누런트

확률 이론과 통계에서 확률 분포의 누적분포 ants은_n 분포의 순간들에 대한 대안을 제공하는 수량 집합이다. 모멘트가 동일한 확률 분포의 두 개도 동일한 누적분포를 가질 것이며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.

첫 번째 누적분은 평균이고, 두 번째 누적분은 분산이며, 세 번째 누적분은 세 번째 중앙 순간과 같다. 그러나 4차 이상 고차 응고제는 중심 순간과 같지 않다. 어떤 경우에는 누적제 측면에서 문제에 대한 이론적 치료가 순간을 사용하는 것보다 더 간단하다. 특히, 둘 이상의 랜덤 변수가 통계적으로 독립적일 때, 그 합계의 n번째 순서 누적분은 그들의 n번째 순서 누적분량의 합과 같다. 또한 정규 분포의 3차 이상 고차 적산물은 0이며, 이 속성을 가진 유일한 분포다.

무작위 변수 집합에 관절 모멘트를 사용하는 순간과 마찬가지로 관절 적산물을 정의할 수 있다.

정의

랜덤 변수 X의 적분은 모멘트 생성 함수의 자연 로그인 누적 생성 함수 K(t)를 사용하여 정의된다.

${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$

적란트 κ은_n 적란트 생성 함수의 파워 시리즈 확장을 통해 얻는다.

${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\inflt }\cappa _{n}{\frac{t^{n}}{n!}}}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!2}}+\카파 _{2}{\frac{t^{2}}!}}}+\kappa _{3}{\frac{t^{3}}{3}}{3!}}}+\cdots =\mu t+\cdma ^{2}{\frac {t^{2}}+\cdots .}$

이 팽창은 맥클라우린 시리즈여서 위의 팽창 n번을 구분하고 결과를 0으로 평가하면 n번째 누적분을 얻을 수 있다.^[1]

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$

모멘트 생성 기능이 존재하지 않는 경우, 누적제와 나중에 논의된 모멘트 사이의 관계 측면에서 누적분을 정의할 수 있다.

적층 생성 함수의 대체 정의

어떤 저자는^[2][3] 누적 생성 함수를 특성 함수의 자연 로그로 정의하기를 선호하는데, 이것을 제2특성 함수라고도 한다.^[4][5]

${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{n1}^{n}\inflty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}}=\mu it-\\cdma ^{2}{\frac {t^{2}}:{2}}+\cdots }}$

H(t)의 장점은, 어떤 의미에서 순수하게 가상적인 주장에 대해 평가한 함수 K(t)는 E[e^itXtX]가 모든 t의 실제 값에 대해 잘 정의되지 않은 경우에도, 예를 들어 X가 큰 크기를 가질 가능성이 "너무 많은" 확률을 가질 때 발생할 수 있다는 것이다. H(t) 함수는 잘 정의되지만, 그럼에도 불구하고, 인수 t에서 선형 순서를 초과하거나 또는 드물게 확장되지 않을 수 있는 Maclaurin 시리즈의 길이 측면에서 K(t)를 모방할 것이며, 특히 잘 정의된 응고제의 수는 변하지 않을 것이다. 그럼에도 불구하고, H(t)가 긴 Maclaurin 시리즈를 가지고 있지 않을 때에도, 직접 분석하여, 특히 랜덤 변수를 추가하는 데 사용할 수 있다. Cauchy 분포(로렌츠 분포라고도 함)와 보다 일반적으로 안정적인 분포(레비 분포와 관련됨)는 발전함수의 파워 시리즈 확장이 정확하게 정의된 항만 갖는 분포의 예다.

일부 기본 속성

$랜덤$ 변수 $X$ ${\textstyle$ $X$$}$의 n ${\textstyle \cappa _{n}(X)}$은(는) 다음 속성을 누린다$$.

