포아송 웨이브레

수학에서, 기능 분석에서, 몇 개의 다른 웨이블렛은 포아송 웨이블렛이라는 이름으로 알려져 있다.한 맥락에서, "포아송 파장"이라는 용어는 포아송 확률 분포와 연관된 양의 정수 집합에 의해 라벨이 붙여진 파장 패밀리를 나타내기 위해 사용된다.이 파도들은 처음에 칼린 A에 의해 정의되고 연구되었다.코사노비치, 알란 R.1995-96년 모저와 마이클 J. 피오보소.^[1]^[2]또 다른 맥락에서, 이 용어는 포아송 적분 커널의 형태를 포함하는 특정 웨이블렛을 의미한다.^[3]여전히 다른 맥락에서, 이 용어는 포아송 적분 커널의 파생상품과 연결된 양의 정수로 지수화된 복잡한 웨이브릿의 제품군을 설명하는 데 사용된다.^[4]

포아송 확률 분포와 관련된 파장

정의

n = 1, 2, 3, 4에 해당하는 포아송 파랑의 가족 구성원.

각 양의 정수 n에 대해 포아송 파장 $\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 은(는) 다음에 의해 정의된다 $\psi _{n}(t)$ .

\property_{n}(t)={\present{case}\왼쪽 사진\frac {t-n}{n!}}\right)t^{n-1e^{-t}&{\text{{}}{{}}{{}t<0}의 경우.\end{case}}

포아송 파장과 포아송 분포 사이의 관계를 보려면 X를 모수(평균) t와 함께 포아송 분포를 갖는 이산 랜덤 변수로, 각 비 음의 정수 n에 대해 프로브(X = n) = p_n(t)로 한다.그러면 우리는

p_{n}(t)={\frac {t^{n}{n}}{n!2}}e^{-t}.

이제 포아송 웨이브렛 $\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 이(가) 제공됨 $\psi _{n}(t)$

\property_{n}(t)=-{\frac {d}{dt}p_{n}(t)

기본 속성

$\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 은 $\psi _{n}(t)$ (는) 포아송 분포 값의 역차이다.

\pair _{n}(t)=p_{n}(t)-p_{n-1}(t).

이 파도타기 가족 구성원의 '와비'는 다음으로부터 따르게 된다.

\int _{-\infit }^{\\infit }\n(t)\,dt=0.

$\psi _{n}(t)$ ( t $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 의 푸리에 변환이 제공됨 $\psi _{n}(t)$

\PSI(\omega )={\frac {-i\omega}{{(1+i\omega)^{n+1}.

$\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 과 $\psi _{n}(t)$ (와) 관련된 자격 상수는

C_{n}}}{n}=\int_{-\n}^{\inflt }{\frac {\frac}{n}}{\frac {n}}{\frac {n}}{\n}}}{\openega}}}}}{\d\mega = {n}}}}}}

포아송 파장은 파도의 직교 계열이 아니다.

포아송 웨이브릿 변환

포아송 웨이브릿 패밀리는 시간 영역을 정의한 함수의 포아송 웨이브릿 변환 패밀리를 구성하는 데 사용될 수 있다.포아송 파장은 수용성 조건도 충족하므로, 시간 영역의 함수는 역연속 파장 변환의 공식을 사용하여 포아송 파장 변환에서 재구성할 수 있다.

f(t)가 시간 영역의 함수인 경우, n번째 포아송 파장 변환은 다음과 같이 주어진다.

(W_{n}f)(a,b)={\frac {1}{{1}{\sqrt{}}\int _{-\inft{}^{-\f(t)\psi _{n}\{n}\frac {t-b}{a}\rig)\,dt

역방향으로, 시간영역에서 함수 f(t)의 $(W_{n}f)(a,b)$ n번째 포아송 파장 변환 $(W_{n}f)(a,b)$ f $(W_{n}f)(a,b)$ ) $(W_{n}f)(a,b)$ (, $(W_{n}f)(a,b)$ b $(W_{n}f)(a,b)$ ) $(W_{n}f)(a,b)}$ 을(를) 볼 때 f(t) 함수는 다음과 같이 재구성할 수 있다.

f(t)={\frac {1}{C_{\psi _{n}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\,\left\{(W_{n}f)(a,b){\frac {1}{\sqrt { a }}}\psi _{n}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\right\}db\right]{\frac {da}{a^{2}}}

적용들

다해상도 분석, 시스템 식별, 매개변수 추정에 포아송 파장 변환이 적용되었다.그것들은 특히 시간 영역의 기능이 시간 지연과 함께 쇠퇴하는 지수들의 선형 결합으로 구성된 문제를 연구하는데 유용하다.

