포아송 분포

확률 이론과 통계에서, 프랑스 수학자 시메온 데니스 포아송의 이름을 딴 포아송 분포(/ˈpwɑsɒsɒn/; 프랑스어 발음: [pwasɔ̃])는 이러한 사건이 알려진 콘스타와 함께 발생할 경우 일정한 시간 또는 공간 간격으로 발생할 확률을 나타내는 이산 확률 분포다.nt 평균 속도 및 마지막 이벤트 이후 시간에 독립적으로.^[1] 포아송 분포는 또한 거리, 면적 또는 부피와 같은 다른 지정된 간격의 사건 발생 횟수에 사용될 수 있다.

예를 들어, 콜 센터는 평균적으로 시간당, 하루 24시간, 180통의 전화를 받는다. 통화는 독립적이다. 한 통을 받는다고 해서 다음 통화가 언제 도착할지 확률은 달라지지 않는다. 어떤 분 동안 수신되는 통화의 수는 포아송 확률 분포를 가지고 있다. 가장 가능성이 높은 숫자는 2와 3이지만 1과 4는 또한 가능성이 높고 0만큼 낮을 확률은 매우 작으며 10일 가능성이 매우 작다. 또 다른 예는 정의된 관찰 기간 동안 방사성 선원에서 발생하는 붕괴 사건의 수입니다.

정의들

확률 질량 함수

이산형 랜덤 변수 X는 다음과 같이 주어진 확률 질량 함수를 갖는 경우 매개변수 > 0 $[\displaystyle \lambda >0}$을(를) 갖는 포아송 분포를 갖는다고 한다^{[2]: 60}

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}}}}{k!}},}$

어디에

• k는 발생 횟수(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2${\displaystyle \mathrm{...)}}$이다.$k=0,1,2...$$}$)
• e는 오일러의 번호(${\displaystyle }$= 2${\displaystyle \mathrm{.71828...)}}$이다.$2.71828...$$}$)
• !는 요인 함수다.

양의 실수 λ은 X의 기대값과 같으며 분산이기도^[3] 하다.

${\displaystyle \lambda =\operatorname {E}(X)=\operatorname {Var}(X)}$

포아송 분포는 각각 드물게 발생 가능한 사건 수가 많은 시스템에 적용할 수 있다. 일정한 시간 간격 동안 발생하는 그러한 사건의 수는 적절한 상황에서 포아송 분포를 갖는 임의의 숫자다.

평균 이벤트 수 ${\displaystyle \lambda }$이$($가) 아닌 이벤트 $수$ r ${\displaystyle r}$에 대한 시간 비율이 주어진 경우 방정식을 적용할 수 있다. 그런 다음 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda =rt}($$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$개$$ 시간 단위당 이벤트 수 표시) 및

${\displaystyle P(k{\text{ interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}}$

예

포아송 분포는 다음과 같은 이벤트를 모형화하는 데 유용할 수 있다.

• 1년 동안 지구에 충돌하는 지름 1m 이상의 운석 수
• 오후 10시에서 11시 사이에 응급실에 도착하는 환자 수
• 특정 시간 간격에서 디텍터를 때리는 레이저 광자 수

가정과 타당성

다음과 같은 가정이 참일 경우 포아송 분포가 적절한 모형이 된다.^[4]

• k는 한 간격에 사건이 발생하고 k가 값 0, 1, 2, ....을 취할 수 있는 횟수다.
• 한 사건의 발생은 두 번째 사건이 발생할 확률에 영향을 미치지 않는다. 즉 사건은 독립적으로 일어난다.
• 사건이 발생하는 평균 속도는 어떤 사건과도 무관하다. 단순성을 위해, 이것은 보통 일정하다고 가정되지만, 실제로는 시간에 따라 다를 수 있다.
• 두 사건은 정확히 같은 순간에 발생할 수 없다. 대신, 각각의 아주 작은 하위 중간에서 정확히 하나의 사건이 발생하거나, 어떤 사건도 발생하지 않는다.

이러한 조건이 참이면 k는 포아송 랜덤 변수, k의 분포는 포아송 분포다.

포아송 분포는 또한 이항 분포의 한계로서, 시험 횟수가 무한대에 근접함에 따라 각 시행의 성공 확률은 λ을 시행 횟수로 나눈 값과 같다(관련 분포 참조).

포아송 분포의 확률 예제

간격 이벤트에 한 번: λ = 1과 k = 0의 특별한 경우

천문학자들이 (특정 크기 이상의) 큰 운석들이 평균적으로 100년에 한 번 지구에 부딪힌다고 추정한다고 가정하자( meteorite=100년에 한 번의 사건) 운석 타격 횟수가 포아송 분포를 따른다고 가정하자. 향후 100년 동안 k = 0 운석 명중 확률은?

${\displaystyle P(k={\text{0}다음 100년 내 유성 충돌)={\frac {1^{0}e^{-1}{0!}}}={\frac{1}{e}\약 0.37}$

이러한 가정 하에, 향후 100년 동안 지구에 큰 운석이 충돌하지 않을 확률은 대략 0.37이다. 나머지 1 - 0.37 = 0.63은 향후 100년 이내에 1, 2, 3 또는 그 이상의 대형 운석 타격 확률이다. 위의 예에서, 오버플로 홍수는 100년에 한 번 발생했다. (1998 = 1) 100년 동안 홍수 범람이 없을 확률은 같은 계산으로 대략 0.37이었다.

일반적으로 사건 발생 간격이 평균 1회(평균 = 1)이고 사건이 포아송 분포를 따른다면 P(다음 간격의 사건 0개) = 0.37이다. 또한 P(다음 간격에서 정확히 한 가지 사건) = 0.37(과다홍수 표에 나타난 바와 같다.

포아송 가정을 위반하는 예제

분당 학생 조합에 도착하는 학생 수는 포아송 분포를 따르지 않을 가능성이 높은데, 그 이유는 비율이 일정하지 않고(수업 시간 중 낮은 비율, 수업 시간 간 높은 비율) 개별 학생의 도착이 독립적이지 않기 때문이다(학생들은 집단으로 오는 경향이 있다).

