이중성(수학)

수학에서 이중성은 무의식적인 연산을 통해 개념, 정리 또는 수학적 구조를 다른 개념, 정리 또는 구조로 1대1 방식으로 종종(그러나 항상은 아님) 번역한다: A의 이중성이 B라면 B의 이중성이 A이다. 그러한 비자발성은 때로는 고정된 포인트를 가지고 있어서 A의 이중성이 A 그 자체라고 할 수 있다. 예를 들어, 데스아게스의 정리는 투사 기하학에서 표준 이중성 하에서는 이런 의미에서 자기 이중성이다.

수학적인 맥락에서 이중성은 수많은 의미를 가지고 있다.^[1] 「(현대) 수학에 있어서 매우 만연하고 중요한 개념」^[2]과 「수학의 거의 모든 영역에서 발현되는 중요한 일반적 주제」^[3]라고 기술되어 왔다.

두 종류의 물체 사이의 많은 수학적인 이중성은 한 종류의 물체와 두 번째 유형의 다른 물체에서 일부 스칼라 계열로 이린 함수인 쌍에 해당한다. 예를 들어, 선형 대수 이중성은 벡터 공간 쌍에서 스칼라 쌍까지 이선형 맵에 해당하며, 분포와 관련 시험 함수 사이의 이중성은 시험 함수에 대한 분포를 통합하는 쌍에 해당하며, 푸앵카레 이중성은 교차로 번호인 viewe와 유사하게 일치한다.d 주어진 다지관의 서브매니폴드 사이의 결합으로서.^[4]

카테고리 이론의 관점에서, 이중성은 적어도 벡터 공간의 영역에서는 functor로도 볼 수 있다. 이 펑터는 각 공간에 이중 공간을 할당하고 풀백 구조는 각 화살표 f: V → W의^∗ 이중 f^∗: W → V에^∗ 할당한다.

소개 사례

마이클 아티야의 말에 따르면

수학의 이중성은 정리가 아니라 '원칙'^[5]이다.

다음의 예시 목록은 많은 이중성의 공통적인 특징을 보여주지만, 이중성의 정확한 의미는 경우에 따라 다를 수 있다는 것을 나타낸다.

부분 집합 보완

단순하고 아마도 가장 단순한 이중성은 고정 집합 S의 하위 집합을 고려함으로써 발생한다. 어떤 부분집합 ⊆에 대하여, 보완은 A에 포함되지 않은 S의 모든 원소로 구성된다. 그것은 다시 S의 부분집합이다. 보어 획득에는 다음과 같은 특성이 있다.

• 그것을 두 번 적용하면 원래의 세트(), 즉 A^cc() = . 보어(보어)를 가져가는 조작은 비자발적인 것이라고 하여 언급하고 있다.
• 세트 ⊆의 포함은 반대 방향 ⊆의 포함으로 변한다.
• S의 A와 B의 두 하위 집합에 대해, A는 B가 에 포함된 경우에만 에 포함된다.

이 이중성은 위상에 고정 위상학적 공간 X의 열린 부분 집합과 닫힌 부분 집합 사이의 이중성으로 나타난다: X의 부분집합 U는 X의 보완이 열린 경우에만 닫힌다. 이 때문에 폐쇄형 세트에 대한 많은 이론은 오픈 세트에 대한 이론과 이중적이다. 예를 들어, 오픈 세트의 조합은 개방되어 있기 때문에, 일반적으로 폐쇄된 세트의 교차로들은 폐쇄된다. 세트의 내부는 그 안에 들어 있는 가장 큰 오픈 세트로, 세트의 폐쇄는 세트가 들어 있는 가장 작은 폐쇄 세트다. 이중성 때문에 어떤 세트 U의 내부 보완은 U의 보완재가 닫히는 것과 같다.

듀얼 콘

기하학의 이중성은 듀얼 콘 구조에 의해 제공된다. Given a set ${\displaystyle C}$ of points in the plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (or more generally points in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), the dual cone is defined as the set ${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ consisting of those points ${\displaystyle (x_1}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(x_{1},x_{2}}$ 충족$$

다이어그램에 표시된 대로 ${\displaystyle(c_$${1},c_{2})$의 모든 포인트$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)에 대해$.$ 사실은 이중 콘 건설을 적용하는 두번 원본 C{C\displaystyle}환수될 세트 위에 언급한 보완원과 달리, 전반적인. 대신에, C∗ ∗{\displaystyle C^{ 열리는**}}은 이는 C보다 클 수 있는 작은 cone[7]C{C\displaystyle}이 들어 있는{C\displaystyle}. 여는 것이 아니다.음.정말따라서 이 이중성은 위의 이중성보다 약하다.

