앤스콤브 변환
Anscombe transform통계에서 프랜시스 안스콤베의 이름을 딴 안스콤베 변환은 포아송 분포를 가진 랜덤 변수를 근사적으로 표준 가우스 분포를 가진 변수로 변환하는 분산 안정화 변환이다.안스콤브 변환은 영상이 자연스럽게 포아송 법칙을 따르는 광자 제한 영상(astronomy, X-ray)에 널리 사용된다.일반적으로 Anscombe 변환은 표준 편차를 근사적으로 일정하게 만들기 위해 데이터를 사전 처리하는 데 사용된다.그런 다음 가우스 노이즈가 가우스 노이즈의 프레임워크를 위해 설계된 데노이즈 알고리즘을 사용한다. 그런 다음 데노이즈된 데이터에 역 앤스콤브 변환을 적용하여 최종 추정치를 얻는다.
정의
포아송 분포의 경우 평균 및 v v이(가) 이지 않음: m= v 앤스컴브 변환[1]
분산이 충분히 큰 평균에 대해 약 1로 설정되도록 데이터를 변환하는 것을 목표로 하며, 평균 0의 경우 분산이 여전히 0이다.
It transforms Poissonian data (with mean ) to approximately Gaussian data of mean and standard deviation + 2 ).이 근사치는 그림에서도 볼 수 있듯이 더 큰 [2]에 대해 더 정확해진다.
For a transformed variable of the form , the expression for the variance has an additional term ; it is reduced to zero at , which is exactly the reason why this value w고른 대로
반전
Anscombe 변환을 데노화(, 이 m m으로부터 추정치 {\ m})에 사용하는 경우, 분산 안정화 및 데노화 데이터 를 원래 범위로 되돌리기 위해 역 변환도 필요하다.대수 역법 적용
정사각형-루트 변환이 선형적이지 않기 때문에 일반적으로 평균 의 추정치에 원하지 않는 치우침을 도입한다때로는 무증상 편향되지 않은[1] 역법을 사용하기도 한다.
편향의 문제를 완화시키지만, 이것은 광자 제한 영상에서는 그렇지 않다. 광자 제한 영상에서는 암묵적 매핑에[3] 의해 주어지는 정확한 편향되지 않은 역이 그것이다.
사용되어야 한다.이 정확히 치우치지 않은 역의 폐쇄형 근사치는 다음과 같다[4].
대안
포아송 분포에는 다른 많은 가능한 분산 안정화 변환이 있다.Bar-Lev와 Enis는 안스콤브 변환을 포함하는 그러한 변환의 계열을 보고한다[2].그 가족의 또 다른 구성원은 프리맨-투키 변환이다[5].
데이터의 표준 편차 역수의 원시적 변환으로 얻은 단순 변환은 다음과 같다.
분산을 안정화시키는 데는 그다지 능숙하지 않지만, 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 장점이 있다.실제로 델타 방식으로 봤을 때론
.
일반화
안스콤베 변환은 순수한 포아송 데이터에 적합하지만, 많은 응용에서 데이터는 가우스 성분의 첨가물을 제시하기도 한다.이 사례들은 일반화된 안스콤브[6] 변환과 그 증상 없이 편향되지 않거나 정확하게 편향되지 않은 삽입물에 의해 처리된다.[7]
참고 항목
참조
- ^ a b Anscombe, F. J. (1948), "The transformation of Poisson, binomial and negative-binomial data", Biometrika, [Oxford University Press, Biometrika Trust], vol. 35, no. 3–4, pp. 246–254, doi:10.1093/biomet/35.3-4.246, JSTOR 2332343
- ^ a b Bar-Lev, S. K.; Enis, P. (1988), "On the classical choice of variance stabilizing transformations and an application for a Poisson variate", Biometrika, vol. 75, no. 4, pp. 803–804, doi:10.1093/biomet/75.4.803
- ^ Mäkitalo, M.; Foi, A. (2011), "Optimal inversion of the Anscombe transformation in low-count Poisson image denoising", IEEE Transactions on Image Processing, vol. 20, no. 1, pp. 99–109, Bibcode:2011ITIP...20...99M, CiteSeerX 10.1.1.219.6735, doi:10.1109/TIP.2010.2056693, PMID 20615809
- ^ Mäkitalo, M.; Foi, A. (2011), "A closed-form approximation of the exact unbiased inverse of the Anscombe variance-stabilizing transformation", IEEE Transactions on Image Processing, vol. 20, no. 9, pp. 2697–2698, Bibcode:2011ITIP...20.2697M, doi:10.1109/TIP.2011.2121085
- ^ Freeman, M. F.; Tukey, J. W. (1950), "Transformations related to the angular and the square root", The Annals of Mathematical Statistics, vol. 21, no. 4, pp. 607–611, doi:10.1214/aoms/1177729756, JSTOR 2236611
- ^ Starck, J.L.; Murtagh, F.; Bijaoui, A. (1998). Image Processing and Data Analysis. Cambridge University Press. ISBN 9780521599146.
- ^ Mäkitalo, M.; Foi, A. (2013), "Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise", IEEE Transactions on Image Processing, vol. 22, no. 1, pp. 91–103, Bibcode:2013ITIP...22...91M, doi:10.1109/TIP.2012.2202675, PMID 22692910
추가 읽기
- Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001), "Astronomical image and signal processing: looking at noise, information and scale", Signal Processing Magazine, IEEE, vol. 18, no. 2, pp. 30–40, Bibcode:2001ISPM...18...30S, doi:10.1109/79.916319