등가 행렬

선형 대수학에서, 등가 행렬은 그 자체로 곱하면, 스스로 ^[1]^[2]산출되는 행렬이다. $즉$ , 행렬 $A$ 는 $A$ $A^{2}=A$ $=$ $(\displaystyle$ A $^{2$ }= $A$ 인 $A^{2}=A$ 에만 유효합니다. 이 $A^{2}$ $(\$ A $^{2})$ 를 $A^{2}$ 정의하려면 행렬 A $(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 정사각형 행렬이어야 합니다.이렇게 볼 때, 등가 행렬은 행렬 고리의 등가 요소이다.

예

2 $2\times 2$ × $2\times 2$ (\ $displaystyle$ 2 $\times$ 2) 아이덴텐트 $2\times 2$ 매트릭스의 $2\times 2$ 는 다음과 같습니다.

(\displaystyle {bmatrix}1&0&1\end {bmatrix}}\qquad {bmatrix}3&-6\1&-2\end {bmatrix})

$3\times 3$ × $3\times 3$ (\ $displaystyle$ 3 $\times$ 3) 아이덴텐트 $3\times 3$ 매트릭스의 예는 다음과 같습니다.

({displaystyle {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ end { bmatrix } )

실제 2 × 2 케이스

매트릭스 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ c ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $)($ 가 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 쓸모없는 경우

$a=a^{2}+bc,$
$b=ab+bd,$ $b(1-a-d)=0$ $b=ab+bd,$ $b=ab+bd,$ $b=ab+bd,$ + $d$ , $b$ $b(1-a-d)=0$ ( $b(1-a-d)=0$ - $b(1-a-d)=0$ - $b(1-a-d)=0$ ) $b(1-a-d)=0$ ( \ $displaystyle$ b ( 1 - d ) = $0$ 、 $b=0$ $b=0$ 0 $b=0$ （ \ $displaystyle$ b = $0$ ） $d=1-a,$ $d=1-a,$ - $d=1-a,$ 、 { $displaystyle$ d = $d=1-a,$ 1 - a $d=1-a,$ }
$c=ca+cd,$ $c(1-a-d)=0$ $c=ca+cd,$ $c=ca+cd,$ a $c=ca+cd,$ + $c$ , $c$ $c(1-a-d)=0$ ( $c(1-a-d)=0$ - $c(1-a-d)=0$ - $c(1-a-d)=0$ ) $c(1-a-d)=0$ ( \ $displaystyle$ c ( 1 - d ) = $0$ 、 $c=0$ $c=ca+cd,$ $c=0$ $0$ 、 $d=1-a,$ d $d=1-a,$ $d=1-a,$ - $d=1-a,$ , $d=1-a,$ { $displaystyle$ d = $d=1-a,$ 1 - a , $}$
$(\displaystyle d=bc+d^{2}).}$

따라서 2 × 2 행렬이 등가성이 되기 위해서는 대각선 또는 배선이 1인 조건이 필요합니다.등위 대각 행렬의 경우, a $및$ $\displaystyle$ d는 $a$ $d$ 1 또는 0이어야 합니다.

b $b=c$ { $displaystyle$ b $=c}$ 인 $a^{2}+b^{2}=a,$ 행렬 $a$ b ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ - ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ ) { $a^{2}+b^{2}=a,$ displaystyle ${pmatrix }$ a $& b$ & $1$ - a \ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ $end$ {pmatrix ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ } )은 $2$ + $a^{2}+b^{2}=a,$ $a$ 일 $a^{2}+b^{2}=a,$ 공식이므로 $a^{2}+b^{2}=a,$ 2차 방정식을 만족합니다 $a^{2}+b^{2}=a,$ .

a^{2}-a+b^{2}=0,

2 -

a^{2}-a+b^{2}=0,

+

a^{2}-a+b^{2}=0,

2

a^{2}-a+b^{2}=0,

, \

displaystyle

a

^{2}

- a +

b^{2

} =

a^{2}-a+b^{2}=0,

0 ,

a^{2}-a+b^{2}=0,

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

-

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

+

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

2

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}

4 ( \

displaystyle \ left

( a - { \

frac {1}

{

2}

\

right

)^2} +

b^2

}=snarfrac {1}{4}}

중심(1/2, 0)과 반지름 1/2가 있는 원입니다.각도 θ의 경우,

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

(

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

cos

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

⁡

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

\ 1 +

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

+ cos

⁡

⁡ {

displaystyle

A =

pmac

{ } { } { \

sin \ sin

\

theta

&

1 + cos

\

theta

\

pm

{

pmatrix

} }} em

A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em em

그러나 b $b=c$ { $displaystyle$ b $=c}$ 는 $b=c$ 필수 조건이 아닙니다. 임의의 매트릭스

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

(

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

-

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

a

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

) (

a^{2}+bc=a

+

a^{2}+bc=a

=

a ( \ display a

a^{2}+bc=a

^

{

2

} +

bc =

a )의

a^{2}+bc=a

{

style

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

{

pmatrix }

은

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

(\

display

{ pmatrix}

a&\c&a\end {pmatrix})

가 유효합니다

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

특성.