• (즉지 않은 임의의) 다음κ n(X+c))κ n(X),(_ᆲ(X),}은 cumulanttranslation-invariant은 즉 만약 n1{\textstyle n> 1}c{c\textstyle}.(만약 n1{\textstyle n=1}초기 조향 순간을 우리는 κ 1(X+c다))κ 1(X)+c.){\textstyle \kap 상수입니다.pa_{1$}}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c.)}$
• If ${\textstyle c}$ is constant (i.e. not random) then ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ i.e. the ${\textstyle n}$-th cumulant is homogeneous of degree ${\textstyle n}$.
• 랜덤 변수 $X{}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$,$$…$$, X $m_{}$ ${\$이(가) 독립형인 경우

${\displaystyle \kappa _{n}(X_{1}+\cdots +X_{m})=\kappa _{n}(X_{1})+\cdots +\kappa _{n}(X_{m})}}}}$

즉, 누적된 누적된 누적된 누적된 누적된 누적된 누적된 누적된 누적된 이름이다.

누적속성은 누적생성함수를 고려하여 빠르게 따라온다.

${\displaystyle {\begin{ligned}K_{X_{1}+\cdots +{m}+}\cdots +{m}+\log \operatorname {E}\reft[e^{1}+\cdots +X_{m}\right]\\\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]\cdots \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{1}\right]+\cdots +\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\\[5pt]&=K_{X_{1}(t)+\cdots +K_{X_{m}}(t),\end{aigned}}}}$

따라서 독립 랜덤 변수 합계의 각 누적분이 해당 합계의 합이 되도록 한다. 즉, 합계가 통계적으로 독립되어 있을 때, 합계의 평균은 평균의 합이고, 합계의 분산은 분산의 합이며, 합계의 세 번째 누적분율(중부 모멘트가 우연히 세 번째인 경우)은 세 번째 누적분율의 합이며, 누적분율의 각 순서에 대한 합이다.

주어진 적산물이 κ인_n 분포는 Edgeworth 시리즈를 통해 근사하게 추정할 수 있다.

순간의 함수로써 첫번째 몇개의 응고제

높은 응고액은 모두 정수 계수를 갖는 중심 모멘트의 다항식 함수지만, 2도와 3도에만 응고된 것이 실제로 중심 모멘트가 된다.

• ${\textstyle \kappa _{1}(X)=\operatorname {E}(X)}$
• ${\textstyle \kappa _{2}(X)=\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}={}}$the variance, or second central moment.
• ${}_{}\kappa$ ${3\mathrm{}}_{}$( X$$)$$= $\mathrm{E}$ $$($X$ - $\mathrm{E}$ ($$X$$) )${}^{3\mathrm{}}$)$$= ${\$X-$\operatorname {E})(X)^{3}{\big$ $)}={}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$
• ${\textstyle \kappa _{4}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{4}{\big )}-3\left(\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}\right)^{2}={}}$the fourth central moment minus three times the 제2의 중심 순간의 제곱 따라서 이것은 응결제가 단순한 순간이나 중심적인 순간이 아닌 첫 번째 경우다. 3도 이상의 중심 순간은 누적된 속성이 부족하다.
• ${\textstyle \kappa _{5}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{5}{\big )}-10\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{3}{\big )}\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}.}$

일부 이산 확률 분포의 적분율

• 상수 랜덤 변수 X = μ. 누적 생성 함수는 K(t) = μt이다. 첫 번째 적분은 is₁ = K ' (0) = μ이고₂₃, 다른 적분은 0, = = = = = = … = 0이다₄.
• 베르누이 분포, (성공 확률 p로 한 실험의 성공 횟수) 누적 생성 함수는 K(t) = log(1 - p + pe^t)이다. 첫 번째 응고제는 κ₁ = K '(0) = p, and₂ = K k′(0) = p·(1 - p)이다. 적혈구는 재귀 공식을 만족시킨다.