• 작업을 두 번 적용하면 더 큰 세트가 반환된다. $모든{\displaystyle }$ C${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle C$${\displaystyle {\}}^{}}$에 대해$,$ $C{\displaystyle }$ ${\$에 포함되어 있다$$$($$일부{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C$ 즉 콘의 경우, 두 개가 실제로 동일함).

나머지 두 가지 특성은 변경 없이 계속된다.

• ${\displaystyle \mathrm{포함}}$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ D ${\displaystyle C\subseteq D}$이(가) 반대 방향으로 포함(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ⊆${\displaystyle {}^{}}$⊆ ⊆ { {$$ {\$displaystyle$ D$^{*}\subseteq$ C$^{*}).$
• 평면의$$ 두 하위 집합 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$과 D ${\$$displaystyle C}$이(가) 있는 경우, D ${\$$displaystyle$ D$^{*}$에 $D{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $D$$}$이${\displaystyle {(}^{}}$가) $포함$되어 있는 경우에만$$ $C{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\$ C$^{*}$에 포함된다$.$

이중 벡터 공간

이중성의 매우 중요한 예는 어떤 벡터 공간 V에 그것의 이중 벡터 공간과 연관됨으로써 선형 대수학에서 발생한다. 그것의 요소는 선형 함수 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ k ${\displaystyle \varphi :V\to k}$이다$.$ 여기서 k는 V가 정의되는 필드다. 듀얼 콘의 세 가지 특성은 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 서브셋을 벡터 공간으로$$ 대체하고 이러한 서브셋을 선형 지도로 포함시킴으로써 이러한 유형의 이중성으로 이어지게 된다. 즉,

• 이중 벡터 공간을 두 번 사용하는 연산을 적용하면 또 다른 벡터 공간이 생긴다. 항상 지도가 있다 → . 어떤 V, 즉 정확히 유한차원 벡터 공간에서는 이 지도가 이형상이다.
• 선형 지도 → 반대 방향의 지도 ( →W^* )를 낳는다.
• 두 개의 벡터 공간 V와 W가 주어지면, V에서 W에서 와의 지도에 해당하는 맵이 주어진다.

이 이중성의 특별한 특징은 V와 특정 물체, 즉 유한차원 벡터 공간과 같은 이형체라는 점이다. 그러나 이것은 어떤 의미에서는 행운의 우연인데, 그러한 이형성을 부여하려면 일정한 선택이 필요하기 때문에, 예를 들어 V의 기초의 선택이 필요하다. 이는 리에즈 표현 정리를 통해 V가 힐버트 공간인 경우에도 마찬가지다.

갈루아 이론

앞에서 논의한 모든 이중성에서, 물체의 이중성은 물체 그 자체와 같은 종류의 것이다. 예를 들어 벡터 공간의 이중은 다시 벡터 공간이다. 많은 이중성 진술들은 이런 종류의 것이 아니다. 그 대신, 그러한 이중성은 겉으로 보기에 다른 성질의 사물들 사이의 밀접한 관계를 드러낸다. 그러한 보다 일반적인 이중성의 한 예는 갈루아 이론에서 나온 것이다. 고정 Galois 확장 / 의 경우, Galois 그룹 Gal(/)KE을 중간 필드 E(즉, ⊆ ). )에 연결할 수 있다. 이 그룹은 Galois 그룹 = Gal(/)KF의 하위 그룹이다. 반대로, 그러한 부분군 ⊆에는 H의 원소에 의해 고정된 원소로 구성된 고정된 장이 있다.

위와 비교했을 때 이 이중성은 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

• 중간장 ⊆의 확장은 반대 방향인 갈루아 집단을 포함시킨다: 갈(/) KF( 갈(/).KF
• Gal(/)KE을 E와 H에 연결하는 것은 서로 반비례한다. 이것이 갈루아 이론의 근본적인 정리의 내용이다.

주문 역전 이중성

포셋 = (, X≤) (부분적으로 순서가 정해진 세트의 줄임말, 즉 순서의 개념은 있지만 서로 상대적인 순서로 반드시 두 요소를 배치할 수 없는 세트)의 경우, 이중 포셋 = (,X ))은 동일한 지면 세트와 반대 관계를 구성한다. 이중 부분 주문의 익숙한 예는 다음과 같다.