특이성과 규칙성

유일한 비단수 아이덴텐트 행렬은 아이덴티티 행렬입니다. 즉, 비아이덴티티 행렬이 아이덴티티일 경우 독립 행(및 열)의 수가 행(및 열)의 수보다 작습니다.

$A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ 2 $A^{2}=A$ $A^{2}=A$ \ $displaystyle$ A $^{2$ } $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ $A$ $A^{-1}$ $A^{2}=A$ A $style$ I $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ - $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ = A $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ - $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ $=$ A - 1 = $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ - $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ = A - 1 = A - A $style$ I $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ = $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ - 1 = A - $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ = A - A $styledisplay$ I $=$ A - 1 = A $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ $A^{-1}$ A - 1 $A^{-1}$ 。 $IA=A^{-1}A^{2$ }= $A^{-1}A=I$

항등 행렬에서 등위 행렬을 빼면 결과도 등위 행렬이 됩니다.이것은 이후 지속된다.

({displaystyle (I-A)(I-A)=I-A+A^{2}=I-A+A=I-A.}

$행렬$ A가 등가일 경우 모든 양의 정수 $A^{n}=A$ 에 대해 $A^{n}=A$ n $A^{n}=A$ \ $displaystyle$ A $^{n$ } = $A$ 。이것은 유도에 의한 증명을 사용하여 나타낼 수 있습니다. $A^{k-1}=A$ $n=1$ $=$ 1 { $displaystyle n$ 1}에 $A^{1}=A$ 결과가 A $A^{1}=A$ $=$ A {\ $displaystyle$ A $^{1$ } $=$ $A$ $displaystyle$ A $^{k-1}$ $A$ 로 되어 있습니다. $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ 으로, $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ - $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ $=$ $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ \ $displaystyle$ A $^{k$ } $=$ $A^{k-1}A$ = $AA=A$ A는 아이돌포텐트이기 $때문에$ 따라서 유도의 원리에 따라 결과는 다음과 같습니다.

고유값

등가 행렬은 항상 대각선화 가능합니다.^[3]고유값은 0 또는 1입니다. x $\mathbf {x}$ {\ $displaystyle \mathbf {x}$ 이 $\mathbf {x}$ $($ 가) 일부 고유 $행렬$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 의 $A$ 0이 아닌 고유 벡터이고 $\lambda$ 고유값 ${\$ {\ $displaystyle \displayda}$ 인 $\lambda$ ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = A = ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = A ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ A = A = A = A = ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = A = A = A = ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ = A = A = A = A = A = A = A = A = A ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ A ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ${2}\mathbf {x} =$ $\lambda \in \{0,1\}.$ $\lambda \mathbf {x}$ =\ $displayda$ A $\mathbf$ { $x} =\displayda$ $\lambda \in \{0,1\}.$ ^{ $\lambda \in \{0,1\}.$ $}\$ mathbf { $x}$ $。{displaystyle$ \da \in \ $0,1$ \} $}$ } $\lambda \in \{0,1\}.$ $}$

추적하다

등가행렬의 트레이스(주대각선상의 요소의 합계)는 행렬의 순위와 같기 때문에 항상 정수입니다.이것은 순위를 쉽게 계산할 수 있는 방법 또는 특별히 알려지지 않은 요소를 가진 행렬의 추적을 쉽게 결정할 수 있는 방법을 제공한다(예를 들어 모집단 분산의 추정치로 표본 분산을 사용할 때의 편향 정도를 확립하는 데 도움이 된다).

