원

기하학에서 삼각형의 외접원 또는 원은 세 개의 꼭짓점을 모두 통과하는 원입니다.이 원의 중심을 삼각형의 원주 중심이라고 하며, 그 반지름을 원주 반지름이라고 합니다.원주 중심은 삼각형의 변에서 세 개의 수직 이등분선 사이의 교차점이며 삼각형 중심입니다.

보다 일반적으로, 모든 꼭짓점이 동일한 원 위에 있는 n변 다각형을 외접원이라고도 하며, $특별$ 한 경우 n = $4$ 에서는 순환 사각형이라고도 합니다.모든 직사각형, 이등변 사다리꼴, 오른쪽 연 및 일반 다각형은 순환하지만 모든 다각형이 순환하는 것은 아닙니다.

직선자 및 나침반 구조

삼각형의 원주 중심은 세 개의 수직 이등분선 중 두 개를 그려서 구성할 수 있습니다.세 개의 비공선 점의 경우 이 두 선은 평행할 수 없으며 원주 중심이 교차하는 점입니다.이등분선의 모든 점은 이등분선이 나누는 두 점에서 등거리이며, 여기서 두 이등분선의 이 점은 세 개의 삼각형 꼭짓점 모두에서 등거리입니다.원주 반경은 원주에서 세 개의 정점까지의 거리입니다.

대체 시공

원주 중심을 결정하는 다른 방법은 정점 중 하나에서 출발하는 두 개의 선을 공통된 면과 각도로 그리는 것입니다. 공통 출발 각도는 90°에서 반대쪽 정점의 각도를 뺀 것입니다. (반대쪽 각도가 둔할 경우,음의 각도로 선을 그리는 것은 삼각형 밖으로 나가는 것을 의미합니다.)

해안 항해에서 삼각형의 원은 때때로 나침반이 없을 때 육분사를 사용하여 위치선을 얻는 방법으로 사용됩니다.두 랜드마크 사이의 수평 각도는 관찰자가 누워 있는 원을 정의합니다.

원주 방정식

데카르트 좌표

유클리드 평면에서, 내접 삼각형의 꼭짓점의 데카르트 좌표로 원의 방정식을 명시적으로 제공할 수 있습니다.라고 가정합니다.

디스플레이{style{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y}\\\mathbf {B} & =(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} & =(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}

$점$ A, $B, C$ 의 좌표입니다.그 다음 원은 방정식을 만족하는 데카르트 평면에서 점 $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ $=$ ( $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ x, $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ ) \ $displaystyle \mathbf {v}$ = ( $v_{x,v_{y})$ 의 $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ 궤적입니다.

표시 \style \mathbf {v} -\mathbf {u} ^{2}&=r^{2} -\mathbf {A} -\mathbf {u} ^{2} ^{2} ^{2} -\mathbf {C} -\mathbf {u} ^{2} ^{2} ={2} \mathbf} \end {{}

점 $A,$ $B,$ $C,$ $v$ 가 원의 공통 $\mathbf {u}$ 로부터 $\mathbf u$ 모두 $동일$ 한 거리 r임을 보장합니다 $.$ 편광 동일성을 사용하여, 이 방정식들은 행렬이 다음과 같은 조건으로 감소합니다.

표시({stylebegin{bmatrix} \mathbf {v} ^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\mathbf {A} ^{2}&-2A_{y}&-1\mathbf {B} ^{2}&2B_{x}&-1\mathbf{C_{C} ^2}

0이 아닌 커널이 있습니다.따라서 원주는 이 행렬의 행렬식의 0의 궤적으로 설명할 수 있습니다.

표시 스타일 \det \begin{bmatrix} \mathbf {v} ^{2}&v_{x}&1\\\mathbf {A} ^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\ \mathbf {B}^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\\mathbf {C}^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.

보조 인자 확장을 사용하여 다음과 같이 합니다.

