코치 행렬

수학에서 아우구스틴 루이 코치의 이름을 딴 카우치 행렬(Cauchy matrix)은 원소 a를_ij 형태로 한 m×n 행렬(m×n matrix)이다.

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}};\cHB x_{i}-y}\neq 0,\cHB 1\leq i\leq m,\leq j\leq n}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle y_{}}$ $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 필드 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 요소이며$,$ (${\displaystyle {x\_}_{}}$${i})$ ${\displaystystyle$$($$y_{j})$은 주입 시퀀스(별 요소 포함)이다$$.

힐버트 매트릭스는 카우치 매트릭스의 특별한 경우로, 이 매트릭스는 다음과 같다.

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

코치 매트릭스의 모든 서브트릭스는 그 자체로 코치 매트릭스다.

코치 결정 요인

Cauchy 행렬의 결정요인은 파라미터 (${\displaystyle }$x ${\displaystyle i_{}}$ )${\displaystyle (x_{i}})$와 $({\displaystyle y_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (y_$${j$$}}})$에서 분명히 합리적인 분율이다$.$ 시퀀스가 주입되지 않은 경우 결정요소는 사라지며, $일부{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$$displaystystyty$$}$가 y ${\}$을 나타내는$$ 경향이 있다.$y_{j$ 0과 극의 부분집합이 이와 같이 알려져 있다. 사실은 더 이상 0과 극이 없다는 것이다.

정사각형 Cauchy 행렬 A의 결정 인자는 Cauchy 결정 인자로 알려져 있으며 다음과 같이 명시적으로 주어질 수 있다.

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$ (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, 페이지 154, eqn 10).

그것은 항상 0이 아니므로, 모든 사각형 Cauchy 행렬은 되돌릴 수 없다. 역 A⁻¹ = B = [b_ij]는 다음과 같이 주어진다.

${\$$A_{j}(y_{i})$$B_{i}(x_{j})\,}($Schecter 1959, Organic 1)

여기서 A_i(x)와 B_i(x)는 각각 (${\displaystyle }$x ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle (x_{i}}}$ 및${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle (y_{j}})$에 대한 라그랑주 다항식이다$.$ 그것은

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\primate }(x_{i})(x-_{i})(x-_{i})}}\quad {\text{and}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{prime}(y_{i})(x-y_{i}}}}}}}}}}}},}}},},},},},},},},},},},},},},}$

와 함께

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

일반화

매트릭스 C는 형태라면 카우치형이라고 불린다.

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

X=diag(x_i), Y=diag(y_i)를 정의하면 Cauchy와 Cauchy 유사 행렬이 모두 변위 방정식을 만족한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T}}}}}}$

($cauchy$${\displaystyle \mathrm{one}}$의 경우 r${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$= ( ${\displaystyle 1}$, 1, 1,${\displaystyle \dots }$ ,${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}).$ 따라서 Cauchy와 유사한 행렬은 행렬을 사용하는 동안 이용할 수 있는 공통 변위 구조를 가지고 있다. 예를 들어, 문헌에는 다음에 대한 알려진 알고리즘이 있다.

• $O{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle O(n\log$ n$)}$ Ops$$(예: 고속 다중 홀 방법)를 사용한 대략적인 Cauchy 행렬 벡터 곱셈,
• (pivoted) $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle O(n^{2$})$$ops$$(GKO 알고리즘)를 사용한 LU 인자화, 즉 선형 시스템 해결,
• $O{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$의 선형 시스템 해결을 위한 근사치 또는 불안정한 알고리즘$.$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 행렬의 크기를 나타낸다$$(모든 알고리즘을 직사각형 행렬로 쉽게 일반화할 수 있지만 일반적으로 제곱 행렬을 다룬다).

참고 항목

• 토플리츠 행렬
• 페이의 삼위일체 정체성

참조

• Cauchy, Augustin Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (in French). Bachelier.
• A. Gerasoulis (1988). "A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors" (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. doi:10.2307/2007921. JSTOR 2007921.
• I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). "Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure" (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. Bibcode:1995MaCom..64.1557G. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x.
• P. G. Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). "An ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50 (5–6): 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011.
• S. Schechter (1959). "On the inversion of certain matrices" (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. doi:10.2307/2001955. JSTOR 2001955.