해밀턴어)이다. 반대로 모든 스큐 해밀턴 행렬은 해밀턴 행렬의 제곱으로 나타난다.^[4]

복잡한 행렬로 확장

해밀턴 행렬의 정의는 두 가지 방법으로 복잡한 행렬로 확장될 수 있다. 한 가지 가능성은 위와 같이 $매트릭스$ A가 ( $JA) T$ = $JA$ 라면 해밀턴이라고 하는 것이다.^[1]^[4] 또 다른 가능성은 위첨자 별표 $((()) *$ 가 결합 전이를 나타내는 조건 $(JA) *$ = $JA$ 를 사용하는 것이다.^[5]

해밀턴 연산자

$V$ 를 벡터 공간으로 하고, $Ω$ 의 동음이의 형태를 갖추도록 한다. 선형 지도 $A:\;V\mapsto V$ : $A:\;V\mapsto V$ $A:\;V\mapsto V$ V ${\displaystyle$ A $:\;$ $V\mapsto V}$ 은(는) $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ , y $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ ( $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ ( $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ ) $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ , y $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ ) $x,y\mapsto \Oomega (A(x),y)$ 형식이 대칭이면 $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ $Ω$ 과 관련하여 해밀턴 연산자로 불린다 $A:\;V\mapsto V$ . 동등하게, 그것은 만족해야 한다.

\Oomega(A(x),y)=-\Oomega(x,A(y)

$Ω$ 이₁ ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ e n ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ e n + ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ i $textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}}}$ 로 기록되도록 $V$ 에서 basising e $,$ …, $e$ 를_2n 선택하십시오. ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$ $Ω$ 의 매트릭스가 해밀턴어인 경우에만 선형 연산자가 된다.^[4]

참조

^ ^a ^b ^c Ikramov, Khakim D. (2001), "Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited", Linear Algebra and its Applications, 325: 101–107, doi:10.1016/S0024-3795(00)00304-9.
^ ^a ^b ^c ^d Meyer, K. R.; Hall, G. R. (1991), Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the $N$ -body problem, Springer, ISBN 0-387-97637-X.
^ Dragt, Alex J. (2005), "The symplectic group and classical mechanics", Annals of the New York Academy of Sciences, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025, PMID 15980319.
^ ^a ^b ^c Waterhouse, William C. (2005), "The structure of alternating-Hamiltonian matrices", Linear Algebra and its Applications, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003.
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), "A Schur decomposition for Hamiltonian matrices", Linear Algebra and its Applications, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0.

[ikramov-1] Ikramov, Khakim D. (2001), "Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited", Linear Algebra and its Applications, 325: 101–107, doi:10.1016/S0024-3795(00)00304-9.

[meyer-2] Meyer, K. R.; Hall, G. R. (1991), Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the $N$ -body problem, Springer, ISBN 0-387-97637-X.

[dragt-3] Dragt, Alex J. (2005), "The symplectic group and classical mechanics", Annals of the New York Academy of Sciences, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025, PMID 15980319.

[waterhouse-4] Waterhouse, William C. (2005), "The structure of alternating-Hamiltonian matrices", Linear Algebra and its Applications, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003.

[paige-5] Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), "A Schur decomposition for Hamiltonian matrices", Linear Algebra and its Applications, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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