스타일 표시({{aligned})S_{x}&=mathfrac{1}{2}}\det{{{\bmatrix} \mathbf {A}^{2}&A_{y}&1\\ \mathbf {B}^{2}&B_{y}&1\\\\mathbf {C}^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix},\[5pt]S_{y}&=nbfrac{1}{2}}\det{{{bmatrix}A_{x}& \mathbf {A}^{2}&1\B_{x}& \mathbf {B}^{2}&1\C_{x}& \mathbf {C}^{2}&1\end{bmatrix},\[5pt]a&=\det{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\C_{x}&1\end{bmatrix},\[5pt]b&=\det{bmatrix}A_{x}&A_{y}& \mathbf {A}^{2}\B_{x}&B}&\mathbf {B}^{2}\C_{x}&C_{y}& \mathbf {C}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

그런 다음 v2 - 2Sv - b = 0{{displaystyle a \mathbf {v} ^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}을 가지며, 여기서 S = (Sx, Sy), {\displaystyle \mathbf {S} = (S_{x, S_{y}), 그리고 세 점들이 한 줄에 있지 않다고 가정할 때, 즉, 즉, 두 개의 점들이 S 2개의 점들이 S -D에서 일반화된 원을 갖는 선으로 볼 수 있다isplaystyle \left \mathbf {v} -{\tfrac \mathbf {S}{a}}\right ^{2}=tfrac {\mathbf {b}}+{\tfrac {\mathbf{S}^{2}}^{a^{2}}}로, 둘레 중심 S에 표시 스타일 A를 부여한다.유사한 접근법을 통해 사면체의 둘레 방정식을 추론할 수 있습니다 ${\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.$ .

모수 방정식

원을 포함하는 평면에 수직인 단위 벡터는 다음과 같이 주어진다.

{\stylewidehat {n}}을(를) 표시합니다. = netfrac {(P_{2}-P_{1})\times(P_{3}-P_{1})}{(P_{2}-P_{1})}}.

따라서 반지름, r, 중심, Pc, 원 위의 점, P0 및 원을 포함하는 평면의 법선 단위 n^, {\displaystyle {\widehat {n}}을 고려할 때, n^{\displaystyle {n}에 대해 양의 방향(즉, 오른손 방향)으로 진행되는 원의 매개변수 방정식은 다음과 같다:

(\displaystyle \mathrm {R}(s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left\frac {\mathrm {r}}{\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left\frac {\mathrm {rm {r}}}\right)\left[\wide{ntimes {{p}(P_0}(P_right}}}}}({c}\c}}]

삼선 및 무게중심 좌표

삼각 좌표 x : y : z : x + x + x + cz = 0.{\displaystyle{tfrac{a}}+{\tfrac{b}}+{\tfrac{c}{z}=0.} 무게 중심 좌표 x : z는 2 + 2 + 2 + 2 + cz = 0.{\frac{tfrac{tfrac{t^2}}를 나타낸다

원주의 등각 공역은 $ax+by+cz=0$ + $ax+by+cz=0$ + + $ax+by+cz=0$ $x+y+z=0.$ $ax+by+cz=0$ 의 3선 $좌표와$ x + y + z $x+y+z=0.$ $=$ 0.{{ $displaystyle$ x + $x+y+z=0.$ $y$ $x+y+z=0.$ + $x+y+z=0.$ = $.{displaystyle$ x + y + $z$ = $0.}$ 의 무게중심 좌표로 주어진 무한대의 선이다.

고차원

또한 일반화된 방법을 사용하여 d차원에 $포함$ 된 삼각형의 원주를 찾을 수 있습니다.A, $B,$ $C$ 가 삼각형의 꼭짓점을 형성하는 bed-차원 점들을 붙이라고 $합니다$ .시스템을 원점에 C를 $배치$ 하는 것으로 시작합니다.

표시({style\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C},\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned})

$원주율$ 은 다음과 같습니다.