• 고정 집합 S의 하위 집합과 같은 집합 집합의 집합에 대한 부분 집합과 상위 집합 관계 ⊂ 및 ⊃. 이것은 위에서 언급한 이중성의 첫 번째 예를 낳는다.
• 정수의 분열과 다중 관계
• 인간 집합의 후예와 조상 관계

이중성 변환은 부분적으로 순서가 정해진 S의 비자발적 반유동성 f, 즉 순서반복 비자발 : ^[8][9]→ . 몇 가지 중요한 경우에 이러한 단순한 대칭까지 고유하게 변환을 결정한다. 예를 들어, 만약 가 두 개의 이중성 변환이라면, 그들의 구성은 S의 순서 자동형이다. 따라서, 어떤 두 개의 이중성 변환도 오직 순서 자동형 변환에 의해서만 다르다. 예를 들어, 전력 집합 = 2의^R 모든 순서 자동화는 R의 순열에 의해 유도된다.

부분 순서 P에 대해 정의된 개념은 이중 포셋에 대한 이중 개념과 일치할 것이다. 예를 들어 P의 최소 요소는 최대 요소: 최소성과 최대성은 순서 이론에서 이중 개념이다. 다른 쌍의 이중 개념은 상한과 하한, 하한 세트와 상한 세트, 이상과 필터 등이다.

토폴로지에서 오픈 세트와 클로즈드 세트는 이중 개념이다. 오픈 세트의 보완은 닫힘이고, 그 반대의 경우도 마찬가지다. 매트로이드 이론에서, 주어진 매트로이드의 독립된 세트를 보완하는 집합의 집단은 이중 매트로이드라고 불리는 또 다른 매트로이드 그 자체를 형성한다.

치수 반전 이중성

기하학적 또는 위상학적 물체가 같은 유형의 다른 물체에 대응하지만, 물체의 형상의 치수가 역전되는, 뚜렷하지만 상호 관련되는 이중성이 많다. 이것의 고전적인 예가 플라톤 고형질의 이중성이다, 입방체와 팔면체가 이중 쌍을 이루고, 도면체와 고면체가 이중 쌍을 이루고, 사면체는 자가 쌍을 이루고 있다. 이러한 다면체의 어느 하나라도 이중 다면체는 원시 다면체의 각 면의 중심점의 볼록한 선체로 형성될 수 있으므로 이중의 정점은 원면의 얼굴과 일대일로 일치한다. 마찬가지로 이중의 각 가장자리는 원수의 가장자리에 해당하며, 이중의 각 면은 원수의 꼭지점에 해당한다. 이러한 대응은 발생을 보존한다. 원시 다면체의 두 부분이 서로 닿으면 이중 다면체의 해당 두 부분도 서로 접촉한다. 보다 일반적으로 극성상호화 개념을 사용하여, 모든 볼록 다면체 또는 보다 일반적으로 볼록 다면체는 이중 다면체 또는 이중 다면체에 해당하며, 이중 다면체의 n( - 1)차원 형상에 해당하는 n차원 다면체의 i차원 형상이 있다. 이중성의 발병률 보존 특성은 원시 및 이중 다면체 또는 다면체의 얼굴 격자 자체가 순서이론적 이중이라는 사실에 반영된다. 폴리토페의 이중성과 주문-이중성은 둘 다 비자발적이다: 어떤 폴리토페의 이중 폴리토페는 원래의 폴리토페이고, 모든 주문 관계를 두 번 뒤집으면 원래의 순서에 되돌아온다. 다른 극성의 중심을 선택하면 기하학적으로 다른 이중 폴리토페스가 나타나지만, 모두 동일한 결합 구조를 가지고 있다.

어떤 3차원 다면체에서도 정점과 가장자리의 그래프인 평면 그래프를 형성할 수 있다. 이중 다면체에는 이중 그래프가 있으며, 다면체 각 면에 대해 하나의 꼭지점과 인접한 두 면마다 하나의 가장자리가 있는 그래프가 있다. 평면 그래프 이중성의 동일한 개념은 평면에 그려지지만 3차원 다면체에서 나오지 않는 그래프에 일반화될 수 있으며, 또는 보다 일반적으로 상위 속 표면의 내장을 그래프로 나타낼 수 있다: 내장에 가장자리 주기에 의해 경계된 각 영역 내에 하나의 꼭지점을 배치하여 이중 그래프를 그릴 수 있다.경계 모서리를 공유하는 두 영역을 연결하는 가장자리. 이러한 유형의 중요한 예는 S의 델라우나이 삼각측정과 S의 보로노이 도표 사이의 평면에 있는 점의 유한 집합 S에 대한 이중성 계산 기하학에서 온다. 이중 다면체 및 이중 다면체처럼 표면에 있는 그래프의 이중성은 치수역전 비자발적이다: 원시 내장 그래프의 각 꼭지점은 이중 내장 영역에 해당하고, 원시 각 가장자리는 이중에서 가장자리로 교차하며, 원시 각 영역은 이중의 꼭지점에 해당한다. 이중 그래프는 원시 그래프가 내장된 방법에 따라 달라진다. 단일 그래프의 평면 임베딩이 서로 다른 이중 그래프로 이어질 수 있다. Matroid 이중성은 평면 그래프의 그래픽 매트로이드의 이중 매트로드가 이중 그래프의 그래픽 매트로이드와 이형성이라는 점에서 평면 그래프 이중성의 대수적 확장이다.

