포아송 한계 정리

확률론에서 희귀사건의 법칙이나 포아송 한계 정리에서는 포아송 분포를 특정 조건에서 이항 분포에 대한 근사치로 사용할 수 있다고 명시한다.^[1]이 정리는 시메온 데니스 포아송(1781–1840)의 이름을 따서 명명되었다.이 정리의 일반화는 르캠의 정리다.

정리

${\displaystyle p_{}}$ ${\$을$({\displaystyle }$를) [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$의 실제 숫자의 시퀀스로 하여$$ sequence ${\displaystyle {np}_{}}$ ${\$이 유한한 한계 ${\displaystystyle \lambda$}}에 수렴되도록$$ 한다$.$ 그 다음:

${\displaystyle \lim_{n\to \inflt }{n \선택 k}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{n-k}=e^{\fracta ^{\fractda ^{k}}}{k!}}}$

교정쇄

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&\simeq \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!$$}}}\왼쪽 \frac{\n}}{n}\오른쪽)$$^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}\}\n}\&=\lim _{n\to \n\flt }{n^{k}+O\왼쪽(n^{k-1}\오른쪽)$$}}{{k!}}{{n^{k}}}}}{n^{k}}}}}}}\좌측(1-{\frac {\fraca }{n}}\&=\lim _{n\flapt }{\fractda ^{k}}}}}{k!$$}}}\왼쪽(1-{\frac {\fracta$}{$n}\오른쪽)^{n-k}\end{$arged

이후

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\왼쪽(1-{\{\fracta {}{n}}\오른쪽)^{n}=e^{-\lambda }}}$

그리고

${\displaystyle \lim _{n\to \inflat }\왼쪽(1-{\fract {}{n}\오른쪽)^{-k}=1}$

이것은 떠난다.

${\displaystyle {n \선택 k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\frac ^{k}e^{-\filda }}}}{k!}}.}$

대체증거

스털링의 근사치를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\displaystyle {\p}{k^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}}{k}(1-p)^{n-k}\&\simeq {\frac {{\sqrt{2\pi n}}\frac\{n}\오른쪽)^{n}{{n}}{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left\frac {n-k}{e}\right)^{n-k}k!}}}{p^{n-k}\&={\n-krt{n}{n-k}}{\frac{n^{n-k}}{\frac{n^{n}e^{-k}}}{\\좌측(n-k\오른쪽)^{n-k}k!}}}{k}(1-p)^{n-k}.\end{정렬}}}$

$n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to \infit }$ 및$$ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle np=\lambda$ $\}:$

${\displaystyle {\n-k\i1}{n-k}(1-p)^{n-k}^{n-k}^{n-k}\\frac{n^{n^{n-k}^{n-k}}}}{n-k}}}}^{n-k}k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\왼쪽 \frac\frac{\n}}{n}\오른쪽)^{k}\left(1-{\frac {}{n}}\오른쪽)^{n-k}e^{-k}{n^{n-k}\왼쪽(1-{\frac {k}{n}\오른쪽)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\fraca ^{k}\좌측(1-{\frac {}{n}\우측)^{n-k}e^{-k}}}{\좌측(1-{\frac {k}{n}\우측)^{n-k}k!}}\\\\simeq {\fracta ^{k}\좌측(1-{\fracta }}{n}\우측)^{n-k}{n^{1-{{{\frac}{n}\우측)^{n}k!}}}.\end{aigned}}$

$as{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$→$∞{\displaystyle n\to \inflt }$, $({\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{x}{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x^{}}$ ${\$$^{n}\to$ e$^{-x}}$ 따라서$$:

${\displaystyle {\p}{k^{k}(1-p)^{n-k}^{n-k}\simeq {\fract}e^{k}e^{-\e^{-k}k!}}}\\&={\frac {\fracda ^{k}e^{-\probda }}}{k!}}}\end{정렬}}$

일반생성함수

또한 이항 분포의 통상적인 생성함수를 이용하여 정리를 증명할 수도 있다.

${\displaystyle G_{\operatorname {bin}}}(x;p,N)\equiv \_{k=0}^{N}\왼쪽[{\binom {n}{k}}}}{{}p^{{{}}}}}p^{{1-p}(오른쪽)={k}\Big [}큰 ]}^{N}}}$

이항 정리로$제한{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\{}}$ {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $N\rightarrow \infit }$ 제품을 일정하게 유지하면서 p N$$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle pN\equiv \lambda }$을(를) 취하면 알 수 있다.

${\displaystyle \lim_{N\오른쪽 화살표 \inflt}G_{\\operatorname {bin}}(x;p,N)=\lim_{N\n\n\lambda(x-1)}왼쪽[1+{\lambda(x-1)}{N}\오른쪽]^{N}=\lambda(x-1)}=\sum _{k=0}^{\nflac {\mathrm {e}^{-\lambda ^{k}}{k!}}}\오른쪽]x^{k}}$

포아송 분포에 대한 OGF입니다.(두 번째 평등은 지수함수의 정의로 인해 유지된다.)

참고 항목

• 드 모이브르-라플라스 정리
• 르캄의 정리

참조