{\displaystyle r={\mathfrac {a} \right\left\mathbf {b} \right\left\mathbf {a} -\mathbf {a} \ta \right\}={\mathbf} \right \\ta \mathbf} \right \right \mathbfraight = \mathbfraight \bfraight {\bf} \mathbf} \mathbfraft \mathbf} \\bf} \bf{{{\

여기서 $θ$ 는 $a$ 와 b $사이$ 의 내부 각도입니다.원주 중심 $p$ 는₀ 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle p_{0}=displaystyle p_{0}\right\^{2}\mathbf {b} -\left\mathbf {b}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {a)}{2\left\\mathbf {a} \times \mathbf{a}\right\}+{C}\mathbf{C}.

이 공식은 교차곱이 다른 차원에서 정의되지 않기 때문에 3차원에서만 작동하지만 교차곱을 다음과 같은 동일성으로 대체하여 다른 차원으로 일반화할 수 있습니다.

표시(\style{\mathbf {u} \times \mathbf {v})\times \mathbf {w} &=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \mathbf {u} \times \mathbf{w} \mathbf} \mathbf} \mathbf{w} \mathbf} \mathbf} \mathbf} \mathbf} \m\\left\\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\^{2}&=\left\\mathbf {u} \right\^{2}\left\mathbf {v} \right\^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v})^{2}.\end{aligned}}}

둘레 중심 좌표

데카르트 좌표

원주 $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ U $=$ ( $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ x, $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ $){$ U=\ $left(U_{x}, U_{y}\right)}$ 의 $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ 데카르트 좌표는

스타일 표시({{aligned})U_{x}&=nbfrac{1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{y})(A_{y}-B_{y}\right]\\[5pt]U_{y}&=nbfrac{1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x}\right{x}})\end{}}}

와 함께

D=2\left}A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y}\right]]\,

일반성의 손실 없이, $이것$ 은 정점 $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ 를 데카르트 좌표계의 원점으로 변환한 후, 즉, A $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ - $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ ( $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ ▁)) $=$ ( $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ 0 $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ \\ $표시 스타일$ A'= $A-A$ =( $A'_{x})$ 로 단순화된 형태로 표현될 수 있습니다. $A'_{y}=(0,0).$ 이 $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ 경우 $B'=B-A$ B $B'=B-A$ $C'=C-A$ $B'=B-A$ - $({displaystyle$ B'= $B-A}$ $C'=C-A$ C $=$ - $C'=C-A$ ({ $displaystyle$ C'= $C-A})$ 의 $C'=C-A$ 좌표는 $정점$ A $'$ 에서 이 정점까지의 벡터를 나타냅니다.이 사소한 변환이 모든 $U'=(U'_{x},U'_{y})$ 과 $U'=(U'_{x},U'_{y})$ 원주 $U'=(U'_{x},U'_{y})$ $U'=(U'_{x},U'_{y})$ $=$ ( $U'=(U'_{x},U'_{y})$ x $U'=(U'_{x},U'_{y})$ $U'=(U'_{x},U'_{y})$ $){displaystyle$ U = ( $U'$ x},삼각형 △ $A'B'C'$ 의 U $'_{y}}$ 는 $U'=(U'_{x},U'_{y})$ 다음과 $같습니다$ .

스타일 표시({{aligned})U'_{x}&=nbfrac{1}{D'}\left[C'_{y}({B'_{x})^{2}+{Y}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2})+{C'_{y}^{2}}\right,\[5]U'_{y}&=nbfrac{1}{D'}\left[B'_{x}}({C'_{x})^{2}+{C'_{x}}^{2}+{B'_{y}^{2}\right}\end{aligned}}}

와 함께

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,

$꼭짓점$ A를 원점으로 변환하기 때문에, $원주율$ r은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

r=\U'\ =sksqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}

$그리고$ △DICOM의 실제 원주 중심은 다음과 같습니다.

디스플레이 스타일 U=U'+A}

삼선 좌표

원주 중심에 삼선 좌표가^[2] 있습니다.