일종의 기하학적 이중성은 최적화 이론에서도 발생하지만 치수를 역전시키는 것은 아니다. 선형 프로그램은 실제 변수 시스템(유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 의해 지정될 수 있으며,$$ 선형 제약 시스템(점이 반공간에 있음을 명시함, 이 반공간의 교차점은 프로그램의 실현 가능한 영역인 볼록 폴리토프임을 나타냄)에 의해 지정될 수 있다.ar 기능(최적화할 기능). 모든 선형 프로그램은 동일한 최적의 해법으로 이중 문제를 가지고 있지만, 이중 문제의 변수는 원시 문제의 제약조건에 해당하고 그 반대도 마찬가지다.

논리와 집합 이론의 이중성

논리학에서 함수나 관계 A와 B는 (¬)x = ¬()Bx인 경우 이중으로 간주된다. 여기서 ¬은 논리적 부정이다. 이러한 유형의 기본적인 이중성은 고전적 논리에서 in과 ∀ 정수의 이중성이다. ∃.¬()xPx와 ¬∀.(.(()xPx는 모든 술어에 동등하기 때문에 이중이다. P 고전적 논리학에서: 만약 존재하는 경우 x 어떤 것을 위하여 P 붙잡지 못하다, 그렇다면 그것은 거짓이다. P 만인을 위해 보유하다 x (그러나 역은 건설적으로 유지되지 않는다.) 이러한 근본적인 논리적 이중성으로부터 몇 가지 다른 것을 따른다.

• 공식은 공식을 진실하게 만드는 자유 변수에 대한 할당이 있을 경우 특정 모델에서 만족한다고 하며, 자유 변수에 대한 모든 할당이 그것을 진실하게 만들면 유효하다. 만족도와 타당성은 이중적이다. 왜냐하면 무효한 공식은 정확히 만족스러운 공식이고, 불만족스러운 공식은 부정의 유효성이 있는 공식이기 때문이다. 이는 양자가 해석을 넘어서는 등, 이전 항목의 특수한 경우라고 볼 수 있다.
• 고전적 논리학에서는 ∧과 operators 연산자가 이러한 의미에서 이중적인데, 그 이유는 (¬¬x ))y와 ((x ))가 동등하기 때문이다. 이것은 고전적 논리의 모든 정리에 동등한 이중 정리가 있다는 것을 의미한다. 드 모건의 법칙이 그 예다. 보다 일반적으로 ∧ (¬ ) = ¬∨. 왼쪽은 만일 ix_i¬.¬이면 진실이고, 오른쪽은 ¬∃i.x이면_i 진실이다.
• 모달 논리학에서 □p는 명제 p가 "필요하게" 참임을 의미하며, ◊p p는 "가능하게" 참임을 의미한다. 모달 논리에 대한 대부분의 해석은 이 두 연산자에 이중의 의미를 부여한다. 예를 들어 크립케 의미론에서 "p is true"는 "p가 W에 true인 W가 있다"는 뜻이고, "p는 반드시 true"는 "모든 세계에 대해 p는 w에 true"라는 뜻이다. 그 후 □와 dual의 이중성은 ∀과 ∃의 유사 이중성에서 따르게 된다. 다른 이중 모달 연산자도 이와 유사하게 행동한다. 예를 들어, 시간적 논리는 운영자들이 유사하게 이중적인 "미래에 어느 때든 진실일 것"과 "미래에는 항상 진실일 것"을 나타내도록 한다.

다른 유사한 이중성은 다음과 같다.

• 집합보완 연산자 ⋅^C에 따라 집합이론적 결합과 교차점이 이중이다. 즉, ∩ = A( ( )와 보다 일반적으로 ∩ = (∪ )^C이다.^C 이는 ∀과 ∃의 이중성에서 따온 것으로서, 원소 x는 if와 αxif, if와 if, only, if, if, if, if, only, if. if. if. if, if. if. if. if. if. if. αif. ∈.^C의 일원이다.

