시프트 행렬

수학에서 시프트 매트릭스는 초대각선 또는 하위대각선에만 매트릭스가 있고 다른 곳에는 0이 있는 이진 매트릭스다. 초대각선에 있는 것이 있는 시프트 매트릭스 U는 상부 시프트 매트릭스다. 대안적인 하위 대각 행렬 L은 당연히 하위 교대 행렬로 알려져 있다. U와 L의 (i,j):제2의 구성요소는

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{ij}}\i+1,j}\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1}}}$

여기서$$ $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타 기호다.

예를 들어 5×5 변속 매트릭스는

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, 0&, 0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0\end{pmatrix}}.}$

분명히, 저단 변속 매트릭스의 전치는 상부 변속 매트릭스이고 그 반대도 마찬가지다.

선형 변환으로, 저변위 행렬은 열 벡터의 성분을 한 위치 아래로 이동시키고, 첫 번째 위치에는 0이 나타난다. 상부 이동 행렬은 열 벡터의 구성 요소를 한 위치 위로 이동시키고, 마지막 위치에는 0이 나타난다.^[1]

매트릭스 A를 저단 변속 매트릭스로 미리 설정하면 A의 요소가 한 위치만큼 아래로 이동되고 상단 행에 0이 나타난다. 낮은 교대조 행렬에 의한 증배 후는 왼쪽으로 이동한다. 상부 시프트 매트릭스와 관련된 유사한 작동은 반대 시프트를 초래한다.

분명히 모든 유한차원 이동 행렬은 영점이다; n by n shift matrix S는 치수 n의 힘으로 상승할 때 null 행렬이 된다.

시프트 매트릭스는 시프트 공간에 작용한다. 무한 차원 이동 매트릭스는 특히 인체모형 시스템 연구에 중요하다. 무한차원 이동의 중요한 예로는 칸토르 공간의 이동으로 작용하는 베르누이 시프트(Bernouli shift)와 지속적인 분수의 공간(즉, 바이어 공간에서의 시프트)의 이동으로 작용하는 가우스 지도가 있다.

특성.

L과 U를 각각 n by lower 및 upper shift 매트릭스로 한다. 다음 속성은 U와 L을 모두 지탱한다. 따라서 U:에 대한 속성만 나열하십시오.

• det(U) = 0
• 트레이스(U) = 0
• 순위(U) = n - 1
• U의 특징적인 다항식은

  ${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• Uⁿ = 0. 이것은 케이리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton organization)에 의한 이전 재산에서 따온 것이다.
• U의 영구치는 0이다.

다음 속성은 U와 L의 관계를 보여준다.

N이 nilpotent 행렬인 경우, N은 형식의 블록 대각 행렬과 유사하다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&#0&\ldots &0\0>S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\\vdots &\\vdots \\\0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}}}}$

여기서 각 블록₁ S, S₂, ...는_r 시프트 매트릭스(아마도 크기가 서로 다를 것이다)이다.^[2][3]

예

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 2&, 2&, 2&, 1\\1&, 2&, 3&, 2&, 1\\1&, 2&, 2&, 2&, 1\\1&, 1&, 1&, 1&, 1\end{pmatrix}}.}$

그러면

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 2&, 2&, 2&, 1\\1&, 2&, 3&, 2&, 1\\1&, 2&, 2&, 2&, 1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 0\\2&, 2&, 2&, 1&, 0\\2&, 3&, 2&, 1&, 0\\2&, 2&, 2&, 1&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 0\end{pmatrix}}.}$

분명히 많은 가능한 순열들이 있다. 예: $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\displaystyle A}$ S ${\displaystyle$ S$^{\mathsf{T}}}$$AS}$은(는) 주 대각선을 따라 위와 왼쪽으로 이동된 행렬 A와 동일하다.

${\displaystyle S^{\mathsf{T}}AS={\begin{pmatrix}2&&2&1&0\\2&3&1&0\\2&1&0\1&1&0&0&0\end{pmatrix}.}$

참고 항목

• 시계 및 시프트 행렬
• 닐포텐트
• 유한형 하위교대

메모들

참조

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016

외부 링크

• Shift Matrix - Matrix 참조 매뉴얼의 항목