\cos \alpha :\cos \cos \calpha

$여기서 α,$ β, $γ$ 는 삼각형의 각입니다.

변의 $길이$ a, $b, c$ 의 관점에서, 삼선은^[3]

{\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}.

무게중심 좌표

원주 중심에는 무게 중심^[4] 좌표가 있습니다.

a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,

$여기$ 서 a, $b, care$ 에지 $길이$ BC, $CA,$ $AB$ )는 삼각형의 값입니다.

삼각형의 $각도 α,$ β, $γ$ 에 대하여, 원주 중심의^[3] 무게중심 좌표는

displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\context :\sin 2\contexts}

원주 중심 벡터

어떤 점의 데카르트 좌표는 꼭짓점의 좌표의 가중 평균이고, 가중치는 점의 무게중심 좌표를 합으로 정규화하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\displaystyle U=displayfrac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.

$여기$ 서 U는 원주 중심의 $벡터$ 이고 A, $B, C$ 는 꼭짓점 벡터입니다.여기서 제수는 16S와 $같고$ , $여기$ 서 S는 삼각형의 면적입니다.전술한 바와 같이

표시({style\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C},\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned})

교차곱과 점선곱의 데카르트 좌표

유클리드 공간에서, 주어진 세 개의 비공선점 $P 1, P 2 3$ , P를 통과하는 고유한 원이 있습니다. 이 점들을 공간 벡터로 표현하기 위해 데카르트 좌표를 사용하면 점 곱과 교차 곱을 사용하여 원의 반지름과 중심을 계산할 수 있습니다.

\displaystyle \mathrm {P_{1} ={bmatrix}x_{1}\y_{1}\z_{1}\end{bmatrix},\mathrm{P_{2}} ={bmatrix}x_{2}\z_{2}\matrix{P_3} ={bmatrix}}\\y_{3}\z_{3}\end{bmatrix}}

그러면 원의 반지름은 다음과 같이 주어집니다.

\mathrm {r} = newfrac \left P_{1}-P_{2}\right \left P_{3}-P_{1}-P_{2}\right}{2}\left(P_{2}-P_{3}\right)\times \left(P_{2}-{3})\right}\right}\right

원의 중심은 선형 조합에 의해 주어집니다.

\mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\감마 \,P_{3}

어디에

표시({style{aligned}\alpha = lightfrac{leftP_{2}-P_{3}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)\left(P_{1}-P_{2}\right)\left(P_{2}-{2}\right)\left(P_{2}\right)\light(P_{\light)\light)\light(P_{\light(P_{\light)\left((P_{2}-P_{3}\right)\right ^{2}}\\\cdot ^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right){2}\left(P_{1}-{2}\right)\times\left(\left)\light_{P_2}\left(\left(\times\left)\left(\times\left)\

삼각형을 기준으로 한 위치

원주 중심의 위치는 삼각형의 유형에 따라 달라집니다.

예각 삼각형(직각보다 작은 모든 각도)의 경우 원주 중심은 항상 삼각형 안에 있습니다.
직각 삼각형의 경우 원주 중심은 항상 빗변의 중간 지점에 있습니다.이것은 탈레스 정리의 한 형태입니다.
둔각 삼각형(직각보다 한 각도가 큰 삼각형)의 경우 원주 중심은 항상 삼각형 바깥쪽에 있습니다.

예각 삼각형의 원주 중심은 삼각형 안에 있습니다.

직각 삼각형의 원주 중심은 빗변의 중간 지점에 있습니다.

둔각 삼각형의 원주 중심은 삼각형의 바깥쪽에 있습니다.

이러한 위치 특징은 원주 중심에 대해 위에 주어진 삼선 또는 무게 중심 좌표를 고려하여 볼 수 있습니다. 세 좌표 모두 내부 점에 대해 양수이고, 적어도 하나의 좌표는 외부 점에 대해 음수이며, 하나의 좌표는 0이고 삼각형의 한 변에 있는 비직각 점에 대해서는 양수입니다.

