평균 절대 편차

데이터 세트의 평균 절대 편차(AAD)는 중앙점으로부터의 절대 편차의 평균입니다.통계적 분산 또는 변동성에 대한 요약 통계량입니다.일반적인 형태에서 중심점은 평균, 중위수, 모드 또는 주어진 데이터 세트와 관련된 다른 중심 경향 측정 또는 기준 값의 결과일 수 있습니다.AAD에는 평균 절대 편차 및 중위수 절대 편차(둘 다 MAD로 약칭됨)가 포함됩니다.

분산의 척도

절대편차의 관점에서 통계적 분산의 몇 가지 척도가 정의된다."평균 절대 편차"라는 용어는 절대 편차를 측정하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 측정이 있고, 사용할 수 있는 중심 경향의 측정이 있기 때문에 통계 분산의 측정치를 고유하게 식별하지 않는다.따라서 절대 편차를 고유하게 식별하려면 편차의 측정값과 중심 경향의 측정값을 모두 지정해야 합니다.불행히도, 통계 문헌은 아직 표준 표기법을 채택하지 않았다. 왜냐하면 평균 주위의 평균 절대 편차와 중위수 주변의 중앙 절대 편차 모두 문헌에서 이니셜 "MAD"로 표시되었기 때문이다. 이는 일반적으로, 이들 값이 각각 상당히 다를 수 있기 때문이다.다른.

중앙점 주위의 평균 절대 편차

집합 {x₁, x₂, ..., x_n}의 평균 절대 편차는 다음과 같습니다.

{{displaystyle {frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} x_{i}-m(X) .}

중심 경향 측정의 $m(X)$ m ( $m(X)$ ) \ $displaystyle$ m $(X$ 은 평균 편차의 값에 현저한 영향을 미칩니다.예를 들어 {2, 2, 3, 4, 14} 데이터 세트의 경우:

$m(X)$ 측정값 $m(X)$ ( $m(X)$ X $m(X)$ ) { $displaystyle$ m ( $X)}$	평균 절대 편차
산술 평균 = 5	${ 2-5 + 2-5 + 3-5 + 4-5 + 14-5 }{5}=3.6$
중위수 = 3	${2-3 + 2-3 + 3-3 + 4-3 + 14-3 }{5}=2.8$
모드 = 2	${ 2-2 + 2-2 + 3-2 + 4-2 + 14-2 } {5} = 3.0$

중위수로부터의 평균 절대 편차가 평균으로부터의 평균 절대 편차보다 작거나 같습니다.실제로 중위수로부터의 평균 절대 편차는 항상 다른 고정 수로부터의 평균 절대 편차보다 작거나 같습니다.

평균으로부터의 평균 절대 편차는 표준 편차보다 작거나 같으며, 이를 증명하는 한 가지 방법은 Jensen의 부등식에 의존합니다.

증명

$\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ 부등식은 $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ ( $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ [ Y $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ ) $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ E [ $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ ( $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ ) \ $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ \ $varphi$ \ $left$ ( \ $mathbb { E }$ [ $Y$ ] \ $leq$ \ $mathbb$ { E $}$ \ $left$ [ \ $varphi$ ( $Y$ ) \ $right$ $]$ 이며, 여기서 $Y=\vert X-\mu \vert$ 는 $Y=\vert X-\mu \vert$ X에 $Y=\vert X-\mu \vert$ $Y=\vert X-\mu \vert$ 이다.

\displaystyle \mathbb {E} \left(X-\mu \right)^{2}\leq \mathbb {E} \left(X-\mu ^{2}\right)}

\mathbb {E} \left(X-\mu \right)^{2}\leq \operatorname {Var}(X)

양쪽이 양수이고 제곱근은 양의 영역에서 단조롭게 증가하는 함수이기 때문에:

\displaystyle \mathbb {E} \left ( X - \ mu \ right ) \ leq { sqrt \ operatorname { Var } ( X ) }

이 진술의 일반적인 사례에 대해서는 Hölder의 부등식을 참조하십시오.

정규 분포의 경우, 표준 편차에 대한 평균 절대 편차의 비율은 ${\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }$ / ${\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }$ $=$ … ${\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }$ {\ $textstyle {2/\pi$ }}= $0.79788456\ldots$ }입니다. 따라서 X가 기대값이 0인 정규 분포 랜덤 변수이면 Geary(표준 $):$ ^[1]

w=sqrt {E X}{\sqrt {E(X^{2}}}}=sqrt {\frac {2}{\pi }}}.