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}.}$

• 기하 분포, (각 시험의 성공 확률 p로 하나의 성공 이전의 실패 횟수). 누적 생성 함수는 K(t) = log(p / (1 + (p - 1)e^t))이다. 첫 번째 적혈구는 κ₁ = K′(0) = p⁻¹ - 1이고, κ₂ = K′′(0) = κp이다₁⁻¹. p = (μ + 1)를 ⁻¹대입하면 K(t) = -log(1 + μ(1-e^t))와₁ μ = μs가 나온다.
• 포아송 분포. 누적 발생 함수는 K(t) = μ(e^t - 1)이다. 모든 응고제는 파라미터와 동일하다₁: = = = = = = … = μ₂₃.
• 이항 분포(각 시험의 성공 확률 p를 갖는 독립 시험의 성공 횟수) 특수 케이스 n = 1은 베르누이 분포다. 모든 누적분포는 해당 버누이 분포의 해당 누적분포의 n배일 뿐이다. 누적 생성 함수는 K(t) = n log(1 - p + pe^t)이다. 첫 번째 응고제는 κ₁ = K′(0) = np, κ₂ = K′′(0) = κ₁(1 - p)이다. p = μ·n을⁻¹ 대체하면 K '(t) = ((μ⁻¹ - n⁻¹)/e^−t + n⁻¹)⁻¹과 μ₁ = μs가 된다. 제한⁻¹ 사례 n = 0은 포아송 분포다.
• 음의 이항 분포(각 시험의 성공 확률 p로 r이 성공하기 전의 실패 횟수) 특수 케이스 r = 1은 기하 분포다. 모든 누적분포는 해당 기하 분포의 해당 누적분포의 r배이다. 누적발생함수의 파생상품은 K '(t) = r·(1 - p)·⁻¹e-1^−t)이다.⁻¹ 첫 번째 응고제는 κ₁ = K ' (0) = r·(p-1⁻¹)이고, κ₂ = K ' ' (0) = κ₁·p이다⁻¹. p = (μ·r⁻¹+1)를 ⁻¹대입하면 K′(t) = (μ⁻¹ + r⁻¹)e^−t - r⁻¹)⁻¹와 μ₁ = μ가 나온다. 이러한 공식을 이항 분포의 공식과 비교하면 '부정 이항 분포'라는 이름이 설명된다. 제한⁻¹ 사례 r = 0은 포아송 분포다.

분산 대 평균 비율 소개

${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\mu ^{-1}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$

위의 확률 분포는 누적 생성함수의 파생에 대한 통일된 공식을 얻는다.^{[citation needed]}

${\displaystyle K'(t)=\mu \cdot (1+\varepsilon \cdot (e^{-t}-1)^{-1}.}$

두 번째 파생상품은

${\displaystyle K''(t)=\mu \varepsilon e^{t}(\varepsilon -1)e^{t}^{-2}$

첫 번째 적출액이 κ₁ = K′(0) = μ이고 두 번째 적출액이 is₂ = K′′(0) = μ μ임을 확인한다.

상수 랜덤 변수 X = μ는 have = 0이다.

이항 분포는 < = 1 - p를 가지므로 0 < ε < 1이다.

포아송 분포는 ε = 1이다.

음의 이항 분포는 = = p를⁻¹ 가지므로 > > 1이다.

편심률에 의한 원뿔 섹션의 분류에 유추한다: 원 circles = 0, 타원 0 < 1, 파라볼라 ε = 1, 하이퍼볼라 ε > 1.

일부 연속 확률 분포의 누적분포함수

• 기대값 μ 및 분산 μ를² 갖는 정규 분포의 경우 누적 생성 함수는 K(t) = μt + μt²²/2이다. 적출함수의 제1차 및 제2차 파생상품은 K '(t) = μ + μ²·t 및 K'(t) = σ이며², 적출량은 μ₁ = μ₃, μ₂ = σ²₄ = ... = … = 0이다. 특수경우² = = 0은 상수 랜덤 변수 X = μ이다.
• [-1, 0] 구간에 대한 균등 분포의 누적치는_n = = B_n/n이며, 여기서_n B는^th n 베르누이 수이다.
• 모수 cum을 갖는 지수 분포의 누적치는 κ_n = λ⁻ⁿ (n - 1)!이다.

적층 생성 함수의 일부 특성

누적 생성함수 K(t)는 존재한다면 무한히 다른 것과 볼록한 것으로 원점을 통과한다. 첫 번째 파생상품은 최소값부터 확률분포 지원의 우월성까지 개방간격으로 단조롭게 분포하고 있으며, 두 번째 파생상품은 단일점 질량의 퇴화된 분포를 제외하고는 정의된 모든 곳에서 엄격히 양성적이다. 누적 생성 함수는 분포의 꼬리가 지수 붕괴(Big O 표기법 참조)에 의해 전공화되는 경우에만 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{-cx}),x\to -\infty ;{\text{ and}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 누적 분포 함수다. 누적 생성 함수는 그러한 최소치가 존재하는 경우 c의 최소치에서 수직 점증상(s)을 가질 것이며, 그러한 최소치가 존재하는 경우 d의 최대치에서 그러한 우월성이 존재한다면, 그렇지 않으면 모든 실제 숫자에 대해 정의될 것이다.

