파스칼의 삼각형을 요소로 하는 무한 행렬
수학 , 특히 행렬 이론과 조합론 에서 파스칼 행렬 은 이항 계수 를 포함하는 (아마도 무한) 행렬이다.따라서 파스칼의 삼각형을 행렬 형태로 인코딩하는 것입니다. 이를 위한 세 가지 자연적 방법, 즉 하삼각행렬 , 상삼각행렬 또는 대칭행렬 이 있습니다. 예를 들어, 5 × 5 행렬은 다음과 같습니다.
L 5 = ( 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 ) ({display style L_{5}=pmatrix begin {pmatrix}1&0&0\1&0&1&2&0\1&0\1&3&1&0\1&4&1&6&1&1&1&0\1&1&0&0&0\1&1&1&1&1&0&1&3&1&3&1&1&4&1&1&1&1&1&4&1&0&1&1&1&1&0},,,0&0&1&1&1&1 U 5 = ( 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 ) ({displaystyle U_{5}=pmatrix) 1&1&1&1&1&1&1\0&2&3&4\0&1&6\0&1&0&1&0&0&0&1\end{pmatrix},,,}) S 5 = ( 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 ) = L 5 × U 5 ({displaystyle S_{5}={pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&2&3&5&6&10&15\1&35\end{pmatrix}= L_{5}\times U_{5} 파스칼의 삼각형을 행렬 형태로 만들 수 있는 다른 방법들이 있지만,[1]
정의. 파스칼 행렬의 0이 아닌 원소는 이항 계수로 제공 됩니다.
L i j = ( i j ) = i ! j ! ( i − j ) ! , j ≤ i {\displaystyle L_{ij}={i\choose j}=syslogfrac {i! }{j!(i-j)! }}},j\leq i} U i j = ( j i ) = j ! i ! ( j − i ) ! , i ≤ j {\displaystyle U_{ij}={j\choose i}={i!(j-i)! }},i\leq j} S i j = ( i + j i ) = ( i + j j ) = ( i + j ) ! i ! j ! {\displaystyle S_{ij}={i+j\choose i}={i+j\choose j}=marcfrac {(i+j)! }{i!j!}}}
여기 서 지수 i, j 는 0에서 시작하고 !는 요인 을 나타냅니다.
특성. 행렬의 관계 는n S n n L 과n U 에n 대해 모두 1인 대각원소의 곱이기 때문에 행렬 세 개 모두 n 행렬식 n 쉽게 n 행렬 n 트레이스 n을 갖는 단모듈식 이다n
S 의n 트레이스는 다음과 같습니다.
tr ( S n ) = ∑ i = 1 n [ 2 ( i − 1 ) ] ! [ ( i − 1 ) ! ] 2 = ∑ k = 0 n − 1 ( 2 k ) ! ( k ! ) 2 {\displaystyle {text{tr}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]! }{[(i-1)] ^{2}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!) ^{2}}}} 시퀀스 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, …(OEIS 의 시퀀스 A006134
건설 파스칼 행렬은 특별한 준대각 행렬 또는 초대각 행렬의 지수 행렬 을 취함으로써 실제로 구성될 수 있습니다. 아래 예시는 7 × 7 파스칼 행렬을 구성하지만, 이 방법은 원하는 n × n 파스칼 행렬에 대해 작동합니다. 다음 행렬의 점은 0개의 요소를 나타냅니다.