한 국가에서 매년 규모 5의 지진 횟수는 한 번의 큰 지진이 비슷한 규모의 여진 발생 확률을 증가시킨다면 포아송 분포를 따르지 않을 수 있다.

최소한 하나의 사건이 보장되는 예제는 포아송 분포를 따르지 않지만 제로-트래핑 포아송 분포를 사용하여 모델링할 수 있다.

사건이 0인 구간 수가 포아송 모형에 의해 예측된 것보다 더 많은 카운트 분포는 영인플레이션 모형을 사용하여 모델링할 수 있다.

특성.

기술 통계량

• 포아송 분포 랜덤 변수의 기대값과 분산은 모두 λ과 같다.
• 변동계수는${\displaystyle {}^{}}\lambda {\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$인 반면 분산지수는 1이다$.$^{[6]: 163}
• 평균에^{[6]: 163} 대한 평균 절대 편차는

${\displaystyle \operatorname {E} [ X-\lambda ]={\frac {2\lambda ^{\lllllpa \rfloor +1}e^{-\lambda \lambda \rfloor!}}}.}$

• 비정수자 λ을 가진 포아송 분포 랜덤 변수의 모드는 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rfloor }$ $\$ {\$displaystyle \lllmouse \lambda \rfloor }$과$$같으며, 이는 λ보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것이다. 이것 또한 바닥(λ)으로 쓰여 있다. λ이 양의 정수일 때, 모드는 λ과 λ - 1이다.
• 포아송 분포의 모든 적분은 기대값 λ과 동일하다. 포아송 분포의 n번째 요인 모멘트는 λ이다ⁿ.
• 포아송 공정의 기대값은 강도와 노출의 산물로 분해되기도 한다(또는 시간이나 공간에 걸쳐서 "강도함수"의 적분으로 더 일반적으로 표현되며, 때로는 "노출"이라고도 한다).^[7]

중앙값

$$의 중위수$({\displaystyle \nu$ $\}\}$ )에 대한 한계는 알려져 있으며 다음과 같이 선명하다.^[8]

${\displaystyle \ \da -\ln 2\leq \nu <\\da +{\frac {1}{3}}.}$

더 높은 순간

• 포아송 분포의 높은 비중심 모멘트 m는_k λ의 Touchard 다항식이다.

${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\ftda ^{i}\lift\{\put}k\i\end}\right\}}}}$

여기서 {braces}은 두 번째 종류의 스털링 숫자를 나타낸다.^{[9][1]: 6} 다항식 계수는 조합적 의미를 갖는다. 실제로 포아송 분포의 기대값이 1일 때, 도빈스키의 공식은 n번째 순간이 n 크기 집합의 파티션 수와 같다고 말한다.

단순한 바운드는

${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \leq({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}\오른쪽)^{k}\leq \leq \{k}\exp \left({\frac{k^{2}}:{2\lambda }}\오른쪽).}$

포아송 분포 랜덤 변수의 합계

If ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ for ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ are independent, then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\righ$$t$^{[11]: 65} 역은 라이코프의 정리인데, 두 개의 독립 랜덤 변수의 합이 포아송-분산이라면 그 두 독립 랜덤 변수의 각각도 마찬가지라고 한다.^[12][13]

기타 속성

• 포아송 분포는 무한히 분리할 수 있는 확률 분포다.^{[14]: 233 [6]: 164}
• ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Pois}(\lambda _{0})$에서 Pois ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaysty \operatorname {Pois}(\lambda$ ) (\lambda $)}$의 지시된 Kullback-Liblaris는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}(\lambda \mid \lambda _{0})=\lambda _{0}-\lambda +\log {\frac {\lambda _{0}}}.}$

• Poisson 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle$ X$\sim \operatorname {Pois}(\lambda )}$의 꼬리 확률에 대한 범위는 Chernoff 바인딩 인수를 사용하여 파생할 수 있다$$.^{[15]: 97-98}

( ) ) ≤ (e λ ) - - x > > λ > ${\displaystyle$ P$(X\geq$ x$)\leq${\$frac {(e\lambda$)^{$x^{x^{x}},{x$$lambda},{},{},{$x},{},{},{},{},{\lambdata.

${\displaystyle P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}}}{x^{x^{x}}},{\text{{}}}}, }x<\lambda.}$

• 상단 꼬리 확률은 다음과 같이 조일 수 있다(^[16]최소 2배수).

${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$

여기서 $D{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{KL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (x}$∣ ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}(x\mid \lambda )}$은 위에서$$ 설명한 바와 같이 방향의 Kullback-Leibler 차이점이다.

• 포아송 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$ is${\displaystyle }$(${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle$ X$\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$의 분포 함수와 표준 정규 분포 함수 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \Phi (x)}$에 관련된 불평등은 다음과$$ 같다.^[16]

${\displaystyle \Phi \왼쪽(\operatorname {sign})(k-\lambda ){d}\\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}(k\mid \lambda )}}}\right)<P(X\leq k)\c)Phi \left(\operatorname {sign}(k-\lambda +1){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}(k+1\mid \lambda )}}}\right),{\text{}k>0,}$

$여기$서 D ${\displaystyle {\text{KL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (k}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}(k\mid \lambda )}$은 다시 지시된 Kullback-Leibler의 차이점이다$$.

포아송족

$X{\displaystyle }$~ $Pois ⁡$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\disstyle X\sim \operatorname {Pois}(\lambda$) 및$$ $Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$ ${\displaystyle (\mu )}$ ${\$$displaysty$ $Y\sim \operatorname {Pois}(\$$mu$ )을$($으)에 독립적인 랜덤 변수가 되도록$$ 두십시오 그러면 < ${\{{{{{{{{{{{{$po$}$ .

${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$

상한이 표준 체르노프 바운드를 사용하여 증명된다.