즉, 정규 분포의 경우 평균 절대 편차는 표준 편차의 약 0.8배입니다.그러나 샘플 내 측정은 w $w_{n}\in [0,1]$ $w_{n}\in [0,1]$ [ $w_{n}\in [0,1]$ , $]$ { $displaystyle w_{n}\in [0,1$ 의 경계를 가진 주어진 가우스 샘플 n에 대한 평균 평균 편차/표준 편차 비율의 값을 작은 ^[2]n에 대한 편중으로 제공합니다.

평균 주위의 평균 절대 편차

"평균 절대 편차" 또는 "평균 절대 편차"라고도 하는 평균 절대 편차(MAD)는 데이터 평균을 중심으로 한 데이터의 절대 편차의 평균입니다. 즉, 평균으로부터 평균(절대) 거리입니다."평균 절대 편차"는 이 사용법 또는 지정된 중앙점에 대한 일반적인 형식을 나타낼 수 있습니다(위 참조).

MAD는 실생활에 ^[3]더 적합하기 때문에 표준편차 대신 사용하도록 제안되었다.MAD는 표준 편차보다 변동성에 대한 단순한 측정값이기 때문에 학교 ^[4]^[5]교육에서 유용할 수 있습니다.

이 방법의 예측 정확도는 예측의 평균 제곱 오차인 평균 제곱 오차(MSE) 방법과 매우 밀접하게 관련되어 있습니다.이러한 방법은 매우 밀접하게 관련되어 있지만 MAD가 계산하기 쉽고(^[7]제곱의 필요성을 ^[6]회피) 이해하기 쉽기 때문에 MAD가 더 일반적으로 사용됩니다.

중위수 주위의 평균 절대 편차

중위수는 평균 편차가 최소화되는 지점입니다.MAD 중위수는 중위수 주위의 랜덤 변수 크기를 직접 측정합니다.

(\displaystyle D_{\text{med}}=E X-{\text{median}})

이는 라플라스 분포의 척도 $모수$ b $\displaystyle$ b의 $b$ 최대우도 추정치입니다.정규 분포의 ${\textstyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }$ D ${\textstyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }$ 은 ${\textstyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }$ ${\textstyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }$ 2 / ${\textstyle D_{\text{mean}}=\sigma {\sqrt {2/\pi }}\approx 0.797884\sigma }$ 0. $797884 {\$ { $text style$ D _ { \ $text$ { $mean$ } = \ $sigma$ { $2$ / \ $pi }$ 。 $중간값은$ 평균 절대 거리를 최소화하므로 $D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}$ 평균 D $D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}$ D $D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}$ D $d DISPLAY$ \ $dISPLAY$ \ $text }$ { text } } { tyle } { tyle } { text $}$ 입니다.

Habib(2011)는 일반 분산 함수를 사용하여 중앙값에 대한 MAD를 다음과 같이 정의했다.

\displaystyle D_{\text{median}=E X-{\text{median}}=2\operatorname {Cov}(X,I_{O})

표시기 함수가 있는 경우

\mathbf {I} _{O}:=begin{case}1&{\text{if}}x>{\text{cases}}},\0&{\text{cases}}}}.\end {case}

이 표현을 통해 MAD 중위수 상관 ^{[citation needed]}계수를 얻을 수 있습니다.

중앙점 주위의 중위수 절대 편차

원칙적으로 평균이나 다른 중앙점을 중앙 절대 편차의 중앙점으로 간주할 수 있지만 대부분의 경우 중앙값이 대신 사용됩니다.

중위수 주변 중위수 절대 편차

중위수 절대 편차(MAD)는 중위수로부터의 절대 편차의 중위수입니다.그것은 분산의 강력한 추정치이다.

예 {2, 2, 3, 4, 14}의 경우: 3은 중위수이므로 중위수로부터의 절대 편차는 {1, 1, 1, 11}({0, 1, 1, 1, 11로 정렬됨)이고 중위수는 1이므로 이 경우 특이치 14의 값에 영향을 받지 않습니다. 따라서 중앙값 절대 편차는 1입니다.

대칭 분포의 경우 중위수 절대 편차는 사분위 간 범위의 절반과 같습니다.

최대 절대 편차

임의 점 주위의 최대 절대 편차는 해당 점으로부터의 샘플 절대 편차의 최대값입니다.최대 절대 편차는 중심 경향의 엄밀한 측정은 아니지만 m $m(X)=\max(X)$ $=$ ( $)$ { $displaystyle$ m $(X$ )=\ $max(X$ 의 $m(X)=\max(X)$ 절대 편차에 대한 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. $\max(X)$ 서 $\max(X)$ max ( $)$ { $displaystyle \max(X)}$ 는 $\max(X)$ 샘플 최대값입니다.