임의 변수 X의 지지가 유한한 상한 또는 하한을 갖는 경우, 누적 생성함수 y = K(t)가 존재하는 경우, 경사가 지지대의 최상 및/또는 최소값과 동일한 점근증상에 접근한다.

${\displaystyle {\begin}y&=(t+1)\inf \operatorname {supply}X-\mu(X), {\text{}\}\}\\[5pt]y&=(t-1)\super \operatorname {suppot}X+\mu(X),\ended}}}}}}}$

각각, 이 두 줄 위쪽에 놓여있다. (통합은)

${\displaystyle \int _{-\inf}^{0}\왼쪽[t\inf \operatorname {supply}X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int_{\inft}^{0}\inft[t\inf \inf \inf \x-K't],dt}$

K(0) = 0)이므로 이러한 점근법의 y 절편을 산출한다.

For a shift of the distribution by {{math c}, ${\displaystyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$ For a degenerate point mass at c, the cgf is the straight line ${\displaystyle K_{c}(t)=ct}$, and more generally, ${\displaystyle K_{X+$$Y}=K_{X}+K_{{$$Y}$ X와 Y가 독립적이고 그 cgf가 존재하는 경우에만$$; (독립성과 독립을 의미하기에 충분한 두 번째 순간의 존재)^[6]

분포의 자연 지수 계열은 K(${\displaystyle t}$)를 이동하거나 번역하고, 항상 원점을 통과하도록 수직으로 조정함으로써 실현될 수 있다: f가 cgf $K{\displaystyle (}$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{로그}M(t),}$ ${\displaystyle$K($t)=\log$ M$(t),$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle$ f $\ta}$이 자연 지수 계열이라면, 그 자연 지수 계열이다$$.${\displaystyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$ and ${\displaystyle K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta ).$$}$

K(t)가 범위 t₁ < Re(t) > t에₂ 대해 유한하다면 t₁ < 0 < t>에₂ 대해 K(t)가 분석적이며 t < Re₁(t)> < t에₂ 대해 무한히 다를 수 있다. 더욱이 t real과 t₁ < t₂ < K(t)는 엄격히 볼록하며, K(t)는 엄격히 증가하고 있다.^{[citation needed]}

충혈제의 추가 특성

부정적인 결과

정규 분포의 누적분포에 대한 결과를 고려할 때, 일부 m > 3의 경우 κ_m = κ_m+1 = ⋯ = ⋯ = 0 = 0이 아닌 저순 누적분포함수(주문 3 ~ m - 1)를 찾을 수 있다. 그런 분포는 없다.^[7] 여기서의 기본적인 결과는 누적 생성 함수가 2도 이상의 유한 순서 다항식이 될 수 없다는 것이다.

충만과 순간

모멘트 생성 기능은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{n1}^{\flac {\mu '_{n}t^{n}}}{n!}}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\cappa _{n}t^{n}}}}{n!}}}\오른쪽)=\exp(K(t)}$

따라서 누적 생성 함수는 모멘트 생성 함수의 로그임

$[\displaystyle K(t)=\log M(t)]}$

첫 번째 누적분은 기대값이다. 두 번째와 세 번째 누적분은 각각 두 번째와 세 번째 중앙 순간이다. 그러나 누적분율이 높은 것은 순간도 중심 순간도 아니고 오히려 더 복잡한 다항식 기능이다.

순간은 누적분포함수의 ${\displaystyle \mathrm{관점}}$에서 t =${\displaystyle }$0 ${\$displaystyle $exp(k)(t)}$의 n번째 파생상품을 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$에서 평가하면 회복할 수 있다$.$

${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\왼쪽.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}}{\mathrm {d} t^{n}}\오른쪽 _{t=0}}$

마찬가지로 $누적분포함수$는 ${\displaystyle \mathrm{t}}$= 0 {\$displaystyle \$log $(t$)}의 n번째 ${\displaystyle \mathrm{파생상품}}$을${\displaystyle }$t = 0 ${\displaystyle t=0}$에서 평가하여 순간 단위로 회수할 수 있다$.$

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\왼쪽.{\frac {\mathrm {d}^{n}\log M(t)}{\mathrm {d}t^{n}}\오른쪽 _{t=0}}$

n번째 순간에 대한 명시적 표현은 첫 번째 numulants, 그리고 그 반대는 복합함수의 상위 파생상품에 대한 Faa di Bruno의 공식을 사용하여 얻을 수 있다. 일반적으로, 우리는

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots,\kappa _{n-k+1})}$

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{k-1(-1)^{k-1(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots,\mu '_{n-k+1}),}$

여기서 ${\displaystyle {Bn}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 불완전$$(또는 부분) Bell 다항식이다.