The lower bound can be proved by noting that ${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$ is the probability that ${\displaystyle Z\geq {\frac {i}{2}}}$, where ${\displaystyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)}$, which $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(i}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1{}^{}}{}}$) 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle D^{}}$( 0.${\displaystyle {5\Vert }^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\lambda }{}}^{}}$μ +${\displaystyle {\frac{}{}\frac{\mu }{}}^{}}$ )${\$)로 경계선 지정$}}}}e^{{}\좌(-iD\좌)(0.5\\\frac${\$lambda }{\lambda +\mu }}\오른쪽$ 여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$는 상대 엔트로피(자형 분포의 꼬리에 대한 경계 항목 참조). $또한{\displaystyle }$X +${\displaystyle Y}$ ~ ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$+ + ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$X+$Y\sim \operatorname {Pois}$(\$lambda +\mu )}$, 그리고 무조건 확률에 대한 하한을 계산하는 것이 결과를 낳는다. 자세한 내용은 Kamath 등의 부록에서 확인할 수 있다.^[17]

관련 분포

일반

• If ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ are independent, then the difference ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ follows a Skellam distribution.
• If ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ are independent, then the distribution of ${\displaystyle X_{1}}$ conditional on ${\displaystyle X_{1}+X_{2}$${}$은(는) 이항 분포다.

${\displaystyle {구체적}_{}}$으로 $X{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2$인 경우$}}=k$ 그 다음 ${\displaystyle X{}_{}}$ 1 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}{}_{}}$+ X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle k}$~ ${\displaystyle B\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}(k,}$ ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$/${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle \!$$X_{1} X_{1}+X_{2$$}}=k\sim \mathrm {Binom}(k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2$

보다 일반적으로 X₁, X₂, ..., X가_n 모수₁ isson, variables, ..., λ을_2n 가진 독립형 포아송 랜덤 변수라면 그 다음이다.

given ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ it follows that ${\displaystyle X_{i}{\Big }\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right)}$$$. In fact, ${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right)}$.

• If ${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$ and the distribution of ${\displaystyle Y}$, conditional on X = k, is a binomial distribution, ${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p)}$, then the distribution of Y follows a Poisson distribution ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p)\,}$. In fact, if ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$, conditional on X = k, follows a multinomial distribution, ${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right)$$\}\},$ 그 다음 각 ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\$은(는) 독립된 포아송 ${\displaystyle {분포}_{}}$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$~ P ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ( s${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle p_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ,${\displaystyle \mathrm{\rho }}$(${\displaystyle {Yi}_{}}$, ${\displaystyle Y_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaysty Y_{i}\sim \mathrmet$ {$Pois} (\lambda$\cda \$cdot p_{{i}),\$cda_{i}),\$rhohohoi_{$i_})를 따른다$.$$Y_{j}=0}$.
• 포아송 분포는 시험 횟수가 무한대로 가고 예상되는 성공 횟수가 고정되어 있기 때문에 이항 분포의 제한 사례로 파생될 수 있다 — 아래의 희귀 사건 법칙을 참조하십시오. 따라서 n이 충분히 크고 p가 충분히 작으면 이항 분포의 근사치로 사용할 수 있다. 포아송 분포는 n이 최소 20이고 p가 0.05보다 작거나 같으면 이항 분포의 좋은 근사치, n ≥ 100과 np ≤ 10이면 훌륭한 근사치라고 말하는 경험칙이 있다.^[18]

${\displaystyle F_{\mathrm {Binomial}}}(k;n,p)\관련 F_{\mathrm {Poisson}(k;\lambda =np)\,}$

• 포아송 분포는 모수만 있는 이산형 화합물 포아송 분포(또는 말더듬 포아송 분포)의 특별한 경우다.^[19][20] 이산 화합물 포아송 분포는 일변량 다항 분포의 제한 분포에서 추론할 수 있다. 또한 복합 포아송 분포의 특별한 경우다.
• λ, (예: λ>1000)의 충분히 큰 값에 대해 평균 λ과 분산 λ(표준편차 ${\$ $\}\}\})$을 갖는 정규 분포는 포아송 분포에 대한 훌륭한 근사치다. λ이 약 10보다 크면, 적절한 연속성 보정이 수행되면, 즉, x가 음이 아닌 정수인 P(X ≤ x)를 P(X ≤ x + 0.5)로 대체하면 정상 분포는 좋은 근사치가 된다.

${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson}}(x;\lambda )\관련 F_{\mathrm {normal}}(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )\,},},}$

• 분산 안정화 변환: $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle P\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\$ $)\backslash ,\}$인 경우

${\displaystyle Y}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X\sqrt{}}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \lambda ;}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y=2{\\sqrt{X}}\약 {\mathcal{N}(2{\sqrt {\lambda };1$^{[6]: 168}

그리고

${\displaystyle Y\mathcal{}}$= ${\displaystyle X\sqrt{}}$ ${\displaystyle \approx }$ N (${\displaystyle \mathrm{\lambda };}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 4${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y={\sqrt{X}}\약 {\mathcal{N}({\sqrt{\lambda };1/4)}$^{[21]: 196} .

이 변환에서는 정규성에 대한 수렴($\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 증가함에 따라)이 변환되지 않은 변수보다 훨씬 빠르다.^{[citation needed]} 다른, 조금 더 복잡한 분산 안정화 변환을 이용할 수 있는데,^{[6]: 168} 그 중 하나가 안스콤브 변환이다.^[22] 변환의 일반적인 용도는 데이터 변환(통계)을 참조하십시오.

• 시간 간격 [0, t]의 도착 횟수가 평균 λt를 가진 포아송 분포를 따르는 경우, 도착 간 시간의 순서는 평균 1/4을 갖는 독립적이고 동일한 분포의 지수 랜덤 변수를 가진다.^{[23]: 317–319}
• 포아송 분포와 카이-제곱 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같은 방식으로 관련된다.^{[6]: 167}

${\displaystyle F_{\text{Poisson}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1)\quad \quad{\text{}정수 },}$

그리고^{[6]: 158}

${\displaystyle \Pr(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1)-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k)}$

포아송 근사치

Assume ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ where ${\displaystyle \lambda _{1}+\la$Mbda _{2}+\dots(_{n}=1}, then[24](X1, X2,…, Xn){\displaystyle(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}multinomially∼ 내 R⁡(N, λ 1, λ 2,…,λ n){\displaystyle(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname{내 R}(N,\lambda)_{2},\d(X1, X2,…, Xn)분포되어 있다.ots$,\lambda _{n}$이(가) $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 조건화됨$.$

