토플리츠 행렬

선형대수학에서 오토 토플리츠의 이름을 딴 토우플리츠 행렬이나 대각선 정수 행렬은 각각 왼쪽에서 오른쪽으로 대각선으로 내려가는 행렬이 일정하다. 예를 들어, 다음 행렬은 토우플리츠 행렬이다.

$\displaystyle \qquad {\bmatrix}a&b&c&d&e\f&a&d\\f&a&d\g&a&d\g&nd{bmatrix}.}$

폼의 임의 n × n 행렬 A

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&, a_{)}&, a_{-2}&, \cdots, \cdots & &, a_{-(n-1)}\\a_{1}&, a_{0}&, a_{)}&, \ddots &,&\vdots \\a_{2}&, a_{1}&, \ddots &, \ddots &, \ddots &, \vdots \\\vdots &, \ddots &, \ddots &, \ddots &, a_{)}&, a_{-2}\\\vdots &,&\ddots &, a_{1}&, a_{0}&, a_{)}\\a_{.n-1}&\cdots, \cdots & &, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}\end{bmatrix}}}$

토플리츠 매트릭스야 A의 i, j 요소가 A로_{i, j} 표시되면

${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}}$

토플리츠 행렬이 반드시 정사각형인 것은 아니다.

토우 플리츠 시스템 해결

형태의 행렬 방정식

${\displaystyle Ax=b}$

A가 토우플리츠 매트릭스일 경우 토우플리츠 시스템이라고 한다. A가 n × n 토우플리츠 행렬인 경우, 시스템은 n이² 아니라 2n - 1도 자유도에 불과하다. 그러므로 우리는 토플리츠 시스템의 해결책이 더 쉬워질 것이라고 기대할 수 있으며, 실제로 그렇다.

토우플리츠 시스템은 O(n²) 시간 내에 레빈슨 알고리즘으로 해결할 수 있다.^[1] 이 알고리즘의 변형은 약하게 안정성이 있는 것으로 나타났다(즉, 조건이 잘 갖춰진 선형 시스템에 대한 수치적 안정성을 나타낸다).^[2] 또한 알고리즘은 O(n²) 시간에서 토우플리츠 행렬의 결정 인자를 찾는 데 사용될 수 있다.^[3]

토플리츠 매트릭스는 O(n²)^[4] 시간에 분해될 수도 있다(즉, 인수). LU 분해에 대한 바리스 알고리즘은 안정적이다.^[5] LU 분해는 토플리츠 시스템 해결과 결정인자 계산에 빠른 방법을 제공한다.

바리스와 레빈슨보다 점증적으로 빠른 알고리즘은 문헌에 기술되어 있으나 그 정확성은 믿을 수 없다.^[6][7][8][9]

일반 속성

• n × n 토우플리츠 행렬은 A_{i, j} = c_i−j, 상수 c_1−n, ..., c에_n−1 대해 행렬 A로 정의할 수 있다. n × n 토우플리츠 행렬 집합은 n × n 행렬의 벡터 공간(행렬 추가 및 스칼라 곱에 따라)의 하위 공간이다.
• 두 개의 토우플리츠 행렬을 O(n) 시간에 추가할 수 있으며(각 대각선 값의 한 값만 저장) O(n²) 시간으로 곱할 수 있다.
• 발가락 플리츠 행렬은 당칭이다. 대칭 토플리츠 행렬은 중심대칭과 이대칭이다.
• 토플리츠 행렬은 푸리에 시리즈와도 밀접하게 연결되어 있는데, 유한한 차원 공간으로 압축된 삼각 다항식에 의한 곱셈 연산자는 그러한 행렬로 나타낼 수 있기 때문이다. 이와 유사하게, 사람들은 토플리츠 매트릭스에 의한 곱셈으로서 선형적인 경련을 나타낼 수 있다.
• 토플리츠 매트릭스는 증상 없이 통근한다. 이는 행과 기둥 치수가 무한대로 될 때 동일한 기준으로 대각선을 이룬다는 것을 의미한다.
• 포지티브 반확정성 n × n 토우플리츠 매트릭스 $n{\displaystyle }$ 순위 r < $n$의 {\displaystyle $A}$은(는$)$ 다음과 같이 고유하게 인수될 수 있다.

