도 행렬

대수 그래프 이론의 수학 분야에서, 방향 없는 그래프의 도 행렬은 각 정점의 정도, 즉 각 정점에 부착된 가장자리 수에 대한 정보를 포함하는 대각선 행렬이다.^[1] 이것은 그래프의 라플라크 행렬을 구성하기 위해 인접 행렬과 함께 사용된다: 라플라크 행렬은 도 행렬과 인접 행렬의 차이다.^[2]

정의

그래프 $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $G$$=(V,E)}$에 V =$$ $displaystyle$ V $=n}$이$($가) 있는 경우$,$ $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$에 대한 도 $행렬{\displaystyle }$ D ${\$$displaystystyle$$D$}은$$ 다음과^[1] 같이 정의된 n${\displaystyle }$× ${\displaystyle n}$ ${\time$ n} $대각$ 행렬이다.

${\displaystyle D_{i,j:=\\left\{\put}\cHB(v_{i})\{\mbox{if}}\i=j\\0&{\mbox{nd}}}\right.}$

여기서 꼭지점의 ${\displaystyle 도}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \deg(v_{i}})$은 가장자리가 해당 꼭지점에서 종료되는 횟수를 카운트한다. 비방향 그래프에서 이것은 각 루프가 정점의 정도를 2씩 증가시킨다는 것을 의미한다. 지시된 그래프에서 도라는 용어는 외설(각 정점에서 들어오는 가장자리 수) 또는 외도(각 정점에서 나가는 가장자리 수)를 나타낼 수 있다.

예

다음 비방향 그래프에는 6x6도 행렬이 있으며 값은 다음과 같다.

레이블이 있는 그래프 정점	도 행렬
	${\displaystyle {\pmatrix}4&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&#0&0&0&0&#0&0&0&0&#{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}\0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#$

비방향 그래프의 경우 동일한 노드에서 시작하고 끝나는 에지는 해당 도 값을 2씩 증가시킨다는 점에 유의하십시오(즉, 두 번 계수됨).

특성.

k-정규 그래프의 도 행렬은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 일정한 대각선을 가진다$.$

도합 공식에 따르면 도 행렬의 추적은 고려된 그래프의 가장자리 수의 2배이다.

참조