이 means[15]:101-102, 다른 일들 사이에(x1x2,…,)n){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}의 어떤 실수가 음이 아닌 기능, 만약(Y1Y2,…, Yn)번 국도 내 R⁡(m, p){\displaystyle(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname{내 R}(m,\mathbf{p})}들에게multinomially distribut.교육,

${\displaystyle \operatorname {E}[f(Y_{1},Y_{2},\dots,Y_{n}}]\leq e{{\sqrt{m}}\operatorname {E}][f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}]}}}}}]}$

여기서$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Pois}}$is (${\displaystyle }$p${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots,X_{n}}\sim \operatorname {Pois}(\mathbf {p}$ $)\}.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle e$${\sqrt{m$$}}$의 인수는 단조롭게 증가하거나 감소한다고 추가로 가정할$$ 경우 2로 대체할 수 있다$$.

이바리테 포아송 분포

이 분포는 이바리테 케이스까지 확장되었다.^[25] 이 분포의 생성 함수는

${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}}$

와 함께

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}]\theta _{12}0\,}$

한계 분포는 포아송(Poisson₁)과 포아송(Poisson₂)이며 상관 계수는 범위로 제한된다.

${\displaystyle 0\leq \rho \leq \lo \leq \min \{\sqrt\{1}{1}{1}{1}{{1}}}},{\sqrt {\\cherta _{1}{1}{1}}}}}}}, {\frqrc.}}}$

A simple way to generate a bivariate Poisson distribution ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ is to take three independent Poisson distributions ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ with means ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ and then set $$${\$$Y_{1}+Y_{3},X_{2}=$$Y_{2}+Y_{3$ . 이바리테 포아송 분포의 확률 함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})\\={}&\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{{\frac {\probda _{2}^{k_{2}}:{k_{2}!}}}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}:{k}}{\binom {k_{2}}:{k}k!\leftda _{3}{{3}}{1}\fla _{1}\fla _{2}}\오른쪽)^{k}\end{정렬}}}$

자유 포아송 분포

점프 크기 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과(와) $속도{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \lambda }$을(를) 가진 자유 포아송 분포는^[26] 반복적인 자유 컨볼루션의 한계로서 자유 확률 이론에서 발생한다$$.

${\displaystyle \left(왼쪽(1-{\frac {}\lambda }{N}\right)\delta _{0}+{\lambda }{{N}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}}$

N → ∞으로

즉 X ${\displaystyle N_{}}$ ${\$$N}}$을 랜덤 변수로 하여 X$$ N ${\$의 값은 $\alpha {\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$$\alpha }$이고 나머지$$$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{확률}}{}}$은 0이다. 또한 ${\displaystyle {제품군\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X${\displaystyle }$2 ,$$… {\$displaystyle X_{1$},$X_{$2},\$ldots }$이(가) 자유롭게 독립되어 있다고 가정하십시오. 그 다음 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + ⋯${\displaystyle }$+ X $N$의 $법칙$의 N${\displaystyle }$→ $【\$$displaystyle$ $N\to \infit }$ 로 제한되며$,$ 자유 포아송 법칙에 의해 매개변수${\displaystyle }${ , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda ,\alpha }$과 함께 주어진다$$$.$

이 정의는 고전적인 포아송 분포를 (일반적인) 포아송 공정에서 얻는 방법 중 하나와 유사하다.

자유 포아송법과 관련된 조치는 다음과 같다^[27].

${\displaystyle \mu ={\bases}(1-\bases})(으)\{0}+\basedda \nu,&\leq \i1\leq \leq \leq \\\\nu,&\case{nd}}}$

어디에

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \pi \pi t}{\sqrt {4\pi \pi \pi \}{2}-(t-\pair (1+\pairda )^{2}}}$

그리고${\displaystyle }$지원 [${\displaystyle \alpha }$(${\displaystyle 1\sqrt{}}$ -${\displaystyle ){}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (1\sqrt{}}$ + ${\displaystyle ){}^{}}$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$]$${\$displaystyle [\displaystyle [\\sqrt {\\{da }}}^{2}, 1+{\sqrt{\cda }}^{2}]$를 가지고 있다$.$

이 법칙은 마르첸코-파스투르 법칙으로서 무작위 행렬 이론에서도 발생한다. 그것의 자유 적분은 ${\displaystyle {\kappa n}_{}}$= ${\displaystyle {\alpha n}^{}}$ ${\$과 같다$.$

이 법칙의 일부 변형

우리는 자유 포아송 법칙의 몇 가지 중요한 변형들의 가치를 제공한다; 그 계산은 예를 들어 A에 의한 자유 확률의 결합에 관한 강의에서 찾을 수 있다. 니카와 R. 스피처^[28]

자유 포아송 법칙의 R-변환자는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$

카우치 변환(Stilltjes 변환의 부정)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \lambda \lapa -\lambda {(z-\\alpha (1+\lambda ))^{2}-4}{2}}\lambda z}}}$

S-변환기는 다음과 같다.

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$

이 $경우{\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ =$$1 {\$displaystyle \cHB =1$

통계적 추론

모수 추정

n개의 측정값 $샘플{\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$. .${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,...$$\backslash \}\}\},$ i = 1, ..., n에 대해서는 표본을 추출한 포아송 모집단의 모수 λ 값을 추정하려고 한다. 최대우도 추정치는

${\displaystyle {\widehat {\lambda }_{\mathrm {MLE}}}={\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}$

각 관측치에는 기대치가 있기 때문에 표본 평균도 그렇다. 따라서 최대우도 추정치는 λ의 편향되지 않은 추정치다. Cramér-Rao 하한(CRLB)을 달성하므로 효율적인 추정기도 된다.^{[citation needed]} 따라서 그것은 편향되지 않은 최소분산이다. 또한 합(그리고 합계의 일대일 함수로서 표본 평균)이 as에 대한 완전하고 충분한 통계량임을 증명할 수 있다.