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{r}d_{k}v(f_{k}})^{\operatorname {H}}=VDV^{\operatorname {H}}}}}}}}}}}}}}}}"{{k=operatorname {H}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{r})}$ is an r × r positive definite diagonal matrix, ${\displaystyle V=[v(f_{1}),\ldots ,v(f_{r})]}$ is an n × r Vandermonde matrix such that the columns are ${\displaystyle v(f)=[1,e^{i2\pi f},\dots ,{}^{}}$${\displaystyle v(f)=[1,e^{i2\pi f},\ldots ,e^{i2\pi (n-1)f}]^{\operatorname {T} }}$. Here ${\displaystyle i^{2}=-1}$ and ${\displaystyle f_{k}\in [0,1]}$ is normalized frequency, and ${\displaystyle V^{\operatorname {H} }}$ is the Hermitian transpose of $$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V$ 순위 r = n이면 밴더몬드 분해는 고유하지 않다.^[10]

• 대칭 토플리츠 행렬의 경우 분해 방법이 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}A=GG^{\operatorname {T}}-(G-I)(G-I)^{\operatorname {T}}}}}}}$

여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}A}$의 아래쪽 삼각형 부분이다$.$

• 비정칭 대칭 토플리츠 행렬의 역행렬은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\alpha _{0}}(BB^{\operatorname {T}) }-CC^{\operatorname {T}}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ $및$ C ${\displaystyle C}$은(는) 하위 삼각형 토플리츠 행렬이고$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 엄격히 하위 삼각 행렬이다.^[11]

이산 콘볼루션

콘볼루션 연산은 매트릭스 곱셈으로 구성될 수 있으며, 입력 중 하나가 토우플리츠 매트릭스로 변환된다. 예를 들어 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 및 $x$ ${\displaystyle x}$의 콘볼루션은 다음과 같이 공식화할 수 있다$$.

${\displaystyle y=h\ast x={\begin{bmatrix}h_{1}&, 0&, \cdots &, 0&, 0\\h_{2}&, h_{1}&,&\vdots, \vdots \\h_{3}& &, h_{2}&, \cdots &, 0&, 0\\\vdots &, h_{3}&, \cdots &, h_{1}&, 0\\h_{m-1}&, \vdots &, \ddots &, h_{2}&, h_{1}\\h_{m}&, h_{m-1}&,&\vdots &, h_{2}\\0&, h_{m}&, \ddots &, h_{m-2}&.;\vdots, 0&, \cdots &, h_{m-1}&, h_{m-2}\\\vdots &, \vdots,&h_{m}&, h_{m-1}\\0&, 0& &, 0&, \cdots &, h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{\\0&.bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle y^{T}={\begin{bmatrix}h_{1}&, h_{2}&, h_{3}&, \cdots &, h_{m-1}&, h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}&, x_{2}&, x_{3}&, \cdots &, x_{n}&, 0&, 0&, 0&, \cdots &, 0\\0&, x_{1}&, x_{2}&, x_{3}&, \cdots &, x_{n}&, 0&, 0&, \cdots &, 0\\0&, 0&, x_{1}&, x_{2}&, x_{3}&, \ldots &, x_{n}&, 0&, \c.다츠&0\\\vdots,&\vdots &, \vdots &, \vdots &,&\vdots &, \vdots &,&\vdots \\0&, \cdots &, 0&, 0&, x_{1}&, \cdots & &, x_{n-2}&, x_{n-1}&, x_{n}&, 0\\0&amp을 말한다.\cdots &0&0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}\end{bmatrix}}.}$

이 접근방식은 자기 상관, 교차 상관, 이동 평균 등을 계산하도록 확장될 수 있다.

무한 토우플리츠 매트릭스

바이무한 토플리츠 매트릭스($즉{\displaystyle \mathbb{}}$, Z ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\${Z} \$time \mathb${Z$\}\}\})$ ${\displaystyle A}$는 }$$2 {\$displaystyle \{$2}}에서 선형 연산자를 $유도$한다$.$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}&, \vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots \\\cdots &, a_{0}&, a_{)}&, a_{-2}&, a_{-3}&, \cdots \\\cdots &, a_{1}&, a_{0}&, a_{)}&, a_{-2}&, \cdots \\\cdots &, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}&, a_{)}&, \cdots \\\cdots &, a_{3}&, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}&, \cdots \\&, \vdots &, &.\vdots, \vdots &, \vdots \end{bmatrix}}&.}$

유도 연산자는 토플리츠 행렬 $A$의 계수 ${\displaystyle A}$이(가) 일부 본질적으로 경계된 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 푸리에 계수인$$ 경우에만 경계된다$.$

이러한 경우 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f$$}$은(는$)$ 토우플리츠 행렬 $A$의 기호라고 불리며$,$ 토우플리츠 $행렬{\displaystyle }$A의 스펙트럼 $표준$은 그 기호의 $L$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{\infty }}$ 표준과$$ 일치한다. 그 증거는 쉽게 확립될 수 있으며, 구글 북 링크에서 Organie 1.1로 찾을 수 있다.