각도

외접원이 삼각형의 변과 이루는 각도는 변이 서로 만나는 각도와 일치합니다.반대쪽 $각도$ α는 원과 두 번 만난다: 한 번은 양쪽 끝에서, 각 $경우$ 에는 각도 α에서. (다른 두 각도와 유사하게)이는 접선과 코드 사이의 각도가 대체 세그먼트의 각도와 같다는 대체 세그먼트 정리 때문입니다.

삼각형이 원의 중심을 맞춥니다.

이 섹션에서 정점 각도는 A, $B, C로 표시$ 되며 모든 좌표는 3선 좌표입니다.

스타이너 점: 원주와 스타이너 타원의 교차점의 정점이 아닙니다.

{\style {bc}{b^{2}-c^{2}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}} 표시

(중심점 = 중심(ABC

)

이 있는 스타이너 타원은 A,

B, C를 통과

하는 최소 면적의 타원입니다.이 타원에 대한

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

은

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

x +

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

+

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

=

{\

displaystyle

{\

tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{cz

}=

0

}

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

입니다.

타리 점: 슈타이너 점의 대척점

\sec(A+\omega):\sec(B+\omega):\sec(C+\omega)

키퍼트 포물선의 초점:

\csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B)

기타 속성

원주 지름이라고 하며 원주 반경의 두 배와 동일한 원주의 지름은 삼각형의 모든 변의 길이를 반대 각도의 사인으로 나눈 값으로 계산할 수 있습니다.

display{style{text{c}}=tftfrac{a}{\sin A}=tftfrac{b}{\sin B}=tftfrac{c}{\sin C}}

사인의 법칙의 결과로, 어느 쪽과 반대의 각도를 취하느냐는 중요하지 않습니다. 결과는 같을 것입니다.

원의 지름은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

표시{style{aligned}{\text{cdot{text{area}}&{}=cdot{text{area}}=cdfrac{ABCA}{2 \Delta ABC }}\[5pt]&{}=nbfrac {bflac}{2pvsqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}\[5pt]&{}=sqfrac {2px}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}

$여기$ 서 a, $b, c$ 는 삼각형의 변의 $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ 이고 s $=$ + $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ + $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ 2 ${\$ s = $tftfrac {a +$ b + $c}{2$ $반지름$ 입니다 $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ .위의 $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ( $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ - $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ a $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ) ( $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ - $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ) ( $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ - $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ) \ $displaystyle \scriptstyle$ { $sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 은 $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ 헤론 공식에 ^[5]의한 삼각형의 면적입니다.원의^[6] 지름에 대한 삼각형 표현식은 다음과 같습니다.

display{style{text{text}}=sksqrt{frac{2\cdot{text{area}}{\sin A\sin B\sin C}}}

삼각형의 9점 원의 지름은 원의 절반입니다.

주어진 삼각형에서 원주 중심은 항상 중심 및 직교 중심과 일직선입니다.이들을 모두 통과하는 선을 오일러 선이라고 합니다.

원주 중심의 등교 공역은 직교 중심입니다.

세 점의 유용한 최소 경계 원은 원주(세 점이 최소 경계 원에 있는 경우) 또는 삼각형의 가장 긴 변의 두 점(두 점이 원의 직경을 정의하는 경우)으로 정의됩니다.최소 경계 원과 원을 혼동하는 것이 일반적입니다.

세 개의 공선 점의 원은 세 개의 점이 놓여 있는 선이며, 종종 무한 반지름의 원이라고 합니다.거의 동일한 점들은 종종 원주의 계산에서 수치적 불안정성을 초래합니다.

삼각형의 원은 점 집합의 들라우네 삼각 측량과 밀접한 관계가 있습니다.