등가 행렬 간의 관계

회귀 분석에서 $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ M $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ - $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ ( $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ X ) - 1 $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ { \ $displaystyle$ M = $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ I - X ( $X$ ' X $)^{$ - $1$ X ' $}$ 는 $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ X $style$ 의 $X$ 에서 종속 $변수$ y의 벡터 회귀로부터 $잔차$ e {\ $displaystyle$ $y$ e $}$ 를 생성하는 것으로 $알려져$ 있습니다 $X$ ) 이제 $X_{1}$ 1({ $style X_{$ 1 $X_{1}$ })을X({ $displaystyle$ X $X$ $열의$ 서브셋으로 이루어진 행렬로 $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ , $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ I - $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ 1 ( $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ 1 $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ X $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ ) - $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ ${\$ { $style M_$ {1} = $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ I - X $_$ { 1 ( $X$ _ $1$ ） { 1 } X _ { 1 } { 1 } { 1 } { 1 ）。 $Le$ M_ ${1}}$ 은 $M_{1}$ (는) 유용하지만, 다소 놀라운 사실은 $MM_{1}=M$ $MM_{1}=M$ 1 $MM_{1}=M$ {{ $displaystyle$ MM_ ${1$ } $= M$ 입니다. 이는 $MX_{1}=0$ $MX_{1}=0$ 1 $X_{1}$ $MX_{1}=0$ { $displaystyle$ MX_ ${1$ } = $0$ $X_{1}$ X 1 { $style$ X $}$ 의 $X_{1}$ $컬럼$ 회귀에서 잔차가 발생하기 $때문$ 입니다. $splaystyle$ X_ ${1}$ 는 $X_{1}$ $X의$ 집합이므로 완벽하게 보간할 수 있습니다(직접 치환하면 $MX=0$ X $MX=0$ (\ $displaystyle$ MX $=0}).$ 이는 두 가지 다른 중요한 결과로 이어집니다. 하나는 ( $(M_{1}-M)$ 1 - $(M_{1}-M)$ ) { $displaystyle (M_{1$ }-M $)$ } 이 $(M_{1}-M)$ 대칭이고 Idempotent이고, 다른 하나는 ( $(M_{1}-M)M=0$ 1 - $(M_{1}-M)M=0$ ) $(M_{1}-M)M=0$ $(M_{1}-M)M=0$ { $displaystyle (M_{1}-M)$ 입니다 $(M_{1}-M)M=0$ $M=0$ 즉 ( $(M_{1}-M)$ $(M_{1}-M)$ M $) {{displaystyle$ ( $M_{1}-M$ )}은 $(M_{1}-M)$ (는 $)$ M { $displaystyle$ M $M$ 과(와) 직교하며, 이러한 결과는 예를 들어 F test 도출에 핵심적인 역할을 한다.

적용들

회귀 분석 및 계량경제학에서 등가 행렬이 자주 발생합니다.예를 들어, 일반 최소 제곱에서 회귀 문제는 계수 추정치의 $벡터$ β를 선택하여 행렬 형태의 잔차 제곱(예측 오류) e_i:의 합을 최소화하는 것이다.

최소화

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

(

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

-

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

)

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

(

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

-

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

)

(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )

{

displaystyle

( y -

X

\

beta )^{

\

textsf

{

T }

( y - X \

beta

) }

$y$ 서y {\ $displaystyle$ y $y$ }는 종속 변수 관측치의 벡터이고 $X$ {\ $displaystyle$ X $}$ 는 $X$ 각 열이 독립 변수 중 하나에 대한 관측치의 열인 행렬입니다.결과 추정치는 다음과 같습니다.

{\hat}=\left(X^{\textsf {T}}X\오른쪽)^{-1}X^{\textsf {T}y

여기서 위 첨자 T는 전치(transpose)를 나타내고 잔차의^[2] 벡터는

{e}=y-X{\hat}=y-X\left(X^{\textsf {T}X\오른쪽)^{-1}X^{\textsf {T}y=\left(X^{\textsf {T}}}\x}^{-1}x}^{\left(오른쪽)=마이.

여기서 M $(\displaystyle$ M $)$ 과 $M$ X $($ $X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}$ $X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}$ T $($ 는 모두 동일하며 대칭 행렬이며, 합계를 단순화할 수 있다.

{e}^{\textsf {T}}{\textsf {T}}=(My)^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}My=y=y^{\textsf {T}}}MMy=y^{\textsf {T}}My

M ${\displaystyle$ M $}$ 의 $M$ 등가성은 ${\hat {\beta }}$ β $^$ {\ $displaystyle {\beta$ 의 편차를 결정하는 등 다른 계산에도 영향을 미칩니다.

Idempotent 선형 $연산자$ P { $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ Null $N(P)$ N $P)$ {\ $displaystyle$ $R(P)$ N $(P$ {\displaystyle P}의 $R(P)$ 범위 $R(P)$ R $P)$ 상의 투영 연산자이며, P { $displaystyle$ P $}는$ Idempotent이고 대칭인 $경우$ 에만 직교 투영 연산자이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0070108137.
^ ^a ^b Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0130661899.
^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. ISBN 0521386322.

[1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0070108137.

[Greene-2] Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0130661899.

[3] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. ISBN 0521386322.

[1]

[2]

[3]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
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예

실제 2 × 2 케이스

특성.

특이성과 규칙성

고유값

추적하다

등가 행렬 간의 관계

적용들

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