도비슈키의 공식

콤비네이터럴 수학에서 도비셰스키의^[1] 공식은 n번째 벨_n 번호 B(즉, n사이즈 집합의 파티션 수)와 동일하다고 기술한다.

B_{n}={1\over e}\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac{k^{n}}{k!}},

여기서 $e$ $e$ 은 $e$ 오일러의 번호를 나타낸다.이 공식은 1877년에 출판된 G. 도비스키의 이름을 따서 명명되었다.

확률론적 내용

확률론의 설정에서 도비제스키의 공식은 포아송 분포의 n번째 모멘트를 평균 1로 나타낸다.때때로 도비셰스키의 공식은 크기 n의 칸막이의 수가 그 분포의 n번째 순간과 같다고 언급된다.

환원식

도비셰스키 계열의 합계를 $B_{n}$ 하면 $B_{n}$ {\ $displaystyle$ n+ $o($ n){ $n}$ 가 정수라는 $B_{n}$ 정보를 고려하여 n + $n+o(n)$ $){\$ $displaystyle$ $n+o(n)}$ 개의 $n+o(n)$ 한정된 합으로 줄일 수 있다.정확히 $K>1$ 은 정수 $K>1$ > 1 ${\displaystyle K>1$ }을 $($ 를) 가지고 있다.

B_{n}=\left\lceil {1\over e}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac{k^{n}}}{k!}}}\right\rceil

제공된 ${\frac {K^{n}}{K!}}\leq 1$ ${\frac {K^{n}}{K!}}\leq 1$ ${\frac {K^{n}}{K!}}\leq 1$ ${\frac {K^{n}}{K!}}\leq 1$ ${\displaystyle {\frac {K^{n}}{K!$ $}}}\leq 1}($ $K>n$ $K>n$ > n ${\displaystyle K>n$ 을(를) 암시하지만, 이는 n $n+o(n)$ n + $n+o(n)$ ( $n+o(n)$ ) $n+o(n)$ {\ $displaystyle n+o(n$ )} $n+o(n)$ 의 $K$ $일부$ K{\ $displaystystyle$ K}에 의해 충족된다.실제로 $K>n$ > $K>n$ $K>n$ 이후 $K>n$ 한 사람이

{\Big (}{\frac {K+j}{K}}{\Big )}^{n}\leq {\Big (}{\frac {K+j}{K}}{\Big )}^{K}={\Big (}1+{\frac {j}{K}}{\Big )}^{K}\leq {\Big (}1+{\frac {j}{1}}{\Big )}{\Big (}1+{\frac {j}{2}}{\Big )}\dots {\Big (}1+{\frac {j}{K}}{\Big )}={\frac {1+j}{1}}{\frac {2+j}{2}{2}}}}\dots {\frac {K+j}{K}}={\frac {(K+j)!}{K!j!}}}.

그러므로 ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ( ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ + ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ) ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ( K ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ + j ) n ( ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ + ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ) ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ! ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ K ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ! ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ! ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ 1 ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ ! {\ $displaystyle {\frac$ {(K+j $)^{n}{{{$ n}{( $K+j)!$ $}}}\leq {\frac{K^{n}}{K!$ $}}{\frac{1}{j!$ $}}}\leq {\frac{1}{j!$ $j\geq 0$ ${\displaystyle j\geq$ 0 $}$ 에 $j\geq 0$ 대한 ${\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}\leq {\frac {K^{n}}{K!}}{\frac {1}{j!}}\leq {\frac {1}{j!}}$ 모든 j $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ k k $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ! $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ = $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ 0 $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ( $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ + j $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ) $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ( $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ + $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ) n ( K + j $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ) $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ ! ${\$ n}{ $k!$ $}}}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{{(K+j)!$ $}}}$ 시리즈 $\sum _{k\geq K}{\frac {k^{n}}{k!}}=\sum _{j\geq 0}{\frac {(K+j)^{n}}{(K+j)!}}$ } j $\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{j!}}=e$ $\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{j!}}=e$ $\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{j!}}=e$ ! $\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{j!}}=e$ = $\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{j!}}=e$ ${\displaystyle \sum _{j\geq 0}{\frac$ {1 $}{j!$ $}}}=e$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ < $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ - $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ k $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ = 0 $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ - $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ 을 암시하는 의미. $0<B_{n}-{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac {k^{n}}{k!}}<1$ 1 $<<B_{n}-{\frac{1}-{e}}\sum _{k=0}^{K-1}{\frac{k^{n}}}{k!$ $}}<1$ 감소된 공식을 확인하십시오.

일반화

도비셰스키의 공식은 $x=0$ = $x=0$ ${\displaystyle x=0$ 의 경우 다음과 같은 보다 일반적인 관계로 볼 수 있다.

{1 \over e}\sum _{k=x}^{\inflt }{\frac {k^{n}}{(k-x)!}}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}B_{k}x^{n-k}.

증명

하나의 증거는^[2] 벨 번호의 생성 함수를 위한 공식에 의존한다.

e^{e^{x}-1}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {B_{n}}{n!}}}x^{n}.