L 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) = [ 1 . . . . . . 1 1 . . . . . 1 2 1 . . . . 1 3 3 1 . . . 1 4 6 4 1 . . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 ] ; U 7 = exp ( [ 1 . 1 . . . . . 1 . . 2 . . . . 1 . . . 3 . . . 1 . . . . 4 . . 1 . . . . . 5 . 1 . . . . . . 6 1 . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 4 5 6 . . 1 3 6 10 15 . . . 1 4 10 20 . . . . 1 5 15 . . . . . 1 6 . . . . . . 1 ] ; ∴ S 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) exp ( [ i . 1 . . . . . i . . 2 . . . . i . . . 3 . . . i . . . . 4 . . i . . . . . 5 . i . . . . . . 6 i . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924 ] . 디스플레이 스타일 {array} {lll} & L_{7}=\exp \left(\left[\exp {\small matrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.\1.&.&.&.&.&.) \.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.& \.&.&.&.&.&.&. 6. \end { small matrix} \ right ] = \ left [ { \ small matrix }1 & . . . & . \1&1&.&.&.&.&.&. \1&2&1&.&.&.&.&. \1&3&1&.&.&.&. \1&4&6&4&1&.&. \1&5&10&10&5&1& \\1&6&20&15&1\end{small matrix}\right]; \syslog \\\\& U_{7}=\exp \left(\left)[{\color {white}1}. &1.&.&.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}1}.& &2.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&. 4.&.&.&. \\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&. 6\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \end { small matrix} \ right ] = \ left [ { \ small matrix }1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ \ \ 。 &1&2&4&5&6&.&.&.&. 1&3&6&10&15&1&4&10&20&.&.&.&.&. &1&5&15.&.&.&.&.&. &1&6&.&.&.&.&1&end {small matrix}\right}; \\\\context &S_{7}=\exp \left(\exp {\contract {small matrix}.&.&.&.&.&.&.&.\1&.&.&.&.&.&.) \.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.& \.&.&.&.&.&.&. 6. \end { small matrix} \ right ] \ exp \ left ( \ left [ \ small matrix } { \ color { white } i } 。 &1.&.&.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}i}.& &2.&.&.&.&.&.&. \{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \\{\color {white}i}.&.&.&.&.&. 4.&.&.&. \\{\color {white}i}.&.&.&.&.&. 5. \\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&. "6\{\color {white}i}""""" \end{smallmatrix}}\right]\right)=\left는 경우에는{\begin{smallmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\\1&, 2&, 3&, 4&, 5&, 6&, 7\\1&, 3&, 6&, 10&, 15&, 21&, 28\\1&, 4&, 10&, 20&, 35&, 56&, 84\\1&, 5&, 15&, 35&, 70&, 126&, 210\\1&, 6&, 21&, 56&, 126&, 252&, 462\\1&, 7&, 28&, 84&, 210&462&, 924\end{smallmatrix}}\right 뻗는다. \end {array}} n × n 행렬 A 및 B에 대해 exp(A ) exp(B ) = exp(A + B )를 단순하게 가정할 수 없다는 점에 유의해야 한다. 이 등식은 AB = BA (즉 , 행렬 A 와 B 가 이동할 때)에만 유지된다. 위와 같은 대칭 파스칼 행렬의 구성에서는 서브대각 행렬과 슈퍼대각 행렬이 이동하지 않기 때문에 행렬의 추가를 수반하는 매력적인 단순화가 이루어질 수 없다.
구조에 사용되는 서브대각행렬과 슈퍼대각행렬의 유용한 특성은 둘 다 0 이 된다는 것입니다. 즉, 충분히 높은 정수승으로 올리면 제로행렬 로 변질됩니다(자세한 내용 은 시프트행렬 참조 ). n × n 일반화 시프트 행렬은 n승 으로 올리면 0이 되므로 행렬 지수 계산 시 정확한 결과를 얻기 위해 무한 급수의 첫 번째 n + 1 항만 고려하면 된다.
변종 흥미로운 변형은 행렬 로그7 연산 PL의 명백한 수정과 행렬 지수 적용을 통해 얻을 수 있다.
아래 첫 번째 예는 로그 행렬 값의 제곱을 사용하고 7 × 7 "라게르" 행렬(또는 라게르 다항식 의 계수 행렬)을 구성합니다.
