네바린나-픽 보간술

In complex analysis, given initial data consisting of ${\displaystyle n}$ points ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ in the complex unit disc ${\displaystyle \mathbb {D} }$ and target data consisting of ${\displaystyle n}$ points ${\displaystyle z_{1},\$$ldots ,z_{n}$ in$$ $D{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ Nevanlinna-Pick 보간 문제는 데이터를 보간하는 홀모픽 함수 ${\displaystyle \varphi }$을(를) 찾는 $것$인데,$$이는 모든 i {\$displaysty i}$에 해당된다$.$

${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle {\lambda }_{}}$i${\displaystyle }$) = ${\displaystyle z_{}}$ i ${\$

${\displaystyle 제약}$ 조건 ${\displaystyle \lambda }$ (${\displaystyle }$constraint ) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \left\vert \varphi$(\$lambda )\right\vert \leq$ 1$}$에 따라 모든${\displaystyle }\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle D\mathbb{}}$ ${\$ {$D$

게오르크 픽과 롤프 네반린나는 각각 1916년과 1919년에 이 문제를 독자적으로 해결하여 초기 데이터와 목표 데이터에 대해 정의된 행렬이 양의 반확정성일 경우에만 보간 기능이 존재함을 보여주었다.

배경

네반린나-픽 정리는 슈바르츠 보조정리 $n{\displaystyle }$ {\displaystyle $n} 포인트$ 일반화를$$ 나타낸다$.$슈바르츠 보조기구의 불변형 형태는 모든${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1, ${\displaystyle for\mathbb{}}$ 2$2$ D {$lambda$ \$lambda _{1$}, \lambda $\{2$}$in$ $\mathb {D}}$에 대해 홀모형함수 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle D\mathbb{}}$→ D ${\$ \d$}$ \}$$\} \} \d} \d}}에 대해 명시한다.

${\displaystyle \left {\frac {f(\lambda _{1})-f(\lambda _{2})}{1-{\overline {f(\lambda _{2})}}f(\lambda _{1})}}\right \leq \left {\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}\right .}$

설정 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle i_{}}$i${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle f(\lambda _{i}=z_{i$ 이 불평등은 행렬이 제공한 문구와 동등하다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1- z_{1} ^{2}}{1- \lambda _{1} ^{2}}}&{\frac {1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}{1-{\overline {\lambda _{1}}}\lambda _{2}}}\\[5pt]{\frac {1-{\overline {z_{2}}}z_{1}}{1-{\overline {\lambda _{2}}}\lambda _{1}}}&{\frac {1- z_{2} ^{2}}{1- \lambda _{2} ^{2}}}\end{bmatrix}}\geq 0,}$

저것은 픽 매트릭스가 양의 세미데마닌이라는 것이다.

Combined with the Schwarz lemma, this leads to the observation that for ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {D} }$, there exists a holomorphic function ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ such that ${\d$$isplaystyle \varphi(\lambda_{1$}=$z_{1$}:{1},${\displaystyle {\phi }_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}: 만일 $선택$ 행렬이$$ 있는 경우만 해당)

${\displaystyle \left({\frac {1-{\{z_{j}}z_{i}}}{1-{\overline {\j}}\{j}}\i}\j=1,2}\geq 0.}$

네반리나-픽 정리

네바린나-픽 정리는 다음과 같이 기술하고 있다.Given ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {D} }$, there exists a holomorphic function ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to {\overline {\mathbb {D} }}}$ such that ${\displaystyle \varphi ($$\lambda _{i}=z_{i}}$만약에$$ 그리고 Pick 매트릭스일 경우에만

${\displaystyle \left({\frac{1-{\overline {z_{j}}z_{i}}}{1-{n1}{1-{j}}}}}{\overline {\\\\\\j}}\i,j=1}^{n}}}}}}}$

긍정적인 반감각이다.또한, 선택 행렬에 0 결정 요인이 있는 경우에만 $function{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 함수가 고유하다$$.이 경우 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은$($모든 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$s가 동일한 사소한 경우는 제외) Pick 매트릭스의 등급과 같은 정도의 Blaschke 제품이다.

일반화

네반린나-픽 정리의 일반화는 사라손 보간 정리에 관한 도널드 사라슨의 연구에 따라 운영자 이론에서 활발한 연구의 영역이 되었다.^[1]사라손은 운용자 수축의 관점에서 힐버트 공간 방법을 이용한 네반린나-픽 정리에 대한 새로운 증거를 제시했다.다른 접근법은 L. de Branges와 B. Sz.-Nagy와 C의 연구에서 개발되었다. 푸아스.

하디 스페이스 H는 ² 재생성 커널 힐버트 공간이며, 재생성 커널(Szegő 커널로 알려져 있음)은 그 자체임을 알 수 있다.

${\displaystyle K(a,b)=\왼쪽(1-b{\bar{a}\오른쪽)^{-1},}$

이 때문에 픽 매트릭스는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left(1-z_{i}{\overline {z_{j}}}K(\lambda _{i}\right)_{i,j=1}^{N}\,}$

이 해결책에 대한 설명은 네반린나와 픽의 결과를 일반화하려는 다양한 시도에 동기를 부여했다.

Nevanlina-Pick 문제는 홀로모르픽 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle D\mathbb{}}$ ${\$주어진 데이터 집합을 보간하는$$ $R\to \mathb {D}$}. 여기서 R은 이제 복합 평면의 임의 영역이 된다.

M. B. Abrahamse는 R의 경계가 정밀하게 많은 분석 곡선(say n + 1)으로 구성되면, if와 if만 보간 함수 f가 존재한다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \left(1-z_{i}{\overline {z_{j}})K_{\tau }(\lambda _{j},\lambda _{i}\right)_{i,j=1^{N}\,}$

n-torus의 모든$$ $all{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$에 대한 양의 반투명 행렬이다.여기서 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 정해진 R과 관련이 있는 특정의 커널 힐버트 공간을 재현하는 데 해당하는 재생성 커널이다.또한 선택 행렬 중 하나에 영(0) 결정 요인이 있는 경우에만 f가 고유하다는 것을 보여줄 수 있다.

메모들

• 픽의 원래 증거는 긍정적인 실제 부분과 관련된 기능을 한다.Cayley 변환의 선형 부분 아래에서, 그의 결과는 디스크에서 디스크까지의 지도에 저장된다.

• Pick-Nevanlinna 보간술은 Allen Tannbaum에 의해 강력한 통제에 도입되었다.

참조

• Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Pick Interpolation and Hilbert Function Spaces. Graduate Studies in Mathematics. AMS. ISBN 0-8218-2898-3.
• Abrahamse, M. B. (1979). "The Pick interpolation theorem for finitely connected domains". Michigan Math. J. 26 (2): 195–203. doi:10.1307/mmj/1029002212.
• Tannenbaum, Allen (1980). "Feedback stabilization of linear dynamical plants with uncertainty in the gain factor". Int. J. Control. 32 (1): 1–16. doi:10.1080/00207178008922838.