충분함을 증명하기 위해 우리는 요인화 정리를 사용할 수 있다. $표본$에 대한 합동 포아송 분포의 확률 질량 함수를 표본 x ${\$${\displaystyle h\mathbf{}}$ ( x ) {\$displaystyle$ h$(\mathbf {x$에만 의존하는 것과 $매개변수{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \lambda }$과 표본 $x$에 의존하는 것 두 부분으로 분할해 보십시오.${\$$displaystyle$ $\mathbf {x$${\displaystyle \}}$ 함수 $T{\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ ) {\displaystyle T(\$mathbf {x} )$를 통해서만$$$}.$ 그렇다면 $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$은(는) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 대한 충분한 통계량이다$.$

${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_}e^{-\lambda }}}}{x_{lambda}!}}}={\frac{1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}}\cHB \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}e^{-n\lambda }}}}}}$

The first term, ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$, depends only on ${\displaystyle \mathbf {x} }$. The second term, ${\displaystyle g(T(\mathbf {x} ) \lambda )}$, depends on the sample only through ${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$. 따라서 $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$이면 충분하다$$.

포아송 모집단의 확률 함수를 최대화하는 매개변수 λ을 찾으려면 우도 함수의 로그 값을 사용하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}}\\\\&n\n\boda +\left(\sum _{i=1}^{n_{i}\right)\ln(\i=1}^{n}-\sum _{i=1}\ln(k_{i}!)).\end{정렬}}}$

ℓ에 대한 ${\displaystyle \ell }$의 파생상품을 0과 비교한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}}{d}}\mathrm {d}}\el(\da )=0\iff -n+\lef(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\오른쪽){\frac {1}{\mathda}=0=0=0.\!}$

λ에 대한 해결은 정지점을 준다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{n}}{n}}}}}$

따라서 λ은 k 값의_i 평균이다. 정지점에서 L의 두 번째 파생상품의 사인을 얻으면 λ이 어떤 종류의 극단값인지 결정하게 된다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\2}\ell}{\\\n1}{\\\\data ^{2}=-\data ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}}}}}$

정지 지점에서 두 번째 파생상품을 평가하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac{\frac{2}\ell}{\\frac ^{2}=-{\frac{n^{2}}:{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}}}}}}}}{\displaysty\iplaysty \i}$

이_i 값은 n의 n배 음의 k 평균의 역수 값이다. 이 표현은 평균이 양수일 때 음수다. 이것이 충족되면 정지점은 확률함수를 최대화한다.

For completeness, a family of distributions is said to be complete if and only if ${\displaystyle E(g(T))=0}$ implies that ${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$ for all ${\displaystyle \lambda }$. If the individual ${\displaystyle X_{i}}$ are iid ${$$\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda )}$, then ${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda )}$. Knowing the distribution we want to investigate, it is easy to see that the statistic is complete.

${\displaystyle E(T)=\sum _{t=0}^{\inflt }g(t){\frac {(n\lambda )^{t^{-n\lambda }}}}{t!}}=0}$

이 동등성을 유지하려면 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle g(t)}$이(가) 0이어야 한다$$. This follows from the fact that none of the other terms will be 0 for all ${\displaystyle t}$ in the sum and for all possible values of ${\displaystyle \lambda }$. Hence, ${\displaystyle E(g(T))=0}$ for all ${\displaystyle \lambda }$ implies that ${\displaystyle P_{\l$$ambda }(g(T)=0)=1$ 통계가 완료된 것으로 나타났다.

신뢰구간

포아송 분포의 평균에 대한 신뢰 구간은 포아송 분포와 카이-제곱 분포의 누적 분포 함수 사이의 관계를 사용하여 표시할 수 있다. 카이-제곱 분포는 그 자체로 감마 분포와 밀접하게 관련되어 있으며, 이는 대체 식을 이끌어 낸다. 평균 μ를 갖는 포아송 분포의 관측치 k가 주어진 경우, 신뢰 수준 1 – α를 갖는 μ에 대한 신뢰 구간은 다음과 같다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{1}{1}{1}:{2}\leq \leq \\\tfrac {1}{1}}\chi ^{2}(1-\propert /2k+2),}$

또는 동등하게

${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1)}$

형상 모수 n과 척도 모수 1.[6]과 감마 분포의 카이 제곱 분포의 자유의 n도와 함께 있습니다 χ 2(p/&n){\displaystyle\chi ^{2}(p/&n)}은 변위치 기능( 낮은 꼬리 부분 p에 해당하는)과 F− 1(p/&, 1){\displaystyle F^{)}(p/&n,1)}은 변위치 기능:. 176-178[30] 이 간격은 적용가능성이 공칭 1 – α보다 결코 작지 않다는 점에서 '정확한' 것이다.

감마 분포의 정량적 분포를 사용할 수 없는 경우, 이 정확한 간격에 대한 정확한 근사치가 제안되었다(Wilson–에 근거함).Hilperty 변환:^[31]

${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$

여기서 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 꼬리 위쪽 면적 α / 2와 함께 표준 정상 편차를 나타낸다$$.

위와 같은 맥락에서 이러한 공식을 적용하기 위해(평균 λ이 있는 포아송 분포에서 각각 추출한 n개의 측정값 k의_i 표본을 고려할 때), 한 사람은 다음과 같이 설정된다.

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i}\!}$

μ = nμ에 대한 구간을 계산한 다음 μ에 대한 구간을 구한다.

베이시안 추론

베이지안 추론에서 포아송 분포의 비율 변수 parameter 이전의 결합은 감마 분포다.^[32] 내버려두다

${\displaystyle \lambda \sim \Mathrm {Gamma}(\alpha ,\beta )\!}$

형상 모수 α 및 역 척도 모수 β 단위로 매개변수화된 감마 밀도 g에 따라 distributed이 분포함을 나타낸다.

${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\\Alpha }}}}\lambda \e^{-\lamba \}}\qquad {\text{{}\lamba},\!}$

그 다음, 측정된 값 k의_i 동일한 샘플과 감마(α, β)의 이전 샘플로 볼 때, 후분포는 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda \sim \Mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).\!}$

후방 평균 E[$192]$는 한계에서$$ 최대우도 $추정치{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}M}_{\mathrm{}}}$ L ${\displaystyle {\mathrm{E}}_{}}$ ${\$ $}$$}}}}}}$에 접근하며${\displaystyle ,}$감마 분포 평균의 일반 표현에서 즉시 나타난다$.$

단일 추가 관측치에 대한 후방 예측 분포는 음의 이항 분포로,^{[33]: 53} 감마-포아송 분포라고도 한다.