L A G 7 = exp ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 4 . . . . . . . 9 . . . . . . . 16 . . . . . . . 25 . . . . . . . 36 . ] ) = [ 1 . . . . . . 1 1 . . . . . 2 4 1 . . . . 6 18 9 1 . . . 24 96 72 16 1 . . 120 600 600 200 25 1 . 720 4320 5400 2400 450 36 1 ] ; 디스플레이 스타일 {array} {lll} & LAG_{7}=\exp \left(\left[\exp {\small matrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\1&.&.&.&.&.&.) \.&.4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \end { small matrix} \ right ] = \ left [ { \ small matrix }1 & . . . & . \1&1&.&.&.&.&.&. \\2&4&1&.&.&.&.&. 6&18&1&1&24&96&72&16&1&1&. 120엔&600엔&200엔&25엔&1엔 \\timeout&420&timeout&2400&450&36&1\end{small matrix}\right]; \syslog \end {array}} 라게르 행렬은 실제로 다른 스케일링 및/또는 교대 부호 체계와 함께 사용된다. (고승에 대한 일반화에 대한 문헌은 아직 발견되지 않았다.)
아래 두 번째 예는 로그 행렬 값의 곱 v(v + 1)를 사용하여 7 × 7 "Lah" 행렬(또는 Lah 숫자의 계수 행렬)을 구성한다.
L A H 7 = exp ( [ . . . . . . . 2 . . . . . . . 6 . . . . . . . 12 . . . . . . . 20 . . . . . . . 30 . . . . . . . 42 . ] ) = [ 1 . . . . . . . 2 1 . . . . . . 6 6 1 . . . . . 24 36 12 1 . . . . 120 240 120 20 1 . . . 720 1800 1200 300 30 1 . . 5040 15120 12600 4200 630 42 1 . 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1 ] ; 디스플레이 스타일 {array} {lll} & LAH_{7}=\exp \left(\exp \left[\exp {\small matrix.&.&.&.&.&.\2.&.&.&.&.&.&.&.\.&.&.&.&.&.\.&.&.&.&.\.&.&.&.\.&.&.&.&.&.&.\.&.&.&.&.\.&.\.\.&.\.\.\.&.\.\.&.&.\.\.\.\. \.&.&.&.&.&. 42.&. \end{small matrix}\right]=\left[{\small matrix}1&.&.&.&.&.&.&.&. \\2&1&.&.&.&.&.&.&.&. 6엔&1엔&24엔&36엔&1엔&1엔&.&.&. 120&240&120&1.&.&.&.&. \\sec&300&30&1&&& \5040&15120&12600&4200&630&42&1& \\40320&141120&58800&1860&1176&56&1\end{small matrix}\right]; \syslog \end {array}} 대신 v(v - 1)를 사용 하면 오른쪽 아래로 대각선 이동이 제공됩니다.
아래의 세 번째 예에서는 원래 PL 행렬의7 제곱을 2로 나눈 다시 말해, 2차 준대각형의 1차 2진수(k , 2)를 사용하고 행렬을 구성합니다. 행렬은 가우스 오차 함수의 도함수 및 적분 맥락에서 발생합니다.
G S 7 = exp ( [ . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . 3 . . . . . . . 6 . . . . . . . 10 . . . . . . . 15 . . ] ) = [ 1 . . . . . . . 1 . . . . . 1 . 1 . . . . . 3 . 1 . . . 3 . 6 . 1 . . . 15 . 10 . 1 . 15 . 45 . 15 . 1 ] ; 디스플레이 스타일 {array} {lll} & GS_{7}=\exp \left(\left[{\exp {small matrix}\.&.&.&.&.&.\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \.&3.&.&.&.&.&.6.&.&.&.&.&10.&.&.&.&.&.&15.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&. \end { small matrix} \ right ] = \ left [ { \ small matrix }1 & . . . & . \.&1.&.&.&.&.&.&1.&.&.&.&. \.&3.&1.&.&3.&.&.&3. &6&1&1&.&.&.&. \.&15&10&1&. \\15&.&.&.&.1\end{small matrix}\right]; \syslog \end {array}} 만약 이 행렬 이 역행렬이라면(예를 들어 음의 행렬-대수를 사용하여), 이 행렬은 교대로 부호를 가지며 가우스의 오차함수의 도함수 계수(확장적으로 적분)를 제공한다. (고승에 대한 일반화에 대한 문헌은 아직 발견되지 않았습니다.)
