복잡한 하다마드 행렬

복합 Hadamard 매트릭스는 다음 두 가지 조건을 만족하는$$ 모든 $복합{\displaystyle }$ N ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ 매트릭스$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이다.

• 단수성(각 항목별 계수는 통일이다): ${\displaystyle H_{jk}$
• 직교성: $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$= N ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle HH^{\daugger }}=NI$

여기서 $†{\$은(는) $H{\displaystyle }${\$displaystyle$H}의$$ 은둔자 전치($)$를 나타내며 I {\$displaystyle$ I$}$는 ID 행렬이다. 개념은 하다마드 행렬을 일반화한 것이다. Note that any complex Hadamard matrix ${\displaystyle H}$ can be made into a unitary matrix by multiplying it by ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$; conversely, any unitary matrix whose entries all have modulus ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$ becomes a complex Hadamard upon multiplication by $$${\displaystyle \sqrt{N}}$ ${\$.

복잡한 하다마드 행렬은 연산자 알제브라의 연구와 양자 계산 이론에서 발생한다. 진짜 하다마드 행렬과 부슨형 하다마드 행렬은 복잡한 하다마드 행렬의 특정 사례를 형성한다.

복합 Hadamard 행렬은 $모든{\displaystyle }$ 자연 N {\displaystyle $N}$에 대해 존재한다($$모든 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대해 존재가 알려져 있지 않은 실제 사례와 비교).$$ 예를 들어 푸리에 행렬(정규화 인자가 없는 DFT 행렬의 복잡한 결합)을 들 수 있다.

${\displaystyle [F_{N}]_{jk:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }j,k=1,2,\dots,N}$

이 반에 속한다

등가성

Two complex Hadamard matrices are called equivalent, written ${\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}}$, if there exist diagonal unitary matrices ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ and permutation matrices ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ such that

${\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}$

어떤 복잡한 하다마드 행렬도 첫 번째 행과 첫 번째 열의 모든 원소가 통일과 동일한 하다마드 행렬과 동일하다.

${\displaystyle \mathrm{N}}$= 2,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle N=2,3}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 5$$ ${\displaystyle 5}$의 경우 모든$$ 복합 Hadamard $행렬$은 Fourier ${\displaystyle {행렬}_{}}$ F ${\$과 동일하다$.$ ${\displaystyle \mathrm{N}}$= 4 ${\displaystyle N=4}$의 경우 불평등 복합 행렬의 연속 1-모수 집단이 있다.

${\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\\\\bmatrix}1&1&1\\1&ie^{ia}\1&-1&-ie^{ia}\\1&-1&-1\\1&ie^{ia}\end{bmatrix}{nd{bm {with }}ain [0,\pi].}$

$N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle N=6}$의 경우 다음과$$ 같은 복잡한 Hadamard 행렬 패밀리가 알려져 있다.

• $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 포함하는 단일 2-모수 제품군$,$
• 단일 파라미터 패밀리 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 6{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle D_{6}(t$
• 순환성 Hadamard 행렬 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ C_${6}(\displaystyle$ $C_{6})$을 포함한$$1-모수 궤도 B $6({$$\}),$
• 앞의 두 예 X ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle X_{6}(\alpha )}$을(를) 포함한 2-모수 궤도$,$
• 대칭 행렬의$$ 1-모수 궤도 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle M_{6}(x)},$
• 앞의 예 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle K_{6}(x,y)}$을(를) 포함한 2-모수 궤도$,$
• 이전의 모든 $예시{\displaystyle {}_{}}$ K ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}(x}$ ,${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$)을 포함한 3-모수 궤도 ${\displaystyle K_{6}(x,y,z$
• $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ , y , z ) {\$displaystyle$ K_${\displaystyle \{6\}}$ 이외의 다른 예를 들어$$G ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$의 자유도가 4도인 추가 공사$.$
• 단일 지점 - Butson-type Hadamard 행렬 중 하나, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{H}}$(3${\displaystyle ,6}$ ) ${\displaystyle S_{$6}\$in H(3,6$

그러나 이 리스트가 완성되었는지는 알 수 없으나, K ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$) , ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$6 , ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\$는 모든 복합적인 하다마드 매트릭스 6의 (필수적으로 지나치게 많지는 않음) 목록이라고$$ 추측된다.

참조

• U. Haagerup, 직교 maximal abelian *-subalgebras of n×n 행렬과 주기적인 n-root, 연산자 Algebras and Quantum field 이론 (롬), 1996 (Cambridge, MA: International Press) pp 296–322.
• P. Dita, 복잡한 Hadamard 행렬, J. Phys의 파라메트리제이션에 대한 일부 결과. A: 수학. 37세대, 5355-5374(2004)
• F. 스졸로시, 하이포시클로이드, 프리프린트, arXiv:0811.3930v2[산술]에 의해 유도된 순서 6의 복잡한 하다마드 행렬의 2모수 계열이다.OA]
• W. Tadej와 K. Yczkowski, 복잡한 Hadamard 매트릭스 Open Systems & Infor에 대한 간결한 가이드. 133-177년(2006년)

외부 링크

• 알려진 $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle N=6}$ 복합$$ Hadamard 행렬의 명시적 목록과 7-16 크기의 여러 가지 Hadamard 행렬의 예는 복합 Hadamard 행렬의 카탈로그를 참조하십시오.