지수 분포에 대한 검정력 시리즈는

e^{e^{x}}=\sum _{k=0}^{\flac{e^{kx}}{k!}}}}=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {1}{k!}}}\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(kx)^{n}}{n!}}

그렇게

e^{e^{x}-1}={\frac {1}{1}{e}\sum _{k=0}^{\frac {1}{k!}}}\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(kx)^{n}}{n!}}

이 $x^{n}$ 시리즈에서 $x^{n}$ $x^{n}$ n ${\$ 의 계수는 $B_{n}/n!$ / n $B_{n}/n!$ ${\displaystyle B_{n}/n$ 이어야 하므로

B_{n}={\frac {1}{e}\sum _{k=0}^{\flac{k^{n}}{k!}}.

또 다른 형태의 증거는 로타에 의해 주어졌다.^[3]x와 n이 음이 아닌 정수인 경우 size-n을 size-x 세트로 매핑하는 일대일 함수의 수가 하강 요인임을 기억하십시오.

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)

size size-n set A에서 size-x set B로 함수를 두자.b ∈ B의 경우, ((b⁻¹) = {a a A : ((a) = b}을(를) 두십시오.그러면 {ƒ⁻¹(b) : b ∈ B}은 A의 분할이다.로타는 이 파티션을 ƒ 함수의 "커널"이라고 부른다.A에서 B 요인에 대한 모든 함수는

A의 멤버를 자신이 속한 커널의 요소에 매핑하는 하나의 함수
커널을 B로 매핑하는 다른 함수, 즉 반드시 일대일 함수.

이 두 요소 중 첫 번째 요소는 커널인 $파티션$ by에 의해 완전히 결정된다. $π$ 에서 B까지의 일대일 함수의 수는 (x)이며,_$π$ 여기서 π은 칸막이 $π$ 에 있는 부품의 수이다.따라서 size-n set A에서 size-x set B로 설정되는 함수의 총 수는 다음과 같다.

\sum _{\pi }(x)_{\pi }}

A의 모든 파티션 집합에서 실행되는 인덱스 $index$ 반면 A에서 B로 가는 함수의 수는 분명히 x이다ⁿ.그러므로, 우리는

x^{n}=\sum _{\pi }(x)_{\pi }}

로타는 선형대수를 사용하여 증거를 계속하지만 평균 1을 가진 포아송 분포 랜덤 변수 X를 도입하는 것은 계몽적이다.위의 방정식은 이 랜덤 변수의 n번째 모멘트가

E(X^{n})=\sum _{\pi }E((X)_{\pi }}

여기서 E는 기대치를 나타낸다.그러나 우리는 모든 수량 E(X)_k가 1과 같다는 것을 보여줄 것이다.그 뒤를 잇는다.

E(X^{n}=\sum _{\pi }1,

그리고 이것은 단지 A 세트의 파티션 수일 뿐이다.

수량 E(X)_k를 랜덤 변수 X의 k번째 요인 모멘트라고 한다.X가 평균 1의 포아송 분포 랜덤 변수인 경우 이 값이 모든 k에 대해 1과 같다는 것을 표시하려면 이 랜덤 변수가 $1/(ej!)$ 1 $1/(ej!)$ / $1/(ej!)$ ( e $1/(ej!)$ ) ${\displaystyle$ 1 $/(ej!)}$ 과 $j\geq 0$ 함께 각 정수 값 $j\geq 0$ value 0 ${\displaystystyle j\geq$ 0 $}$ 을 가정한다는 점을 기억하십시오 $1/(ej!)$ 따라서

E((X)_{k}}=\sum _{j=0}^{\inflt }{\frac {(j)_{k}}}{ej!}}={\frac {1}{e}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {j(j-1)\cdots (j-k+1)}{j(j-1)\cdots 1}}={\frac {1}{e}}\sum _{j=i}^{\infty }{\frac {1}{(j-i)!}}=1.

참고 및 참조

^ Dobiński, G. (1877). "Summirung der Reihe $\textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}}$ für m = 1, 2, 3, 4, 5, …". Grunert's Archiv (in German). 61: 333–336.
^ Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill (2006). "Theorem 11.3, Dobiński's formula". Foundations of Combinatorics with Applications (PDF). Dover. pp. 319–320. ISBN 0-486-44603-4.
^ Rota, Gian-Carlo (1964), "The number of partitions of a set" (PDF), American Mathematical Monthly, 71 (5): 498–504, doi:10.2307/2312585, JSTOR 2312585, MR 0161805.

[1] Dobiński, G. (1877). "Summirung der Reihe $\textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}}$ für m = 1, 2, 3, 4, 5, …". Grunert's Archiv (in German). 61: 333–336.

[2] Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill (2006). "Theorem 11.3, Dobiński's formula". Foundations of Combinatorics with Applications (PDF). Dover. pp. 319–320. ISBN 0-486-44603-4.

[3] Rota, Gian-Carlo (1964), "The number of partitions of a set" (PDF), American Mathematical Monthly, 71 (5): 498–504, doi:10.2307/2312585, JSTOR 2312585, MR 0161805.

[1]

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