원본 행렬을 음의 값 으로 확장하여 다른 변형을 얻을 수 있습니다.
exp ( [ . . . . . . . . . . . . − 5 . . . . . . . . . . . . − 4 . . . . . . . . . . . . − 3 . . . . . . . . . . . . − 2 . . . . . . . . . . . . − 1 . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . 5 . ] ) = [ 1 . . . . . . . . . . . − 5 1 . . . . . . . . . . 10 − 4 1 . . . . . . . . . − 10 6 − 3 1 . . . . . . . . 5 − 4 3 − 2 1 . . . . . . . − 1 1 − 1 1 − 1 1 . . . . . . . . . . . 0 1 . . . . . . . . . . . 1 1 . . . . . . . . . . 1 2 1 . . . . . . . . . 1 3 3 1 . . . . . . . . 1 4 6 4 1 . . . . . . . 1 5 10 10 5 1 ] . {\displaystyle{\begin{배열}{lll}&, \exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&. \\-5&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&, -4&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&, -3&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&, -2&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&, -1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 0&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 2&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 3&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 4&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 5&을 말한다. \end{smallmatrix}}\right]\right)=\left는 경우에는{\begin{smallmatrix}1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다. \\-5&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&. \\10&, -4&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다. \\-10&, 6&, -3&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&. \\5&, -4&, 3&, -2&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다. \\-1&, 1&, -1&, 1&, -1&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&을 말한다. &0&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&1&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 1&, 2&, 1&을 말한다.&.&을 말한다.\\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&1&, 3&, 3&, 1&을 말한다.&.\\.&.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&, 1&, 4&, 6&, 4&, 1&을 말한다. \\.&을 말한다.&.&을 말한다.&.&을 말한다. &1&, 5&, 10&, 10&, 5&, 1\end{smallmatrix}}\right 뻗는다. \end {array}} 「 」를 참조해 주세요. 참조 G.S. 콜과 D.J.Velleman,"파스칼의 매트릭스", 미국 수학 매월 100,(4월 1993년)페이지 372–376. Edelman, Alan; Strang, Gilbert (March 2004), "Pascal Matrices" (PDF) , American Mathematical Monthly 111 (3): 361–385, doi :10.2307/4145127 , archived from the original (PDF) on 2010-07-04 외부 링크 G. 숫자이론행렬 에 관한 사실집합 프로젝트에서 헬름스 파스칼매트릭스 G. 헬름스 가우스 행렬 웨이스틴, 에릭 W. 가우스 함수 Weisstein, Eric W. Erf 함수 Weisstein, Eric W. "Hermite 다항식" 에르미트 다항식 Endl, Kurt "Uber eine ausgeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen and des Hermiteschen 다항식 시스템" 인: 정기간행물 제65권 매트리셰 차이츠리프트 커트 엔들 OEIS 시퀀스 A066325(단일 헤르미트 다항식 Hen x ) 계수 )(가우스 행렬 관련).
명시적으로 제약된 엔트리 일정한 고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건제품 또는 반전 조건 충족 특정 응용 프로그램 사용 통계 에 사용됨그래프 이론 에서 사용됨이공계에 사용 관련 용어
![{\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807ef023bf273f4d6285d938df8948ab45df0332)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045770725c1da8f518f4ce851e764ea0e35d76d5)
![{\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ba5c1436107e3df27418ec52690307031066f)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f5fa329b5cef35f151bd8d7a04c7021bbe48ba)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1258220d051b41ff146243babe85ae98c066b71d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc8c5d05a829836beceb789cb8275b2c86b5c2f)