이중 객체

이중성의 그룹은 X와 유사한 구조를 가진 어떤 수학적 객체 X에 대해 형태론 Hom (,X )의 집합을 어떤 고정 객체 D에 기부함으로써 설명할 수 있다. 이것을 내부 홈이라고 부르기도 한다. 일반적으로 이것은 D의 특정 선택에 대해서만 참된 이중성을 산출하는데, 이 경우 = Hom (,X )은 X의 이중성을 가리킨다. X에서 입찰자까지의 지도가 항상 존재한다는 것, 즉 이중의 이중의 지도가 있다.

그것은 어떤 지도와 연관되는 지도를 일부 ∈에 할당한다 : → (즉, Hom (,X )의 요소) 값 ().x 고려된 콘크리트 이중성과 대상 X에 따라 이 지도가 이형일 수도 있고 아닐 수도 있다.

이중 벡터 공간 재방문

이중 벡터 공간의 구성

서론에서 언급된 것은 그러한 이중성의 예다. 실제로 형태론 집합, 즉 선형 지도는 그 자체로 벡터 공간을 형성한다. 위에서 언급된 지도 → 항상 주입식이다. V의 차원이 유한한 경우에만, 그것은 굴절적이며, 따라서 이소모르프리즘이다. 이 사실은 근거를 언급하지 않고 유한차원 벡터 공간의 특성을 나타낸다.

V와 V의^∗ 이소모르피즘과 내부 제품

벡터 공간 V는 V가 유한한 경우 정확하게 V와^∗ 이형성이다. 이 경우, 그러한 이형성은 비기상 이선형 형태와 동등하다.

이 경우 V는 내부 제품 공간이라고 불린다. 예를 들어 K가 실수의 분야나 복합수의 분야라면 어떤 양적인 확정 이선형 형태라도 그러한 이형성을 낳게 된다. 리만 기하학에서 V는 다지관의 접선 공간으로 받아들여지고 그러한 긍정적인 이린라인 형태를 리만 메트릭스라고 부른다. 그들의 목적은 각도와 거리를 측정하는 것이다. 그러므로 이중성은 이 기하학의 가지에 대한 기초적인 기초가 된다. 내부 제품 공간의 또 다른 적용은 외부 대수학의 요소들 사이의 일치성을 제공하는 호지 별이다. n차원 벡터 공간의 경우, 호지 항성 연산자는 k-폼을 (n - k)폼에 매핑한다. 이것은 맥스웰 방정식을 공식화하는 데 사용될 수 있다. 이렇게 가장하여 내부 제품 공간에 내재된 이중성은 자기장과 전기장의 역할을 교환한다.

투영 기하학의 이중성

일부 투영 평면에서 투영 평면의 각 점을 선에 매핑하고 투영 평면의 각 선을 한 점에 매핑하는 기하학적 변환을 발생 보존 방식으로 찾을 수 있다.^[10] 그러한 평면의 경우 투영 평면에 이중성의 일반적인 원리가 발생한다: 그러한 평면 투영 기하학에서 어떤 정리가 주어지면, 어디에서나 "점"과 "선"이라는 용어를 교환하면 새롭고 동등하게 유효한 정리가 된다.^[11] 간단한 예로는 "두 점의 고유한 선, 이 점을 통과하는 선"이라는 문장에 "두 선이 이 두 선의 교차점, 즉 고유한 점을 결정한다"는 이중 문장이 있다. 자세한 예는 이중 정리를 참조하십시오.

일부 평면(잘못된 필드 평면)에서 이러한 현상에 대한 개념적 설명은 이중 벡터 공간에 의해 제공된다. 실제로 투사 평면 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 점은 1차원 서브벡터 $공간{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ V$\subset \mathb {R} ^3}$에 해당하고$$^[12] 투사 평면의 선은 차원 2의$$ $서브벡터{\displaystyle }$ 공간$$W {\$displaystystylee W}$에 해당한다. The duality in such projective geometries stems from assigning to a one-dimensional ${\displaystyle V}$ the subspace of ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$ consisting of those linear maps ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ which satisfy ${\displayst$$yle f(V)=0$ 선형대수의 치수 공식의 결과로서, 이 공간은 2차원, 즉${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}{}^{}}$3 )$\$ {\$displaystyle (\mathb {R}^{3}^{*})$과 연관된 투영 평면의 선에 해당한다$.$

이선형

yields an identification of this projective plane with the ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$. Concretely, the duality assigns to ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ its orthogonal${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rang$$le =0{\text{{{}{{v\in V\right$ . 투영 기하학에서 이중성의 명시적 공식은 이 식별을 통해 발생한다.

