매트릭스 오브 원스

수학에서 하나의 행렬이나 모든 원소의 행렬은 모든 원소가 하나와 같은 행렬이다.^[1] 표준 표기법의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\cHB }$

일부 출처는 일체형 행렬을 단위 행렬이라고 부르지만,^[2] 이 용어는 다른 행렬인 ID 행렬을 가리킬 수도 있다.

하나의 벡터 또는 전체원 벡터는 행 또는 열 형태를 가진 벡터의 행렬이다.

특성.

하나의 J 행렬의 n × n의 경우, 다음 속성은 다음을 지탱한다.

• J의 추적은 n이고,^[3] 결정 인수는 n ≥ 2의 경우 0이지만, n = 1이면 1이다(또는 n = 0인 빈 제곱 행렬을 고려하려면 n = 0).
• J의 특성 다항식은${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle x}$ n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ ($x-n)x^{n-1}$입니다$.$
• J의 순위는 1이고 고유값은 다극성 1과 0, 다극성 n - 1이다.^[4]
• ${\displaystyle J^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$= ${\displaystyle n^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{J}}^{}}$ ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ for$$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… . ${\displaystyle$ k$=1,2,\ldots .}$
• J는 하다마드 제품의 중성 요소다.^[6]

J가 실수에 대한 행렬로 간주되는 경우, 다음과 같은 추가 속성이 유지된다.

• J는 양의 반확정 행렬이다.
• 매트릭스 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}J}$은(는) IDempotent이다.^[5]
• J의 행렬 지수 는 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle J}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle I}$+ ${\displaystyle e\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle J}$. ${\displaystyle \exp(J)=$이다.$I+{\frac {e^{n1}-1}{n}J.}$

적용들

올원 행렬은 특히 이론을 그래프로 나타내기 위한 대수적 방법의 적용을 포함하는 결합체의 수학적 분야에서 발생한다. 예를 들어, A가 n-vertex 비방향 그래프 G의 인접 행렬이고 J가 동일한 차원의 모든 원 행렬이라면, G는 AJ = JA인 경우에만 정규 그래프다.^[7] 두 번째 예로서, 행렬은 행렬 트리 정리를 사용하여 완전한 그래프의 스패닝 트리 수를 제공하는 케이리의 공식의 일부 선형-알브레이크 증명에 나타난다.

참고 항목

• 모든 원소가 0인 행렬인 0 행렬
• 단일 입력 행렬

참조