이와 마찬가지로 평균이 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$에 의해 주어진 경우$,$ 중심 모멘트 생성 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle C(t)=\operatorname {E}[e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$

그리고 n번째 중심 모멘트는 다음과 같이 적혈구 측면에서 얻는다.

${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\왼쪽.{\frac {\mathrm {d}^{n}{n}{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right _{t=0}=\sum _{k=1}{k=1}^{n}B_{n}(0,\kappa _{2},\n-k+1}.}$

또한, n > 1의 경우, 중심 모멘트의 측면에서 n번째 누적치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\왼쪽.{\frac {\mathrm {d} ^{n}{n}{n}}(\log C(t)+\mu t)\\right _{t=0}\[4pt]&=\sum _{k=1}^{k-1}-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots,\mu _{n-k+1}).\end{정렬}}}$

n번째 모멘트 _nμ³은 첫 번째 누산염에서 n번째 도 다항식이다. 처음 몇 가지 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{1}^{6}.\end{정렬}}}$

"prime"는 순간들이 _nμμs와 중심 순간_n μs를 구별한다. 중앙 모멘트를 응모제의 함수로 표현하려면 다음 다항식에서 κ이₁ 인자로 나타나는 모든 용어를 삭제하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{정렬}}}$

마찬가지로 n번째 누적분포함수는_n 첫 번째 n-중앙 순간의 n번째 다항식이다. 처음 몇 가지 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}^{4}-120{\mu '_{1}^{6}\end{aigned}}}}}}$

n > 1에 대한 누적분 κ을_n 중심 모멘트의 함수로 표현하려면 다음 다항식으로부터 μ'₁가 인자로 나타나는 모든 항을 삭제하십시오.

${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu_{4}-3{\mu_{2}}^{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu_{6}-15\mu_{4}\mu_{3}-10{3}^{2}+30{{2}}^{3}\}\,}$

n > 2에 대한 누적분 μ를_n 표준화된 중심 모멘트의 함수로 표현하려면 다항식에서도 μ'=₂1을 설정하십시오.

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu_{6}-15\mu_{4}-10{3}^{2}+30\,}$

결점은 t에 대해 관계 로그 M(t) = K(t)를 구분해 지수나 로그가 없는 M(t) = K(t) M(t)을 부여함으로써 순간과 연관될 수 있다. 좌우 t ⁿ⁻¹ 계수를 등분하고 μ μ =₀ 1을 사용하면 n ≥ 1에 대해 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\end{aligned}}}$

이를 통해 ${\displaystyle {\kappa n}_{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {\mu n}_{}^{}}$ μn$display$ {\$displaystyle \mu$ '$_n}$ 중 하나를 저차 응결제와 모멘트에 대한 지식을 사용하여 다른 것에서 계산할 수 있다$$. The corresponding formulas for the central moments ${\displaystyle \mu _{n}}$ for ${\displaystyle n\geq 2}$ are formed from these formulas by setting ${\displaystyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$ and replacing each ${\displaystyle \mu '_{n}}$ with ${\displaystyle \mu$$_{n$${\displaystyle \}\}}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ $\_${n$}{\displaystyle n\geq 2}$.

적혈관과 세트파티션

이 다항식들은 주목할 만한 조합 해석을 가지고 있다: 계수는 집합의 특정 분할을 카운트한다. 이러한 다항식의 일반적인 형태는

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum_{\pi \,\in \,\pi \prod_{B}, \pi \}\appa _{B}}}}}}}}}}}$

어디에

• π은 n사이즈 집합의 모든 파티션 리스트를 통하여 실행된다.
• "B ∈ π"은 B가 세트가 분할되는 "블록"의 하나라는 것을 의미한다.
• B는 세트 B의 크기 입니다.