위상 벡터 공간 및 힐버트 공간

위상학적 벡터 공간의 영역에는 위상학적 이중 벡터 공간으로 이중을 대체하는 유사한 구조가 존재한다. 위상학적 이중공간에 대한 몇 가지 관념이 있으며, 각 개념은 이중성의 일정한 개념을 낳는다. 비듀얼 $X{\displaystyle {}^{}}$x ${\$ X$"}$에 대해 표준적으로 이형화된 위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $X$$}$을(를) 반사 공간이라고 한다$$.

예:

• 유한차원 사례에서와 같이, 각각의 힐베르트 공간H에서 내부 생산물 ⟨⟩은 지도를 정의한다.
  $${\displaystyle H\to H^{*}v\mapsto(w\mapsto \langle w,v\angle )),}$$

  
  리에즈 표현 정리 때문에 생긴 편향이야 모든 힐베르트의 공간은 반사적인 바나흐 공간이다.
• -공간의 이중규범 공간은 1㎛p < <>을 전제로 1/ + 1/ q= 1이지만 의 이중규범 공간은 .보다 크다. 따라서 반사적이지 않다.
• 분포는 함수의 적절한 공간에 대한 선형 함수다. 그것들은 부분 미분방정식(PDE) 이론에서 중요한 기술적 수단이다: PDE를 직접 해결하는 대신에, 먼저 "약한 의미" 즉, PDE를 만족시키는 분포를 찾는 것이 더 쉬울 수 있고, 둘째, 솔루션이 사실상 함수가 되어야 한다는 것을 보여주는 것이다.^[13] All the standard spaces of distributions — ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$, ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$ — are reflexive locally convex spaces.^[14]

추가 이중 객체

격자 L의 이중 격자는 다음과^{[clarification needed]} 같다.

토릭 품종의 건설에 사용되는 것.^[15] 지역 콤팩트 토폴로지 그룹 G의 폰트랴긴 이중은 다음과 같다. 원 안에 값이 있는 연속 그룹 동형성(복수 곱하기 그룹 연산)

이중 카테고리

반대 범주 및 부호 펑커

또 다른 이원집단에서 한 이론의 객체는 다른 이론의 객체로 번역되고, 첫 번째 이론의 객체들 사이의 지도는 두 번째 이론에서는 형태론으로 번역되지만 방향이 반대로 바뀐다. 범주 이론의 비유를 사용하여, 이것은 두 범주 C와 D 사이의 상이한 functor에 해당한다.

C의 X와 Y는 어느 두 물체에 대해 지도를 제공한다.

그 functor는 범주의 동등성일 수도 있고 아닐 수도 있다. 그러한 functor가 C와 D의 반대 범주의 등가성인 상황은 다양하다. 이러한 유형의 이중성을 이용하여 제1 이론의 모든 진술은 제2 이론의 "이중" 진술로 번역될 수 있는데, 여기서 모든 화살표의 방향은 역전되어야 한다.^[16] 따라서 범주 C와 D 사이의 모든 이중성은 공식적으로 C와 (C^op와 D) 사이의 동등성과 동일하다. 그러나 많은 상황에서 반대되는 범주는 고유한 의미를 가지지 않으며, 이는 이중성을 추가적이고 별도의 개념으로 만든다.^[17]

그것의 이중과 동등한 범주를 셀프듀얼이라고 한다. 자기이중 범주의 예로는 힐버트 공간의 범주가 있다.^[18]

많은 범주론적 개념은 반대 범주를 고려하면서 서로 대응한다는 의미에서 쌍으로 나온다. 예를 들어, 카트리지안 제품 ×와 디스조인트 유니언 ⊔은 다음과 같은 점에서 서로 이중적이다.

그리고

어떤 세트 X에 대해서도. 더 일반적인 이중성 현상의 정반대의 범주에 간 사나이에서 colimits에 C해당 범주에 제한하는 이것은 특정 사건, 단사 vs특정 요소의 모듈은 이번의 추가 구체적인 예들이 있epimorphisms,(이나 단체 등)와 장 submodules, 직접적인 제품 비능률 직접적인 자금줄(또한 coproducts emphasiz 것을 촉구했습니다.e 이중성 측면). 따라서 경우에 따라서는 이러한 이중성 현상을 이용하여 특정 진술의 증명자료를 반감할 수 있다. 그러한 범주형 이중성에 의해 관련되는 추가적인 개념은 위상과 더 일반적으로 모델 범주의 동질 대수,^[19] 섬유 및 공변에서 투영적이고 주입적인 모듈이다.^[20]

두 개의 functor : → 및 : → 모든 물체에 대해 C in C와 D in D의 경우 조정된다.

