다항 행렬

수학에서 다항 행렬이나 다항 행렬은 원소가 일변량 또는 다변량 다항식인 행렬이다. 동등하게, 다항 행렬은 계수가 행렬인 다항 행렬이다.

도 p의 일변량 다항 행렬 P는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $A{\displaystyle }$( i${\displaystyle }$) ${\displaystyle A(i)}$은 상수 계수의 행렬을 나타내며$$, $A{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle A(p)}$은 0이 아니다. 3×3 다항 행렬의 예, 도 2:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$

링 R의 경우 링 $Mn{\displaystyle {}_{}{R}_{}}$[ ${\displaystyle X])}$ ${\displaystyle M_{n}(R[X])}$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle R}$) [ X${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (M_{n}(R)[X]})}$이(가) 이형체라는 말로 표현할 수 있다.

특성.

• 해당 필드의 0이 아닌 원소와 동일한 결정 인자를 가진 필드 위의 다항 행렬을 단항 행렬이라고 하며, 또한 다항 행렬인 역행렬을 가진다. 스칼라 단항 다항식의 경우 0 - 0이 아닌 상수의 다항식이 유일한데, 이는 보다 높은 수준의 임의 다항식의 역행위가 합리적인 함수이기 때문이다.
• 복잡한 숫자에 대한 다항 행렬의 뿌리는 행렬이 순위를 잃는 복잡한 평면의 점들이다.
• 은둔자의 양-적정(semidefinite) 계수를 갖는 행렬 다항식의 결정요인은 양(비음) 계수를 갖는 다항식이다.^[1]

다항 행렬은 단항 행렬과 혼동해서는 안 된다는 점에 유의하십시오.단항 행렬은 각 행과 열에 0이 아닌 항목이 정확히 하나만 입력된 행렬일 뿐이다.

만약 λ에 의해 우리가 행렬을 구성한 필드의 어떤 요소를 나타내고 I ID 매트릭스를 통해 A를 다항 행렬이 되게 한다면, 행렬 iI - A는 행렬 A의 특성 매트릭스다. 결정인자 λI - A는 행렬 A의 특성 다항식이다.

참조

• E.V. Krishnamurthy, 오류 없는 다항식 매트릭스 계산, Springer Verlag, 1985년 뉴욕

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