다중 포아송 평균의 동시 추정

Suppose ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$ is a set of independent random variables from a set of ${\displaystyle p}$ Poisson distributions, each with a parameter ${\displaystyle \lambda _{i}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,p}$, and we would like to estimate these 매개변수 때 p을 그럼 Clevenson과 Zidek 정규화된 제곱 오차 손실에 따라 L(λ,λ ^))∑ λ 나는 2{\displaystyle L(\lambda,{\hat{\lambda}})=\sum_{i=1}^{p}\lambda _ᆮ^ᆯ({\hat{\lambda}}_{나는}-\lambda_{나는})^{2}}1(λ ^ 나는 − λ 나는)− 나는 1p정도 1{\displaystyle p> 1}, 그럼 simila을 보여 준다.r로 정상 수단에 대한 스타인의 예에서 $MLE{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 추정기 ^ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 허용되지 않는다$$. ^[34]

이 경우 미니맥스 추정기 제품군은 < c (- ) $displaystyle 0<c\leq$ 2 $(p-1)}$ 및 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$(${\displaystyle \mathrm{p}}$- 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaysty b\geq (p-2+p^{-1})$에 대해 다음과$$^[35] 같이 주어진다.

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\좌측(1-{{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\오른쪽)X_{i},\qquad i=1,\dots,p.}$

발생 및 적용

포아송 분포의 적용은 다음을 포함한 많은 분야에서 찾을 수 있다.^[36]

• 통신 예: 시스템에 도착하는 전화 통화.
• 천문학 예: 망원경에 도착하는 광자.
• 화학적 예: 살아있는 중합체의 어금니 질량 분포.^[37]
• 생물학적 예: 단위 길이당 DNA 가닥의 돌연변이 수입니다.
• 관리 사례: 카운터 또는 콜 센터에 도착하는 고객
• 재무 및 보험 예: 주어진 기간에 발생하는 손실 또는 청구 건수.
• 지진학 예: 대형 지진에 대한 지진 위험의 점근성 푸아송 모델.^[38]
• 방사능 예: 방사성 샘플의 주어진 시간 간격에 있는 디케이의 수입니다.
• 광학 예제: 단일 레이저 펄스에서 방출되는 광자의 수입니다. 이는 PNS(Photon Number Spliting)로 알려진 대부분의 Quantum 키 분배 프로토콜에 대한 주요 취약성이다.

포아송 분포는 포아송 공정과 관련하여 발생한다. 그것은 불연속 특성의 다양한 현상(즉, 주어진 시간 동안 또는 주어진 영역에서 0, 1, 2, 3, ...번 발생할 수 있는 현상)에 적용된다. 포아송 분포로 모델링할 수 있는 사건의 예는 다음과 같다.

• 프러시아 기병대의 각 군단에서 매년 말 킥에 의해 살해된 병사의 수. 이 예는 라디슬라우스 보르키에비치(1868–1931)가 쓴 책에서 사용되었다.^{[39]: 23-25}
• 기네스 맥주를 끓일 때 사용되는 효모 세포의 수입니다. 이 예는 윌리엄 씰리 고셋(1876–1937)이 사용하였다.^[40][41]
• 1분 내에 콜 센터에 도착하는 전화 통화 수. 이 예는 A.K.에 의해 설명되었다. 얼랑(1878–1929).^[42]
• 인터넷 트래픽.
• 두 개의 경쟁 팀이 포함된 스포츠의 골 수.^[43]
• 특정 연령 그룹의 연간 사망자 수.
• 지정된 시간 간격의 주가의 점프 수입니다.
• 동질성을 가정할 때 분당 웹 서버에 액세스하는 횟수
• 일정량의 방사선이 방출된 후 주어진 DNA 확장에서의 돌연변이 수입니다.
• 주어진 여러 종류의 감염에서 감염되는 세포의 비율.
• 특정 양의 액체에 포함된 박테리아 수입니다.^[44]
• 주어진 조명에서 주어진 시간 동안 픽셀 회로에 광자가 도달하는 경우.
• 1946년 R. D. Clarke에 의해 조사된 제2차 세계 대전 중 런던에 V-1 비행 폭탄의 표적이 되었다.^[45]

갤러거는 1976년에 짧은 간격으로 소수들이 포아송 분포를^[46] 따른다는 것을 보여주었다. 포아송 분포는 하디 리틀우드의^[47] 검증되지 않은 소수 정예 루플 추측의 특정 버전을 제공했다.

희소사건의 법칙

사건의 비율은 (시간, 공간 또는 그 밖의) 작은 하위격차에서 사건이 발생할 확률과 관련이 있다.^{[clarification needed]} 포아송 분포의^{[clarification needed]} 경우, 사건이 두 번 발생할 확률은 "불가결하다"인 작은 하위 중간값이 존재한다고 가정한다. 이 가정을 통해 전체 구간에서^{[clarification needed]} 예상되는 총 사건 수의 정보만 주어진다면, 이항 분포로부터 포아송 분포를 도출할 수 있다.