포아송 커널과 관련된 웨이브릿

포아송 커널과 연관된 웨이블렛 이미지.

포아송 커널과 연관된 파형의 푸리에 변환 이미지.

정의

포아송 파장은 함수에^[3] 의해 정의된다.

{\displaystyle \cHB(t)={\frac {1}{\pi }{{1-t^{2}}:{{1+t^{2}}^{2}}:2}}:

이것은 양식으로 표현할 수 있다.

\psi (t)=P(t)+t{\frac {d}{dt}}P(t)

where

{\displaystyle P(t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+t^{2

}}}}

.

포아송 커널과의 관계

$P(t)$ P ( t $P(t)$ ) {\ $displaystyle P(t)}$ 은 라플라스 연산자의 특정 초기 값 문제의 해결책에서 일체형 커널로 나타난다 $P(t)$ .

초기 가치 문제는 다음과 같다. $L^{p}(\mathbb {R} )$ $L^{p}(\mathbb {R} )$ ( $s(x)$ $L^{p}(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle$ $L$ $^{p}(\mathb {R} )}$ 에 $s(x)$ $s(x)$ ( x $s(x)$ ) $\phi (x,y)$ 이(가) 있는 경우 $L^{p}(\mathbb {R} )$ 다음 조건을 만족하는 위쪽 하프 평면에 정의된 $\phi (x,y)$ 고조파 함수 $\phi (x,y)$ y)를 찾으십시오.

$\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ - $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ ( $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ , y $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ ) p $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ c $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ < $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ ${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit$ } $\phi (x,y)$ \{ $p}\,dx\leq$ c $<\infty$ }, and $\int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty$ and, and, and, and \inft.
$\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ $L^{p}(\mathbb {R} )$ $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ ( $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ , y $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ ) $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ → $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ ( x $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ ) ${\displaystyle \phi (x,y)\오른쪽$ $화살표 s($ $x)}$ 을 $\phi (x,y)\rightarrow s(x)$ $y\rightarrow 0$ (를 $L^{p}(\mathbb {R} )$ $y\rightarrow 0$ → $y\rightarrow 0$ 으로 $({\displaystyle L^{p}(\mathb {R} )}$ .

이 문제에는 다음과 같은 해결책이 있다.두 조건을 만족하는 $\phi (x,y)$ 함수 $\phi (x,y)$ , $\phi (x,y)$ ) $\phi(x,y)$ 이(가) 정확히 하나 있으며, 이 함수는 다음과 같이 주어진다.

\phi(t,y)=P_{y}(t)\별 s(t)}

여기서 $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ t $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ ) $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ = $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ t y ) $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ = $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ y t $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ + $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ ${\$ 1}{y}}}\ $pi{t^{t^}+y^2$ }} $}}}}$ 및 여기서 $P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}$ $"{\displaystyle \star$ $\star$ 은 콘볼루션 작업을 의미한다. $P_{y}(t)$ $P_{y}(t)$ ( $P_{y}(t)$ ) $P_{y}(t)$ {\ $displaystyle P_{y}(t)}$ $\phi (x,y)$ 는 $P_{y}(t)$ $\phi (x,y)$ ( $\phi (x,y)$ , $\phi (x,y)$ ) $\phi (x,y)$ {\ $displaystyle \phi$ ( $\phi (x,y)$ $,y)}$ 함수의 핵심 $\phi (x,y)$ 이며 $\phi (x,y)$ $\phi (x,y)$ $\phi (x,y)$ ) $\phi (x,y)$ {\ $displaysty$ $\phi (x,y)}$ $s(x)$ 는 $s$ ( $x)$ 가 위쪽 면에 대한 $s(x)$ 조화 연속이다 $\phi (x,y)$ .

특성.

함수의 "waveness"는 다음과 같다.

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

-

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

(

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

)

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

=

\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0

{\

displaystyle \int

_{-\

infit

}^{\

infit }\not

(

t)\,dt=0}

.

$\psi (t)$ ( $\psi (t)$ ) $\psi (t)$ 의 Fourier 변환은 다음에 의해 제공된다 $\psi (t)$ .