기하학에서 오일러의 정리에 따르면, 원주 $중심$ O와 $인센티브$ I 사이의 거리는

{\style {OI}}표시=svsqrt {R(R-2r)},}

$여기$ 서 r은 원 반지름이고 $R$ 은 원 반지름입니다. 따라서 원주 반지름은 인 반지름의 최소 두 배입니다( 오일러의 삼각형 부등식).^[7]^[8]

O와 직교 $중심$ H $사이$ 의^[9]^[10] 거리는

{\style{overline{OH}}=nbsqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}=nbsqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}을(를) 표시합니다.

$중심$ G와 9점 $중심$ N에 대하여 우리는 다음과 같은

{\style}{\overline}IG}&<{\overline{IO},\2{\overline{IN}&<{\overline{IO},\\{\overline{OI}}^{2}&=2R\cdot{overline{IN}}.\end{aligned}}}

$변$ a, $b, c$ 를^[11] 갖는 삼각형의 원 반지름과 원 반지름의 곱은

rR=displayfrac {discovery}{2(a+b+c)}}.

$원주율$ R, $변 a, b$ , c, $그리고 a$ 중위수 $m b, m c$ , m을 사용하면, 우리는^[12]

디스플레이({stylebegin{aligned}3{\sqrt{3}}R&\geq a+b+c\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\[5pt]{\frac{27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}

만약 $중앙값$ m, $고도$ h, 내부 $이등분선$ 이 모두 삼각형의 동일한 꼭짓점에서 $반경$ R로 나온다면^[13],

\"표시 스타일 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2})}.

카르노의 정리에 따르면 원주 중심에서 세 변까지의 거리의 합은 원주와 ^[14]반지름의 합과 같습니다.여기서 세그먼트 길이는 세그먼트가 완전히 삼각형 외부에 있는 경우에만 음수로 간주됩니다.

삼각형이 원과 원으로 두 개의 특정 원을 가지고 있다면, 원 위의 점을 꼭짓점으로 하여 같은 원과 원을 가진 다른 삼각형이 무한히 존재합니다. ( $이$ 는 폰세레 포리즘의 경우 n = $3$ )이러한 삼각형이 존재하기에 필요하고 충분한 조건은 위의 ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ 한 ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ $=$ ( ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ r ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ ) ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ . {{ $overline {OI$ }={\ $sqrt {R(R-2r)}$ 입니다.

순환 다각형

같은 원 위에 놓여 있는 점들의 집합을 원환이라고 하며, 꼭짓점이 원환인 다각형을 원환 폴리곤이라고 합니다.모든 삼각형은 원환형이지만, 변이 3개 이상인 다각형은 일반적으로 그렇지 않습니다.

순환 다각형, 특히 4면 순환 사변형은 다양한 특수한 특성을 가집니다.특히, 순환 사각형의 반대각은 보조각입니다(최대 180° 또는 µ 라디안 추가).

참고 항목

레퍼런스

^ Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. p. 199.
^ Whitworth (1866 ), 19페이지
^ ^a ^b Kimberling, Clark. "Part I: Introduction and Centers X(1) – X(1000)". Encyclopedia of Triangle Centers. 원주 중심은 X(3) 아래에 나열되어 있습니다.
^ Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld.
^ Coxeter, H.S.M. (1969). "Chapter 1". Introduction to geometry. Wiley. pp. 12–13. ISBN 0-471-50458-0.
^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. p. 379.
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외부 링크

Mathalino.com 에서 삼각형 원의 반지름에 대한 공식 도출.
반규칙 각도-곤과 측면-곤: 동적 기하학 스케치에서 직사각형과 롬비의 각각의 일반화, 대화형 동적 기하학 스케치.

수학의 세계

상호적인

대화형 애니메이션이 포함된 삼각형 원형 및 원형 중심
원주 중심에 대한 대화형 Java 애플릿

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[FOOTNOTEAltshiller_Court195283-14] Altshiller Court (1952), 83페이지

[FOOTNOTEJohnson1929188-15] 존슨 (1929), 188페이지

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