. n{n\displaystyle}subintervals에 동일한 크기의 1,…,의 아틀란 다{\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}, n{n\displaystyle}을 전 간격을 나누다;λ{\lambda\displaystyle}(우리가int은 전체 사이에λ{\lambda\displaystyle}에 의해 표시될 행사의 총 수자.의 전에이 가정이 의미 있는^{[clarification needed]} 간격의 매우 작은 부분에만 고정). 즉, 각 n 하위 절편에서 예상되는 이벤트 수가 $\lambda {\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda /n}$과(와) 같다는 뜻이다$.$

Now[해명 필요한]저희가 event[해명 필요한]의 전체 간격 발생이 나는 하루에 500파운드와 베르누이의 시행의 h{\displaystyle i^{월}}베르누이 시행 여부 이벤트 나는}확률과 나는{\displaystyle I_{나는}은 subinterval에서 무슨 일이 일어나고에 해당하는 순서로 볼 수 있다고 생각하는가?. λ/n{\displaystyle \lambda /n}. $n$ ${\displaystyle n}$에서 예상되는 총 이벤트 수는 전체 간격의 예상 총 이벤트 수인$$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 될 것이다. 따라서 구간의 각 구분에 $대해$^{[clarification needed]} 우리는${\displaystyle B(n}$,${\displaystyle n}$ / n$){\displaystyle {\textrm{B}(n,\lambda /n)}$ 형식의 베르누이 과정으로서 사건의 발생을 대략적으로 추정했다$.$ 우리가 이전에^{[clarification needed]} 언급한 바와 같이, 우리는 매우 작은 하위 구분만을 고려하기를 원한다. 따라서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 무한대로 가기$$ 때문에 우리는 한도를 택한다.

이 경우 이항 분포는 포아송 한계 정리에 의해 포아송 분포라고 알려진 것으로 수렴된다.

위의 몇 가지 예^{[clarification needed]}(예: 주어진 DNA 시퀀스의 돌연변이 수)에서 계수되는 사건은 실제로 이산 시험의 결과물이며, 이항 분포를 사용하여 보다 정밀하게 모델링될^{[clarification needed]} 것이다.

${\displaystyle X\sim {\textrm {B}(n,p).\,}$

이러한 경우 n은 매우 크고 p는 매우 작다(따라서 기대 np는 중간 규모다). 그런 다음 덜 번거로운 포아송 분포로^{[citation needed]} 분포의 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}(np).\,}$

이 근사치는 때때로 희귀한 사건의 법칙으로 알려져 있는데, 각각의 개별적인 베르누이 사건은 거의 일어나지 않기 때문이다.^{[48]: 5}

매개변수 np가 작지 않으면 포아송 공정에서 성공 사건의 총 카운트가 드물지 않아도 되기 때문에 "희귀사건의 법칙"이라는 명칭은 오해의 소지가 있을 수 있다. 예를 들어, 1시간 이내에 통화량이 많은 교환대에 대한 전화 통화 횟수는 운영자에게 사건이 빈번하게 나타나는 포아송 분포를 따르지만, 그 시간에 그 교환대에 전화를 걸 가능성이 매우 낮은 모집단의 평균 구성원의 관점에서는 드물다.

이항 분포의 분산은 포아송 분포의 1 - p이므로 p가 매우 작을 때 거의 동일하다.

법이라는 단어는 확률분포의 동의어로 쓰이기도 하고, 법에서의 융합은 분배의 융합을 의미한다. 따라서 포아송 분포는 드물게 발생하지만 발생할 기회가 매우 많은 사건의 발생 횟수에 대한 확률 분포이기 때문에 "소수의 법칙"이라고도 불린다. 소수의 법칙은 1898년에 출판된 포아송 분포에 관한 라디슬라우스 보르키에비츠가 쓴 책이다.^[39][49]

포아송 점 공정

포아송 분포는 일부 유한 영역에 위치한 포아송 점 공정의 점 수로 발생한다. 좀 더 구체적으로 말하면, D가 어떤 지역 공간인 경우, 예를 들어 유클리드 공간 R^d, 즉 D, 면적, 부피 또는 보다 일반적으로 해당 지역의 르베그 측도는 유한하며, N(D)이 D의 점 수를 나타내면 그 다음이다.

${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda D )^{k}e^{-\lambda D}}}{k!}}.}$

포아송 회귀 분석 및 음이항 회귀 분석

종속(반응) 변수가 구간 내 사건 또는 발생 횟수의 카운트(0, 1, 2, ...)인 경우 포아송 회귀 분석과 음이항 회귀 분석이 유용하다.

기타 과학 응용 프로그램

포아송 공정에서 관측된 발생 횟수는 평균 deviation에 대해 표준 편차 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \lambda \sqrt{}}$ ${\$을(를) 변동한다$.$ 이러한 변동은 포아송 노이즈 또는 (특히 전자제품에서) 샷 노이즈로 표시된다.

독립적 이산형 발생을 계산할 때 평균과 표준 편차의 상관관계는 과학적으로 유용하다. 평균 신호에 따라 변동이 어떻게 변하는지 모니터링함으로써, 기여도가 너무 작아서 직접 감지할 수 없을지라도 단일 발생의 기여도를 추정할 수 있다. 예를 들어 전자에 대한 전하 e는 전류의 크기와 전류의 숏 노이즈를 연관시켜 추정할 수 있다. 만일 N 전자가 주어진 시간 t에서 한 점을 평균적으로 통과한다면, 평균 $전류$는 I${\displaystyle }$= ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle N}$/ t ${\displaystyle I=eN/t}$이다$;$ 전류 변동은 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ I${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle N}$/ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma _{$$I}=e{\sqrt{N}/t}($즉, 포아송 공정의 표준 편차), $전하{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$는 비율 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyt t\sigma _{I}^{2}/I}$에서 추정할 수 있다$$$.$^{[citation needed]}

일상적인 예로 사진이 확대되면서 나타나는 곡물성이 있다. 곡물성은 개별 곡물 자체가 아니라 축소된 은곡물 수의 포아송 변동 때문이다. 곡물성과 확대 정도를 연관시켜 개별 곡물의 기여도를 추정할 수 있다(그렇지 않으면 너무 작아서 도움이 되지 않는다).^{[citation needed]} 포아송 소음의 다른 많은 분자 응용이 개발되었다. 예를 들어 세포막 내 수용체 분자의 수 밀도를 추정하는 것이다.

${\displaystyle \Pr(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {(\lambda t)^{k}e^{-\lambda t}{k!}}.}$

인과 집합 이론에서 스페이스타임의 이산 요소는 볼륨의 포아송 분포를 따른다.

계산 방법

포아송 분포는 전용 소프트웨어 라이브러리에 대해 두 가지 다른 작업을 나타낸다. 분포 $P{\displaystyle (k}$; ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle P(k;\lambda )}$을$($를) 평가하고 해당 분포에 따라 난수 그리기.