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

(

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

)

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

=

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

-

\Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}

displaystyle \Psi (\omega )= \omega

e

^{- \omega

권한 상수는

C_{\psi }=\int _{-\inflit }^{\frac {\\frac(\omega )\오른쪽 ^{{{\omega}}}}{{\omega}}}}}}\d\omega =2)

포아송 커널과 관련된 복잡한 파장의 클래스

n=1,2,3,4

=

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

{\displaystyle n=1, 2, 3

,

4에

대한

\psi _{n}(t)

Poisson wavelet

\psi _{n}(t)

(

){\displaystyle \psi _{n}(t)}

의 실제 부분에 대한 그래프

n=1,2,3,4

n=1,2,3,4

=

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

,

n=1,2,3,4

4

n=1,2,3,4

에

\psi _{n}(t)

대한 포아송 파장의

\psi _{n}(t)

의 부분

\psi _{n}(t)

\

displaystyle \psi _{n}(t)}

의 가상 부분 그래프

n=1,2,3,4

정의

포아송 파장은 양의 정수 집합에 의해 색인되고 에 의해^[4]^[5] 정의되는 복잡한 가치 함수의 집합이다.

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

(

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

)

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

= 1

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

( 1

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

- i

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

)

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

-

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

(

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

+ 1

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}

)

{\

n=1,2,3,\ldots

+1

)}{-{-(-

it

)}}}{\

displaystysty n=1

,

2,

3

,\dots}}

포아송 커널과의 관계

함수 $\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 은 다음과 같이 n번째 파생상품으로 표현할 수 있다 $\psi _{n}(t)$ .

\py _{n}(t)={\frac {1}{1}{n!\,i^{n}}{\frac {1}{d^{n}}}}{d^{n}}}}}}{d^{n}}}}}{d-it({-1}\오른쪽)

함수 $(1-it)^{-1}$ $(1-it)^{-1}$ (1 $(1-it)^{-1}$ - i $(1-it)^{-1}$ ) $(1-it)^{-1}$ - $(1-it)^{-1}$ ${\$ $P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ $)^{-$ 1 $P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ = $P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ + t 2 {\ $displaystyle P(t)={\frac {1}{1+t^{2$ } $}}}}$ 을 $P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}$ (를) 다음과 같이

(1-it)^{-1}=P(t)+itP(t)

우리는 가지고 있다.

\psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}P(t)+i\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left(tP(t)\right)\right)

따라서 $\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 은(는) 포아송 적분 커널의 파생상품에 비례하는 함수로 해석할 수 있다 $\psi _{n}(t)$ .

특성.

$\psi _{n}(t)$ ( $\psi _{n}(t)$ ) $\psi _{n}(t)$ 의 푸리에 변환은 다음에 의해 제공된다 $\psi _{n}(t)$ .

\PSI _{n}(\omega )={\frac {1}{\감마(n+1)}}\omega ^{n}e^{-\omega u(\omega )}

여기서 $u(\omega )$ ) $u(\omega )$ 은 $u(\omega )$ 단위 스텝 함수다.

참조

^ Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser and Michael J. Piovoso (1996). "The Poisson wavelet transform". Chemical Engineering Communications. 146 (1): 131–138.
^ Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser and Michael J. Piovoso (1997). "A new family of wavelets: the Poisson wavelet transform". Computers in Chemical Engineering. 21 (6): 601–620.
^ ^a ^b Roland Klees, Roger Haagmans (editors) (2000). Wavelets in the Geosciences. Berlin: Springer. pp. 18–20. {{cite book}}: last1=일반 이름 포함(도움말)
^ ^a ^b Abdul J. Jerri (1998). The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations. Dordrech: Springer Science+Business Media. pp. 222–224. ISBN 978-1-4419-4800-7.
^ Wojbor A. Woyczynski (1997). Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and Fractal Calculus, Integral Transforms and Wavelets, Volume 1. Springer Science & Business Media. p. 223. ISBN 9780817639242.

[def-1] Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser and Michael J. Piovoso (1996). "The Poisson wavelet transform". Chemical Engineering Communications. 146 (1): 131–138.

[2] Karlene A. Kosanovich, Allan R. Moser and Michael J. Piovoso (1997). "A new family of wavelets: the Poisson wavelet transform". Computers in Chemical Engineering. 21 (6): 601–620.

[geo-3] Roland Klees, Roger Haagmans (editors) (2000). Wavelets in the Geosciences. Berlin: Springer. pp. 18–20. {{cite book}}: last1=일반 이름 포함(도움말)

[jerri-4] Abdul J. Jerri (1998). The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations. Dordrech: Springer Science+Business Media. pp. 222–224. ISBN 978-1-4419-4800-7.

[5] Wojbor A. Woyczynski (1997). Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and Fractal Calculus, Integral Transforms and Wavelets, Volume 1. Springer Science & Business Media. p. 223. ISBN 9780817639242.

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목차

포아송 확률 분포와 관련된 파장

정의

기본 속성

포아송 웨이브릿 변환

적용들

포아송 커널과 관련된 웨이브릿

정의

포아송 커널과의 관계

특성.

포아송 커널과 관련된 복잡한 파장의 클래스

정의

포아송 커널과의 관계

특성.

참조