최소화

절대편차로부터 도출된 통계적 분산의 측정치는 분산의 최소화로 중심성향을 나타내는 다양한 측정치를 특징으로 한다.중위수는 절대 편차와 가장 관련이 있는 중심 경향의 측도입니다.일부 위치 매개 변수는 다음과 같이 비교할 수 있습니다.

L² 표준 통계량: 평균 제곱 오차를 최소화합니다.
L¹ 표준 통계량: 중위수는 평균 절대 편차를 최소화합니다.
L^∞ norm 통계: 중간 범위는 최대 절대 편차를 최소화합니다.
잘라낸^∞ L 정규 통계량: 예를 들어, 전체 분포의 중위수 절대 편차를 최소화하는 중위수(1분위와 3분위의 평균)는 위쪽과 아래쪽 25%를 잘라낸 후 분포의 최대 절대 편차를 최소화합니다.

견적

표본의 평균 절대 편차는 모집단의 평균 절대 편차에 대한 편향된 추정기입니다.절대 편차가 치우치지 않은 추정치가 되려면 모든 표본 절대 편차의 기대값(평균)이 모집단 절대 편차와 같아야 합니다.하지만 그렇지 않다.모집단 1,2,3의 경우 중위수에 대한 모집단 절대 편차와 평균에 대한 모집단 절대 편차가 모두 2/3입니다.모집단에서 추출할 수 있는 크기 3의 평균에 대한 모든 표본 절대 편차의 평균은 44/81이고 중위수에 대한 모든 표본 절대 편차의 평균은 4/9입니다.따라서 절대 편차는 편향된 추정치입니다.

그러나, 이 주장은 평균-불편향의 개념에 기초하고 있다.위치의 각 측정값에는 고유한 형태의 불편함이 있습니다(편향된 추정치에 대한 항목 참조).여기서 편견의 관련 형태는 중앙 치우침이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 기어리, R.C. (1935년)정규성 검정의 표준 편차에 대한 평균 편차의 비율입니다.바이오메트리카, 27(3/4), 310~332.
^ 기어리의 1936년과 1946년의 논문: 기어리, R. C.(1936)도 참조.정상 표본의 표준 편차에 대한 평균 편차의 비율 모멘트입니다.Biometrica, 28(3/4), 295–307 및 Geary, R. C.(1947).정규성을 검사하고 있습니다.바이오메트리카, 34(3/4, 209~242).
^ Taleb, Nassim Nicholas (2014). "What scientific idea is ready for retirement?". Edge. Archived from the original on 2014-01-16. Retrieved 2014-01-16.{{cite web}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
^ Kader, Gary (March 1999). "Means and MADS". Mathematics Teaching in the Middle School. 4 (6): 398–403. Archived from the original on 2013-05-18. Retrieved 20 February 2013.
^ Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck, Mike Perry, and Richard Scheaffer (2007). Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education (PDF). American Statistical Association. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archived (PDF) from the original on 2013-03-07. Retrieved 2013-02-20.
^ Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Production and Operations Analysis (7th ed.), Waveland Press, p. 62, ISBN 9781478628248, MAD is often the preferred method of measuring the forecast error because it does not require squaring.
^ 를 클릭합니다Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies, Springer Texts in Business and Economics (5th ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097, the meaning of the MAD is easier to interpret.

외부 링크

평균 절대 편차의 이점

[1] 기어리, R.C. (1935년)정규성 검정의 표준 편차에 대한 평균 편차의 비율입니다.바이오메트리카, 27(3/4), 310~332.

[2] 기어리의 1936년과 1946년의 논문: 기어리, R. C.(1936)도 참조.정상 표본의 표준 편차에 대한 평균 편차의 비율 모멘트입니다.Biometrica, 28(3/4), 295–307 및 Geary, R. C.(1947).정규성을 검사하고 있습니다.바이오메트리카, 34(3/4, 209~242).

[3] Taleb, Nassim Nicholas (2014). "What scientific idea is ready for retirement?". Edge. Archived from the original on 2014-01-16. Retrieved 2014-01-16.{{cite web}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).

[Kader1999-4] Kader, Gary (March 1999). "Means and MADS". Mathematics Teaching in the Middle School. 4 (6): 398–403. Archived from the original on 2013-05-18. Retrieved 20 February 2013.

[GAISE-5] Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck, Mike Perry, and Richard Scheaffer (2007). Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education (PDF). American Statistical Association. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archived (PDF) from the original on 2013-03-07. Retrieved 2013-02-20.

[6] Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Production and Operations Analysis (7th ed.), Waveland Press, p. 62, ISBN 9781478628248, MAD is often the preferred method of measuring the forecast error because it does not require squaring.

[7] 를 클릭합니다Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies, Springer Texts in Business and Economics (5th ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097, the meaning of the MAD is easier to interpret.

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