포아송 분포 평가

주어진 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 및$$$and{\displaystyle }$ {\$displaystyle \lambda$$$$}$에 대한$$ $계산{\displaystyle }$ P$(k$ ;$\$lambda )는 지수${\displaystyle ,}$ 전력, 요인 함수의 $관점$에서$$P$(k;\lambda$)의 표준 정의를 사용하여 달성할 수 있는 사소한 작업이다$$. 그러나 포아송 분포의 전통적인 정의에는 컴퓨터에서 쉽게 넘칠 수 있는 두 가지 용어가 포함되어 있다: λ과^k k! λ^k to k!의 분율도 e에^−λ 비해 매우 큰 반올림 오차를 발생시킬 수 있어 잘못된 결과를 낳을 수 있다. 따라서 수치 안정성을 위해 포아송 확률 질량 함수는 다음과 같이 평가되어야 한다.

${\displaystyle \f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\ln \감마(k+1)\right],}$

수학적으로는 등가지만 수치적으로는 안정적이다. 감마 함수의 자연 로그는 다음을 사용하여 얻을 수 있다. lgamma C 표준 라이브러리(C99 버전) 또는 R, gammaln MATLAB 또는 SciPy에서 기능하거나 log_gamma Fortran 2008 이상에서 기능한다.

일부 컴퓨팅 언어는 포아송 분포를 평가하기 위한 내장 함수를 제공한다.

• R: 함수 dpois(x, lambda);
• Excel: 함수 POISSON( x, mean, cumulative), 누적 분포를 지정하는 플래그 포함.
• Mathematica: 단변량 포아송 분포: PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$],^[50] 이바리테 포아송 분포: MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12}}$,{ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12}}$, ${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}],.^[51]

포아송 분포의 랜덤 도면

덜 사소한 작업은 주어진 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 사용하여 포아송 분포에서 랜덤 정수를 그리는 것이다$.$

해결책은 다음을 통해 제공된다.

• R: 함수 rpois(n, lambda);
• GNU 과학 라이브러리(GSL): 함수 gsl_ran_poisson

포아송 분포 랜덤 변수 생성

Knuth는 무작위 Poisson-분산된 숫자(시료 무작위 숫자 샘플링)를 생성하기 위한 간단한 알고리즘을 제공했다.^{[52]: 137-138}

알고리즘 포아송 난수(Knuth): 초기화:         L ← e−λ, k ← 0, p ← 1. do: k ← k + 1. [0,1]에서 균일한 난수 u를 생성하고 p > L.가 k - 1을 반환하도록 한다. 

복잡성은 평균 k인 반환 값 k에서 선형이다. 이것을 개선하기 위한 많은 다른 알고리즘들이 있다. 일부는 Ahrens & Dieter에 제공되며, 아래의 § 참조를 참조하십시오.

λ의 큰 값의 경우 L = e의^−λ 값이 너무 작아서 나타내기 어려울 수 있다. 이는 e가^−STEP 과소 흐름하지 않도록 추가 파라미터 STEP을 사용하는 알고리즘의 변경으로 해결할 수 있다.^{[citation needed]}

알고리즘 포아송 난수(Nunhao, Knuth 기반): init:         , 0← k및 p← 1.. k ← k+1. 하고(0,1)에 균등 난수 u을 일으키다 p ← p×는 이름있어는 동안 p<>1과 λLeft<>를 사용하여 0:만약λLeft>STEP:p← p× eSTEP λLeft ← λLeft − 구축 다른:p← p×eλLeft λLeft ← 0현λLeft ← λ자.르 p>1.     반환 k - 1. 

STEP의 선택은 오버플로우 임계값에 따라 결정된다. 이중 정밀 부동 소수점 형식의 경우 임계값이 e에⁷⁰⁰ 가까우므로 500은 안전한 STEP이어야 한다.

λ의 큰 값에 대한 다른 솔루션으로는 거부 샘플링 및 가우스 근사 사용 등이 있다.

역변환 표본 추출은 λ의 작은 값에 대해 간단하고 효율적이며, 표본당 u 단 하나의 균일한 난수만을 필요로 한다. 누적 확률은 u를 초과할 때까지 차례로 조사한다.

순차 검색에 의한 반전 기반 알고리즘 포아송 생성기:[53]: 505  init:         x ← 0, p ← e, s−λ ← p. [0,1]에서 균일한 난수 u를 생성한다.     u > s do: x ← x + 1. p × × x / x. s + s + p. return x 

역사

이 분포는 시메온 데니스 포아송(1781–1840)에 의해 처음 소개되었고, 그의 작품에서 그의 확률 이론과 함께 출판되었다. 그의 작품인 Recherches sur la probabilité des jugements en matiér et ^{[54]: 205-207} en matiere civille. 이 작품은 특정 국가의 잘못된 신념의 수에 대해 이론화하였는데, 그 중에서도 주어진 길이의 시간 간격 동안 일어나는 이산 발생("사건" 또는 "도착"이라고도 함)의 수를 세는 특정 무작위 변수 N에 초점을 맞추어 이론화하였다. 결과는 이미 1711년 아브라함 드 모이브르에 의해 데 멘수라 소르티스 수; 루디스에서의 확률적 사건진공 Casu Fortuito Pendentibus에 의해 주어졌다.^{[55]: 219 [56]: 14-15 [57]: 193 [6]: 157} 이것은 스티글러의 법칙의 본보기가 되었고 그것은 일부 작가들로 하여금 포아송 분포가 드 모이브르의 이름을 가져야 한다고 주장하게 만들었다.^[58][59]

1860년 사이먼 뉴콤은 포아송 분포를 우주 단위에서 발견된 별의 수에 맞추었다.^[60] 1898년 라디슬라우스 보르키에비츠에 의해 말차기에 의해 우발적으로 죽은 프러시아군의 병사의 수를 조사하는 임무를 부여받았을 때 이 분포를 더욱 실용적으로 적용하였다.^{[39]: 23-25} 이 실험은 신뢰 공학 분야에 포아송 분포를 도입하였다.

참고 항목

참조

인용구

원천