따라서 각 단항은 누적분포함수의 곱을 일정한 곱으로 지수의 합이 n(예: term κ₂² κ κ₁, indices₃ term이라는 용어에서 지수의 합은 3 + 2 + 1 + 1 = 8이며, 이는 첫 번째 8 누적분포함수의 함수로써 8번째 순간을 표현하는 다항식에 나타난다. 정수 n의 파티션은 각 용어에 해당한다. 각 용어의 계수는 집합의 구성원이 구별할 수 없을 때 정수 n의 파티션으로 축소되는 n 멤버 집합의 파티션 수입니다.

적혈구 및 콤비네이터학

적혈제와 결합제의 추가적인 연결은 탯줄 미적분을 통해 불변 이론, 대칭함수, 이항순서에 대한 링크를 연구하는 지안칼로 로타의 연구에서 찾을 수 있다.^[9]

관절 적분제

여러 랜덤 변수 X₁, ..., X의_n 조인트 적산물은 유사한 적산 생성 함수에 의해 정의된다.

${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots,t_{n}}=\log E(\mathrm {e}^{j=1}^{j=1}t_{j}X_{j}}}).}$

결과는 이다.

${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots,X_{n}}=\sum }{\pi }}(\pi -1}!(-1)^{\pi -1}\prod \{B\in \e\left(\prod_{i\in B}X_{i}\}\}\}\ri}\ri}\ri}\오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

여기서 π은 {1, ..., n }의 모든 파티션 목록을 통해 실행되며, B는 파티션 π의 모든 블록 목록을 통해 실행되며, π은 파티션의 부품 수입니다. 예를 들어,

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$

예를 들어, X = Y인 경우 등 랜덤 변수 중 하나가 동일하면 동일한 공식이 적용된다.

${\displaystyle \kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z),\,}$

비록 그러한 반복된 변수의 경우 보다 간결한 공식들이 있다. 0-평균 랜덤 벡터의 경우,

${\displaystyle \kappa(X,Y,Z)=\operatorname {E}(XYZ).\,}$

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$

하나의 랜덤 변수의 공동 누적값은 기대값이고, 두 랜덤 변수의 누적합은 공분산이다. 일부 랜덤 변수가 다른 변수와 독립적이면 두 개 이상의 독립 랜덤 변수를 포함하는 누적분은 0이 된다. 모든 n개의 랜덤 변수가 동일하면, 이음매가 n번째 정규 적산이다.

누적분포함수의 관점에서 순간표현의 조합적 의미는 누적분포함수보다 이해하기 쉽다.

${\displaystyle \operatorname {E}(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\cappa(X_{i:i\in B).}$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$

공동 적층제의 또 다른 중요한 특성은 다층성이다.

${\displaystyle \kappa(X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa(X,Z_{1},Z_{2},\dots )+\dots\,}$

두 번째 누적분산이 분산인 것처럼 랜덤 변수 두 개의 결합 누적분산이 공분산이다. 친숙한 정체성

${\displaystyle \operatorname {var}(X+Y)=\operatorname {var}(X)+2\operatorname {cov}(X,Y)+\operatorname {var}(Y)\,}$

적혈구로 일반화:

${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \j}\j}\\cappa(\,\,\underbrace {X,\dots,X}, _{j},},},},}},}$

조건부 과적률과 총 과적률의 법칙

총 기대의 법칙과 총 분산의 법칙은 조건부 누룩제에 자연스럽게 일반화된다. 사례 n = 3은 적혈구가 아닌 (중앙) 순간의 언어로 표현된다고 한다.

${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$

대체적으로.^[10]

${\displaystyle \kappa(X_{1},\dots,X_{n}}=\sum_{\pi }\cappa(X_{\pi _{1}mid Y),\dots ,\cappa(X_{b}\pi _{b}\mid Y)}}}}}}}}}$

어디에

• 합계는 {1, ..., n }개의 인덱스 집합의 모든 파티션 π에 걸쳐 있다.
• π₁, ..., π은_b 모두 칸막이 π의 "블록(block)"이며, κ(X_πm)이라는 표현은 그 칸막이 블록에 지수가 있는 임의 변수의 관절 적산물을 나타낸다.

