교류행렬

선형대수학에서 교류행렬은 고정된 입력란에 점방향으로 함수의 유한 리스트를 적용하여 형성된 행렬이다. 교류 결정 인자는 정사각형 교류 행렬의 결정 인자이다.

Generally, if ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ are functions from a set ${\displaystyle X}$ to a field ${\displaystyle F}$, and ${\displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}\in X}$, then the alternant matrix has size ${\displaystyle m\times n}$$(\$디스플레이 $스타일$ m\$displaystyle m\$reason$$ $n}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}(\alpha_{1})&, f_ᆴ(\alpha_{1})&, \cdots &, f_ᆵ(\alpha_{1})\\f_ᆶ(\alpha_{2})&, f_ᆷ(\alpha_{2})&, \cdots &, f_ᆸ(\alpha_{2})\\f_ᆹ(\alpha_{3})&, f_ᆺ(\alpha_{3})&, \cdots, f_ᆻ(\alpha_{3})\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\f_ᆼ(\alpha_{m})& &, f_{2}(\alpha_{.m})&\cdots &, f_ᆩ(\alpha_{m})\\\end{bmatrix}}}$

또는 $보다{\displaystyle {}_{}}$ 압축적으로 Mi ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle M_{ij}=f_{j}(\알파_{i})}.$(일부 저자는 위의 행렬의 전치법을 사용한다.) Examples of alternant matrices include Vandermonde matrices, for which ${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{j-1}}$, and Moore matrices, for which ${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{q^{j-1}}}$.

특성.

• 대체재는 함수공간의 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ${\$ 등의 함수들의 선형 독립성을 확인하는 데 사용할 수 있다. For example, let ${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$, ${\displaystyle f_{2}(x)=\cos(x)}$ and choose ${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi /2}$. Then the alternant is the matrix ${\displaystyle \left[$${\cHB{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\\right]}$이(가) 있고 대체 결정 요소는${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$≠ 0 ${\displaystyle -1\neq$ 0$}$이다$.$ 따라서 M은 변형이 불가능하며 벡터${\displaystyle }${${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle )\}}$ ${\displaystyle \{\sin(x),\cos(x)\}}}$은 신장 세트의 기본을$$ 형성한다. ${\displaystyle \mathrm{특히}}$ sin${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ )$$${\displaysty \cos($$x)$와 cos$x)$는 선형으로 독립적이다$$.

• 대체재 기둥의 선형 의존성은 함수가 함수 공간에서 선형적으로 종속된다는 것을 의미하지 않는다. 예를 들어, f1()))}, f2)오리온⁡()){\displaystyle f_{2}())}⁡()){\displaystyle f_{1}())=\sin())sin고 α 1=0,α 2)π{\displaystyle \alpha_{1}=0,\alpha _{2}=\pi}. 그 다음 alternant은[010− 1]{\displaystyle \left는 경우에는{\begin{smallmatrix}0&, 1.\\0$&-1\end{smallmatrix}\right]},$ 대체 결정인자는 0이지만, 우리는 이미 $){\displaystyle \sin(x)}$과 ${\displaystyle \cos }$($){\displaysty \cos(x)}$가 선형적으로 독립된$$ 것을 보았다.

• 그럼에도 불구하고, 교류는 선형의존도가 존재한다는 것을 이미 알고 있다면 선형의존도를 찾는 데 사용될 수 있다. For example, we know from the theory of partial fractions that there are real numbers A and B for which ${\displaystyle {\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$. Choosing ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {1}{x+1}}}$, ${\displaystyle f_2}$${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {1}{x+2}}}$, ${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$ and ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=(1,2,3)}$, we obtain the alternant ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/2&1/3&1/6\\1/3&1/4&1/12\\1/4&1/5&1/20\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$. Therefore, ${\displaystyle (1,-1,-1)}$ is in the nullspace of the matrix: that is, ${\displaystyle f_{1}-f_{2}-f_{3}=0}$. Moving ${\displaystyle f_{3}}$ to the other side of the equation gives the partial fraction decomposition ${\displaystyle A=1,B=-1$$}$.

• ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle$ $n=m$$}$ 및 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\alpha j}_{}}$ ${\$$alpha _$${j$$\}\}$인 경우 대체 결정 인수는 0(행 반복)이다.

• 특히 만약 nxm{\displaystyle n=m}기능을 조의 j()){\displaystyle f_{j}())}은 모두 다항식, 그때(α j− α 나는){\displaystyle(\alpha_{j}-\alpha_{나는})}나는 < 모두 1≤의 교대의 결정을 나누는, j≤ n{\displaystyle 1\leq i<,j\leq n}., 만약 V은 방데 르 몽드 행렬, th.en < j( - )= ${\textstyle \prod _{i<j}(\alpha _{$j}-\$alpha _{$i}=\$det$ V$})$는 이러한 다항 대체 결정요인을 나눈다. 따라서 비율 $\frac{det}{}$ $\frac{M}{}$ $\frac{\det }{}$ V ${\${\$frac${\$det$ M$}{\det$V}}은(는) $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle {\alpha m}_{}}$ ${\$의 다항식이다. The Schur polynomial ${\displaystyle s_{(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}}$ is classically defined as the bialternant of the polynomials ${\displaystyle f_{j}(x)=x^{\lambda _{j}}}$.

적용들

• 대체 행렬은 대체 코드 구성에서 코딩 이론에 사용된다.

참고 항목

• 행렬 목록
• 룬스키안

참조

• Thomas Muir (1960). A treatise on the theory of determinants. Dover Publications. pp. 321–363.
• A. C. Aitken (1956). Determinants and Matrices. Oliver and Boyd Ltd. pp. 111–123.
• Richard P. Stanley (1999). Enumerative Combinatorics. Cambridge University Press. pp. 334–342.