참고 항목

• 순환 행렬(Circulant matrix)은${\displaystyle {}_{}}$i =${\displaystyle i_{}}$ + ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle a_{i}=a_{i+n}}}$라는 추가 속성이 있는 토플리츠 행렬이다.
• 한클 매트릭스, "상향 하향"(즉, 행 반전) 토플리츠 행렬

메모들

참조

• Bojanczyk, A. W.; Brent, R. P.; de Hoog, F. R.; Sweet, D. R. (1995), "On the stability of the Bareiss and related Toeplitz factorization algorithms", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 16: 40–57, arXiv:1004.5510, doi:10.1137/S0895479891221563
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2012), Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5
• Brent, R. P. (1999), "Stability of fast algorithms for structured linear systems", in Kailath, T.; Sayed, A. H. (eds.), Fast Reliable Algorithms for Matrices with Structure, SIAM, pp. 103–116
• Chan, R. H.-F.; Jin, X.-Q. (2007), An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers, SIAM
• Chandrasekeran, S.; Gu, M.; Sun, X.; Xia, J.; Zhu, J. (2007), "A superfast algorithm for Toeplitz systems of linear equations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 29 (4): 1247–1266, CiteSeerX 10.1.1.116.3297, doi:10.1137/040617200
• Chen, W. W.; Hurvich, C. M.; Lu, Y. (2006), "On the correlation matrix of the discrete Fourier transform and the fast solution of large Toeplitz systems for long-memory time series", Journal of the American Statistical Association, 101 (474): 812–822, CiteSeerX 10.1.1.574.4394, doi:10.1198/016214505000001069
• Krishna, H.; Wang, Y. (1993), "The Split Levinson Algorithm is weakly stable", SIAM Journal on Numerical Analysis, 30 (5): 1498–1508, doi:10.1137/0730078
• Monahan, J. F. (2011), Numerical Methods of Statistics, Cambridge University Press
• Mukherjee, Bishwa Nath; Maiti, Sadhan Samar (1988), "On some properties of positive definite Toeplitz matrices and their possible applications" (PDF), Linear Algebra and Its Applications, 102: 211–240, doi:10.1016/0024-3795(88)90326-6
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (Third ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Stewart, M. (2003), "A superfast Toeplitz solver with improved numerical stability", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (3): 669–693, doi:10.1137/S089547980241791X
• Yang, Zai; Xie, Lihua; Stoica, Petre (2016), "Vandermonde decomposition of multilevel Toeplitz matrices with application to multidimensional super-resolution", IEEE Transactions on Information Theory, 62 (6): 3685–3701, arXiv:1505.02510, doi:10.1109/TIT.2016.2553041

추가 읽기

• Bareiss, E. H. (1969), "Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices", Numerische Mathematik, 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), "Matrix rigidity of random Toeplitz matrices", Computational Complexity, 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9
• Golub G. H., 밴 론 C. F.(1996), 매트릭스 연산(Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz 및 관련 시스템
• 회색 R. M, 토우 플리츠 및 순환 매트릭스: A Review (Now Publishers)
• Noor, F.; Morgera, S. D. (1992), "Construction of a Hermitian Toeplitz matrix from an arbitrary set of eigenvalues", IEEE Transactions on Signal Processing, 40 (8): 2093–2094, Bibcode:1992ITSP...40.2093N, doi:10.1109/78.149978
• Pan, Victor Y. (2001), Structured Matrices and Polynomials: unified superfast algorithms, Birkhäuser, ISBN 978-0817642402
• Ye, Ke; Lim, Lek-Heng (2016), "Every matrix is a product of Toeplitz matrices", Foundations of Computational Mathematics, 16 (3): 577–598, arXiv:1307.5132, doi:10.1007/s10208-015-9254-z