통계물리학과의 관계

통계물리학에서는 주어진 시스템의 부피나 크기에 비례하는 많은 양의 방대한 양이 랜덤 변수의 적산물과 관련이 있다. 깊은 연관성은 큰 시스템에서는 에너지나 입자의 수와 같은 광범위한 양이 거의 독립적인 여러 영역과 관련된 에너지의 합으로 생각할 수 있다는 것이다. 이러한 거의 독립적인 무작위 변수의 적산물이 (거의) 추가된다는 사실은 광범위한 양이 적산물과 관련될 것으로 예상된다는 것을 합리적으로 만든다.

온도 T에서 열탕과 평형 상태에 있는 시스템은 내부 에너지 E가 변동하는데, 이는 $분포{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$~ ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle E\sim p(E)}$에서 도출된 랜덤 변수로 간주할 수 있다$.$ 시스템의 파티션 기능은

$\displaystyle Z(\beta )=\langle \exp(-\beta E)\angle,\,}$

여기서 β = 1/(kT) 및 k는 볼츠만의 상수로서 에너지, E와의 혼동을 피하기 위해 $기대값$인 E${\displaystyle }$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle \langle A\angle }$보다 표기법 ${\displaystyle \mathrm{notation}}{\displaystyle }$A notation ${\$$displaysty \operatorname {E}[A]$이 사용되어 왔다$$. 따라서 에너지 E의 첫 번째와 두 번째 누적액은 평균 에너지와 열 용량을 제공한다.

${\displaystyle \langle E\rangle _{c}={\frac {\partial \log Z}{\partial(-\beta )}}}=\langle E\rangle }}$

${\displaystyle \langle E^{2}\langle _{c}={\frac={\frac}{\langle E\angle _{c}}{\partial(-\beta )}}}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}=kT^{2}}C}$

헬름홀츠 자유 에너지는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,}$

열역학적 양을 에너지의 적층 생성 기능과 더욱 연결한다. 내부 에너지, 엔트로피 및 특정 열 용량과 같은 자유 에너지의 파생 모델인 열역학 특성은 모두 이러한 응고제 측면에서 쉽게 표현할 수 있다. 다른 자유 에너지는 자기장 또는 화학적 전위 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $\},$ 예를 들어, 다른 변수의 함수일 수 있다.

$\displaystyle \Oomega =-\beta ^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E-\beta \mu N)\angle )\,}$

여기서 N은 입자 수이고 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 최대 잠재력이다$$. 다시 말해 자유 에너지의 정의와 누적 생성 기능 사이의 밀접한 관계는 이 자유 에너지의 다양한 파생 모델이 E와 N의 공동 누적제 관점에서 작성될 수 있다는 것을 암시한다.

역사

적혈구의 역사는 안데르스 할드에 의해 논의된다.^[11][12]

응고제는 Thorvald N에 의해 처음 소개되었다. 1889년, 도깨비들은 그들을 반침략가라고 불렀다.^[13] 그들은 로널드 피셔와 존 위시아트에 의해 1932년 논문에서^[14] 처음으로 적혈구라고 불렸다. 피셔는 Neyman에 의해 Tiele의 작품에 대해 공개적으로 상기되었다. Neyman은 또한 이전에 발표된 Tietle의 인용구들을 피셔의 주목을 받게 했다.^[15] Stephen Stigler는 그 이름이 Harold Hotteling의 편지에서 피셔에게 제안되었다고 말했다^{[citation needed]}. 1929년에 발표된 논문에서 피셔는 그것들을 누적 순간 함수라고 불렀다.^[16] 통계물리학의 칸막이 기능은 1901년 요시야 윌러드 깁스에 의해 도입되었다.^{[citation needed]} 자유 에너지는 흔히 깁스 자유 에너지라고 불린다. 통계 역학에서 적혈구는 1927년 간행물과 관련된 Ursell 함수로도 알려져 있다.^{[citation needed]}

일반화 설정의 적혈구

공식 적분제

보다 일반적으로, {m_n : n = 1, 2, 3, ...} 시퀀스의 적혈구는 어떤 확률 분포의 모멘트가 반드시 필요한 것은 아니지만, 정의상으로는

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{n1}^{\inflt }{\frac {m_{n}t^{n}}}{n!}}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\cappa _{n}t^{n}}}}{n!}}}\오른쪽),}$

여기서 n = 1, 2, 3, ...에 대한 κ의_n 값이 공식적으로 발견된다. 즉, 대수학만으로 어떤 시리즈가 수렴되는지 여부에 대한 질문을 무시한다. '누룩제 문제'의 어려움은 모두 정식으로 일할 때 빠진다. 가장 간단한 예는 확률 분포의 두 번째 누적분이 항상 음성이어야 하며, 높은 누적분이 모두 0인 경우에만 0이라는 것이다. 공식적 누적제는 그러한 제약이 없다.