자연스럽게 사실, 한계와 코리밋의 대응은 연결점이 있기 때문에 조정의 한 예다.

어떤 범주 I에 의해 지수화된 C의 어떤 다이어그램에 할당되는 콜리밋 펑터와 모든 장소에 c가 있는 상수 다이어그램에 C의 어떤 물체 C를 매핑하는 대각선 펑터 사이. Dally,

공간 및 함수

Gelfand 이중성은 정류 C*-algebras A와 콤팩트 Hausdorff 공간 X 사이의 이중성이다: X에서 C까지의 연속함수의 공간(무한도에서는 사라짐)을 X에 할당한다. 반대로 공간 X는 A에서 A의 스펙트럼으로 재구성할 수 있다. Gelfand와 Pontryagin의 이중성은 대부분 형식적이고 범주의 이론적인 방법으로 추론할 수 있다.^[21]

유사한 맥락에서 정류 링과 부착 체계 사이에 대수 기하학 기하학에는 이중성이 있다: 모든 정류 링 A에는 부착 스펙트럼인 스펙 A가 있다. 반대로, 진술 체계 S에 따라, 사람들은 구조물의 전지구적인 부분인 O를_S 취함으로써 반지를 되찾는다. 또한 링 동형성은 아핀 체계의 형태와 일대일 일치하므로 등가성이 있다.

(주문 고리)^op ≅ (관계 체계)^[22]

진술계획은 그 지역의 계획들을 구성하는 요소들이다. 따라서 이전의 결과는 국소적인 계략이론인 역학대수학, 즉 역학고리를 연구하는 것과 동일하다는 것을 말해준다.

비고정 기하학은 Gelfand 이중성에서 영감을 끌어내고 비고정 C*-algebras를 마치 상상된 공간의 기능인 것처럼 연구한다. Tannaka-Krein 이중성은 폰트랴긴 이중성의 비 커뮤티브 아날로그다.^[23]

갈루아 연결부

여러 상황에서 서로 이중인 두 범주는 실제로 부분적으로 순서가 정해진 집합에서 발생한다. 즉, 물체가 다른 범주보다 작다는 개념이 있다. 문제의 순서를 존중하는 이중성을 갈루아 연결이라고 한다. 예를 들어, 서론에서 언급된 갈루아 이론의 표준 이중성이 있다: 더 큰 필드 확장은 - 어떤 확장자 L k K (일부 고정된 큰 필드 Ω 내부)에 할당하는 매핑에 따라 - 더 작은 그룹에 할당하는 갈루아 그룹 갈(Ω / L)^[24]은 더 작은 그룹에 할당된다.

위상학적 공간 X의 모든 열린 하위 집합의 집합은 완전한 헤이팅 대수학을 형성한다. 스톤 이중성으로 알려진 이중성이 있으며, 냉정한 공간과 공간적 위치를 연결한다.

• 분배 격자와 부분 질서에 관한 Birkhoff의 표현 정리

폰트랴긴 이중성

폰트랴긴 이중성은 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹의 범주에 이중성을 부여한다: 그러한 그룹 G에 주어진 캐릭터 그룹

χ(G) = 홈(G¹, S)

G에서 서클 그룹¹ S까지의 연속 그룹 동형성에 의해 주어지는 콤팩트 오픈 토폴로지를 부여할 수 있다. 폰트랴긴 이중성은 캐릭터 그룹이 다시 국소적으로 콤팩트한 아벨리아인이며, 그것을 말한다.

G ≅ χ(χ(G)).^[25]

게다가 이산 집단은 콤팩트한 아벨리아 집단에 대응하고, 유한 집단은 유한 집단은 유한 집단에 대응한다. 한편 폰트랴긴은 겔프랜드 이중성의 특수한 경우다. 반면에, 그것은 푸리에 분석의 개념적 이유 입니다, 아래를 참조하십시오.

분석 이중성

분석에서, 기능 및 운용자의 이중적 설명으로 넘어가 문제가 자주 해결된다.

푸리에 변환은 벡터 공간의 기능과 그 이중으로 전환된다.

반대로 f가 R이나 R의^N L 기능이라면², $예$를 들어 f ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ $f$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( x${\displaystyle }$)$${\$displaystyf(-x)={\widehat${\$widehat{f}}(x$ 게다가, 해당 기능 공간에서 곱셈과 수정의 상호작용을 변환한다. 푸리에 변환에 대한 개념적 설명은 앞서 언급한 폰트랴긴 이중성에 의해 얻어지며, 국소 콤팩트 그룹 R(또는^N R 등)에 적용되며, R의 모든 문자는 ξ e^−2πixξ e에 의해 주어진다. 푸리에 변환의 이원화 특성은 예를 들어 좌표와 모멘텀 표현 측면에서 양자 역학적 시스템의 대안적 설명에서 많은 다른 발현들을 가지고 있다.

