계량행렬

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수학에서 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및$$ $가중치{\displaystyle }$ w$${\$displaystyle w$}의 가중 행렬은 행렬$$ $W{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ W$}$이며$,{\displaystyle }$ 다음과 같이$$ 집합 {${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle$\{$0,1$,-$1\}$의 항목이 있다.

${\displaystyle WW^{\mathsf{T}=wI_{n}}$

여기서 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\$ W$^{\mathsf {T}$은(는) $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 전치물이고 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$은 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 ID 행렬이다$.$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$의 가중치를 행렬의 정도라고도 한다$$. 편의를 위해 $순서{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및 무게$$ w ${\displaystyle w}$의 체중 행렬은 종종 $W{\displaystyle (n}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle W(n,w)}$로 표시된다$.$^[3]

계량 행렬은 여러 물체의 개별 가중치를 최적으로 측정할 때 사용하기 때문에 그렇게 불린다. 계량 장치가 균형 척도인 경우, 여러 물체를 한 번에 무게를 재서 측정의 통계적 분산을 최소화할 수 있으며, 어떤 물체는 측정에서 빼는 반대쪽 팬에 있다.^[1][2]

특성.

일부 속성은 정의에서 즉시 나온다. $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) $W{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle W(n,w)}$인 경우$:$

• $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 행은 쌍방향 직교($즉{\displaystyle }$, W ${\displaystyle W}$에서 선택하는 모든 행 쌍은 직교)이다$$$$. 마찬가지로 열은 쌍방향으로 직교한다.
• $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 각 행과 열에는 정확히 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ w$}개$의 0이 아닌 요소가$$ 있다$$.
• ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI}$, since the definition means that ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}}$, where ${\displaystyle W^{-1}}$ is the inverse of ${\displaystyle W}$.
• ${\displaystyle det}$( ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle w^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ w$^{n/2}}$ 여기서$$ ${\displaystyle det(W)}$는 w ${\displaystyle$ $\$$det$$(W$$)}$의 결정인자다$.$

체중계 행렬은 0개의 입력을 허용하지 않는 하다마드 행렬을 일반화한 것이다.^[3] 두 가지 특별한 경우로서 $W{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle W(n,n)}$은 Hadamard 행렬이고^[3] $W{\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle n}$ - ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle W(n,n-1)$는 회의 행렬과 동일하다$$.

적용들

실험설계

계량 행렬은 여러 물체의 무게를 측정하는 문제에서 이름을 따왔다. 만약 측정 장치 σ 2{\displaystyle \sigma ^{2}}의 통계적 분산, 그 다음 그(똑같이 imprecise)다르 무게를 빼면 N{N\displaystyle}개체의 가중치를 측정하고 있.[4]그것은을 증가시킬 수 있다고 최종 측정에서 2σ 2{\displaystyle 2\sigma ^{2}의 변경 사항과}로 이어질 것이다.a특히 물체가 측정에서 무게를 뺀 반대편 측정 팬에 물체를 놓을 수 있는 밸런스 스케일을 사용하는 경우, 개체의 다른 부분 집합을 측정하여 추정된 가중치의 커리시.

$주문{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 행렬$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $W$$}$을(를) 사용하여 타레 무게를 포함한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ 객체를$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 시행에$$ 배치할 수 있다$$. 밸런스 스케일의 왼쪽 팬은 측정에 추가되고 오른쪽 팬은 측정에서 차감된다고 가정한다. i$$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 $사용$하는 이 매트릭스의 각 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle w_{ij}={\begin{cases}0&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was not measured}}\\1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the left pan}}\\-1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the right pan }}\\\end{cases}}}$

$x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 각 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$ 시행의$$ 측정값의 열 벡터가 되게$$ 하고, $e{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$을(를) 이러한 측정값의 오차가 되게 하고$,$ $분산{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$${\$$displaysty$\$di$가 $되도록$ 한다$.$$splaystyle {\mathbf{y}}}$은(는) 각 n$${\$displaystyle n}$ 객체의$$ 실제 가중치에 대한 열 벡터가 된다$$. 그리고 다음이 있다.

${\displaystyle {\mathbf{x}}=W{\mathbf{y}+{\mathbf{e}}}$

$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) 비송수라고 가정할 때 최소 제곱 방법을 사용하여 실제 가중치의 추정치를 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\mathbf{y}}=(W^{T}W)^{-1W{\mathbf{x}}}$

추정 $y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 벡터의$$ 분산은 $\sigma {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\$ {\tfrac ${\sigma ^{2}}}{n$보다 낮을 수 없으며 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이 무게 행렬인$$ 경우에만 최소값이 된다.^[4][5]

광학 측정

계량 매트릭스는 분광기, 이미지 스캐너 ^[6]및 광학 멀티플렉싱 시스템의 공학에 나타난다.^[5] 이러한 기기의 설계에는 광학 마스크와 빛의 강도를 측정하는 두 개의 검출기가 포함된다. 마스크는 첫 번째 검출기로 빛을 전달하거나, 흡수하거나, 두 번째 검출기로 반사할 수 있다. 두 번째 검출기의 측정은 첫 번째 검출기에서 감산되므로, 이 세 가지 경우는 각각 1, 0, -1의 무게 매트릭스 요소에 해당한다. 이는 본질적으로 이전 절과 동일한 측정 문제인 만큼 계량 매트릭스의 유용성도 적용된다.^[6]

예

계량 행렬이 표시될 때 기호${\displaystyle }$- ${\displaystyle$ -$}$이(가) -1을 나타내는 데 사용된다는$$ 점에 유의하십시오. 여기 두 가지 예가 있다.

${\displaystyle \mathrm{W}}$(2${\displaystyle }$, ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle$ W$(2,2$

${\displaystyle {\pmatrix}1&#1\\1&-\end{pmatrix}}$

$W{\displaystyle (}$7${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle$ W$(7,4$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

등가성

두 개의 계량 행렬은 행렬의 행과 열의 일련의 순열과 부정을 통해 한 행렬을 다른 행렬에서 얻을 수 있다면 등가치로 간주된다. $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ w$}$ ≤$$ $5$와 n ${\displaystyn}$ $$$style$ 15도 완료된 모든 사례에 대해 계량 행렬의 분류가 완료된다.^[7] 그러나, 순환 계량 행렬을 분류하는 것 외에는 이것을 넘어서 거의 행해지지 않았다.^[8][9]

질문 열기

이 절에는 주 주제를 검증할 수 있는 언급이나 관련성이 없는 자료의 합성이 포함될 수 있다. 관련 토론은 토크 페이지에서 찾을 수 있다. (2019년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

매트릭스 저울질에는 많은 공개적인 질문들이 있다. 행렬의 무게를 재는 것에 대한 주요 질문은 그들의 존재에 관한 것이다: $어느{\displaystyle }$ $값$에 $대해{\displaystyle }$ w${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle w}$$)$ ${\displaystyle$ W $(n,w)}$이 존재하느냐$?$ 이것에 대해 많은 것은 알려져 있지 않다. 측량 행렬에 대해 마찬가지로 중요하지만 종종 간과되는 질문은 이들의 열거다. $주어진{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$과 w$${\$displaystyle w}$에 $대해{\displaystyle }$$$W${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle W(n,w)}$s가$$몇 개인가?

이 문제는 두 가지 다른 의미를 가지고 있다. 최대 동등성까지 열거 및 동일한 n,k 매개변수로 서로 다른 행렬 열거. 첫 번째 문제에는 일부 논문이 발표되었지만 두 번째 중요한 문제에는 논문이 발표되지 않았다.

참조