종 번호

조합학에서 n번째 벨 번호는 n 크기 집합의 파티션 수입니다. 벨 번호 순서의 모든 적혈구는 1과 같다. 벨 번호는 예상 값 1을 가진 포아송 분포의 순간이다.

이항식 다항식 배열의 적분

어떤 시퀀스 { κ_n : n = 1, 2, 3, ... 특성 영의 필드에 있는 스칼라 {n = 1, 2, 3, }에 대해, 공식 적산물로 간주되는, 해당하는 시퀀스 {μ μ : n = 1, 2, 3, ...위의 다항식(다항식)^{[clarification needed][citation needed]}에 의해 주어지는 형식적인 순간의 }. 이러한 다항식의 경우 다음과 같은 방법으로 다항식 시퀀스를 생성하십시오. 다항식 제외

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$

다음 항목과 하나의 추가 변수 x에서 새로운 다항식을 만드십시오.

${\displaystyle{\begin{정렬}())={}&, \kappa _ᆱ\,x+(6\kappa_{5}\kappa_{1}+15\kappa_{4}\kappa_{2}+10\kappa_{3}^{2})\,x^ᆲ+(15\kappa_{4}\kappa_{1}^{2}+60\kappa_{3}\kappa_{2}\kappa_{1}+15\kappa_{2}^{3})\,x^{3}\\&,{}(45\kappa_{2}^{2}\kappa_{1}^{2})\,x^ᆵ+(15\kappa_{2}\kappa_{1}^{4})\,x^ᆶ+(\kappa_{1}^{6})\,x^{6},\end{a}ligned}}$

패턴을 일반화하십시오. 패턴은 앞에서 언급한 칸막이의 블럭 수가 x의 지수라는 것이다. 각 계수는 적목의 다항식이다. 이것들은 에릭 템플 벨의 이름을 딴 벨 다항식이다.^{[citation needed]}

이 다항식 배열은 이항식이다. 사실, 다른 이항식의 순서는 존재하지 않는다. 이항식의 모든 다항식 순서는 공식적인 응고제의 순서에 의해 완전히 결정된다.^{[citation needed]}

자유 적분제

위의 모멘트-큐뮬러에서

${\displaystyle \operatorname {E}(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \\pi \}\cappa(X_{i:i\in B)}}}}}}$

공동 적혈제의 경우, 세트 {1, ..., n }의 모든 칸막이에 대해 하나의 합이 된다. 대신, 비 교차적 칸막이에 대해서만 합이 있다면, 이러한 공식들을 $solving{\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$에 대해$$ 해결함으로써, 위에서 처리된 기존의 적혈제가 아닌 자유 적혈제를 얻게 된다. 이 자유적 누적제는 롤랜드 스피처(Roland Speicher)에 의해 소개되었으며 자유 확률 이론의 중심 역할을 한다.^[17][18] 그 이론에서, 무작위 변수의 텐서 생산물 관점에서 정의되는 무작위 변수의 독립성을 고려하기보다는, 대신 알헤브라의 자유 생산물 관점에서 정의되는, 무작위 변수의 자유로운 독립성을 고려한다.^[18]

정규 분포의 2도보다 높은 정도의 보통 적혈구는 0이다. 위그너 반원 분포의 2도보다 높은 자유 적분은 0이다.^[18] 이것은 자유확률론에서 위그너 분포의 역할이 재래식 확률론에서 정상 분포의 역할과 유사하다는 하나의 존중이다.

참고 항목

• 위험시 진입성 값
• 멀티셋에서 누적 생성 함수
• 코니시-피셔 확장
• 엣지워스 확장
• 폴리케이
• 최소-최소-최소-최소-최소-편향 추정기(cumulative unbased important)
• 우르셀 함수
• 양자 화학에서 전자파 함수를 분석하기 위한 적분제의 응용으로서 총 위치는 텐서(tensor)를 확산시킨다.

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cumulant". MathWorld.
• 수학의 일부 단어의 최초에 알려진 용어에 대한 충분한 근거가 있다.