• 라플라스 변환은 푸리에 변환과 유사하며 일정한 계수 선형 미분 연산자를 가진 다항식 연산자에 의해 곱셈 연산자를 교환한다.
• 레전드르 변환은 라그랑기 역학의 속도와 해밀턴 역학의 모멘텀a 사이에서 전환되는 중요한 분석적 이중성이다.

호몰로지 및 코호몰로지

특정 관심 대상들이 다른 관심 대상들의 이중 공간(선형대수 의미)임을 보여주는 이론들을 종종 이중성이라고 부른다. 이러한 이중성의 대부분은 두 K 벡터 공간의 이선 쌍에 의해 주어진다.

A ⊗ B → K.

따라서 완벽한 쌍의 경우, B의 이중에는 A의 이형성이 있다.

푸앵카레 이중성

부드러운 콤팩트 콤플렉스 다지관 X의 푸앵카레 이중성은 단수 코호몰로지(상수 피복 C의 피복 코호몰로지)와 결합하여 주어진다.

Hⁱ(X) ⊗ H²ⁿ⁻ⁱ(X) → C,

여기서 n은 X.^[26] Poincaré 이중성의 (복잡한) 차원 또한 지도라고 주장함으로써 단수 호몰로지 및 de Rham 코호몰로지와의 관계로서 표현될 수 있다.

$\displaystyle (\displaystyle,\omega )\mapsto \int_{\data }\omega }$

(2n-k-(실제) -차원 사이클에 걸쳐 차동 k-폼을 사용)은 완벽한 쌍이다.

푸앵카레 이중성은 치수를 역전시키기도 한다. 위상학적 다지관이 세포 복합체로 표현되는 경우 복합체의 이중(평면 그래프 이중의 고차원 일반화)이 동일한 다지관을 나타낸다는 사실에 해당한다. 푸앵카레 이중성에서 이 동형성은 k번째 호몰로지 집단과 (n - k)번째 호몰로지 집단의 이형성에 반영된다.

대수기하와 산술기하에서의 이중성

동일한 이중성 패턴은 Q-코퍼티_ℓ 대신 l-adic cohomology를 사용하여 분리할 수 있도록 닫힌 영역에 걸쳐 부드러운 투영적 다양성을 유지한다.^[27] 이것은 베르디에 이중성이라고 불리는 이중성을 대신하여 교차로 코호몰로지(comething cohomology)를 사용하여 아마도 단수종류로 더욱 일반화된다.^[28] 세레 이중성 또는 일관성 있는 이중성은 위의 진술과 유사하지만, 대신 일관성 있는 피복의 공동 호몰로지에도 적용된다.^[29]

일반성의 수준이 증가함에 따라, 이러한 이론들을 이해하는 데 점점 더 많은 기술적 배경이 도움이 되거나 필요한 것으로 밝혀졌다: 이러한 이중성의 현대적인 공식화는 파생 범주와 다지관의 고전적 분석 위상에 관하여, 직역 이미지 펑커스를 사용하여 수행할 수 있다. Poincaré 이중성, l-adic shave 및 étal topology의 경우, 그리고 두 번째 사례에서 일관적인 이중성을 위한 consistic shave에 관한 것).

그러나 유사한 이중성 문장의 또 다른 그룹은 산술학에서 접하게 된다: 유한, 국부 및 글로벌 분야의 에테일 코호몰로지(필드에 대한 에테일 코호몰로지(etale cohomology)는 해당 분야의 (절대) 갈루아 그룹의 그룹 코호몰로지(galois cohomology)와 동일하므로)는 유사한 쌍을 인정한다. 예를 들어, 유한한 분야의 절대 갈루아 그룹 G_q(F)는 Z$^$ {\$displaystyle${\$widehat${\\$mathbf${Z$}}}}$에 대해 이형성이며$,$ 정수인 Z의 확실한 완성이다. 따라서 완벽한 페어링(모든 G-모듈 M에 대해

Hⁿ(G, M) × H¹⁻ⁿ(G, Hom(M, Q/Z) → Q/Z^[30]

유한집단의 폰트랴긴 이중성의 직접적인 결과물이다. 로컬 및 글로벌 분야의 경우 유사한 문장이 존재한다(로컬 이중성과 글로벌 또는 Poitou–).테이트 이중성).^[31]

참고 항목

메모들

참조

일반적으로 이중성

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대수 위상에서의 이중성

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