확률생성함수

확률 이론에서 이산 랜덤 변수의 확률 생성 함수는 랜덤 변수의 확률 질량 함수의 파워 시리즈 표현(생성 함수)이다. 확률 생성 함수는 랜덤 변수 X의 확률 질량 함수에서 확률 Pr(X = i)의 순서에 대한 간결한 설명과 음수가 아닌 계수를 갖는 잘 개발된 동력 시리즈 이론을 이용할 수 있도록 하기 위해 종종 사용된다.

정의

일변량 케이스

X가 음이 아닌 정수 {0,1, ...}의 값을 갖는 이산 랜덤 변수라면 X의 확률 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E}(z^{X})=\sum _{x=0}^{\infit }p(x)z^{x}}}}$

여기서 p는 X의 확률 질량 함수다. 첨자 표기 G와_X p는_X 특정 랜덤 변수 X와 그 분포에 관련됨을 강조하기 위해 종종 사용된다. 동력 시리즈는 적어도 z ≤ 1로 모든 복잡한 숫자에 대해 절대적으로 수렴된다. 많은 예에서 수렴 반경이 더 크다.

다변량 케이스

X = (X₁,..., X )가_d d차원 비 음수 정수 격자 {0,1, ...}^d의 값을 갖는 이산 랜덤 변수라면 X의 확률 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

여기서 p는 X의 확률 질량 함수다. 파워 시리즈는 적어도 모든 복잡한 벡터 z = (z_1d, ..., z ) ∈ ∈ ∈에^d 대해 max{ z₁, ..., z_d } ≤ 1로 절대적으로 수렴한다.

특성.

파워 시리즈

확률 생성 함수는 음수가 아닌 계수를 가진 전력 직렬의 모든 규칙을 준수한다. 특히 G(1⁻) = 1이며, 여기서⁻ G(1) = 아래로부터의_z→1 림G(z)는 확률의 합이 1이어야 하기 때문이다. 따라서 확률 생성 함수의 수렴 반경은 음수가 아닌 계수를 가진 전력 시리즈에 대한 아벨의 정리에 의해 적어도 1이어야 한다.

확률 및 기대치

X와 관련된 다양한 기본 수량을 도출할 수 있는 속성은 다음과 같다.

1. X의 확률 질량 함수는 G의 파생상품을 취함으로써 회복된다.

   ${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr}(X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$

2. 무작위 변수 X와 Y가 확률 생성함수가 같을 경우 $G{\displaystyle {}_{}{X}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\${{{X}=G_${{{}}}$에 따른다.$Y$ 그 $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$X = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}${\$displaystyle p_{X}=p_{Y$ 즉 X와 Y가 동일한 확률 생성 함수를 가지고 있으면 분포가 동일하다는 것이다.
3. 확률밀도함수의 정상화는 다음과 같이 생성함수의 관점에서 표현할 수 있다.

   ${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\inflt }p(i)=1.}$

   $X$ ${\displaystyle X}$에 대한 기대치는 다음과 같다.

   ${\displaystyle \operatorname {E}[X]=G'(1^{-}).}$

   보다 일반적으로, X의 Kactorial^th 모멘트 $E{\displaystyle \mathrm{}}$⁡${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \cdots }$( ${\displaystyle X}$- k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle )}$ ( X - ${\displaystyle k}$ + 1) $\displaystyle \operatorname {E} (X(X-1)\cdots (X-k+1$)}은(X-k+1$)}$에 의해 주어진다.

   ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(X-k)!}}\오른쪽]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$

   따라서 X의 분산은 다음과 같이 주어진다.

   ${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=G'(1^{-})+G'(1^{-})-\좌측[G'(1^{-}\오른쪽]^{2}.}$

   마지막으로 X의 크롤^th 모멘트는 에 의해 주어진다.

   ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\왼쪽(z{\frac {\partial }{\partial z}}\오른쪽)^{k}G(z){\Big }_{z=1^{-}}}$

4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})$$=M_{X}(t)}$ 여기서$$ ${\displaystyle X_{}}$는 ${\displaystyle \mathrm{랜덤}}$ 변수, $G{\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle G_{X}(t)$는 확률 생성 함수(X)이고$$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$는 모멘트 생성 함수(X)이다$$.

독립 랜덤 변수의 함수

확률 생성 함수는 특히 독립 랜덤 변수의 함수를 처리하는 데 유용하다. 예를 들면 다음과 같다.

• X₁, X₂, ...일 경우 X는_N 독립적(동일하게 분포된 것은 아님) 변수의 연속이며,

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{{N}a_{i}X_{i}}}}$

여기서 a는_i 상수인 경우 확률 생성 함수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle G_{S_{{N}=\operatorname {E}(z^{S_{N})=\operatorname {E}\left(z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}}}\right)=G_{X_{1}:{1}(z^{a_{1})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}}}).}$

예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{{N}X_{i}}}$

확률 생성 함수 G_SN(z)는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{X_{1}(z)G_{X_{2}}(z)\cdots G_{X_{N}}}(z)}$

또한 두 개의 독립 랜덤 변수 S = X₁ - X의₂ 차이에 대한 확률 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z).}$

• N은_N 또한 확률 생성 함수 G와 함께 음이 아닌 정수에 대한 값을 갖는 독립적이고 이산적인 랜덤 변수라고 가정해 보자. X₁, X₂, ..., X가_N 독립적이고 공통 확률 생성 함수 G와_X 동일한 분포인 경우,

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$

이는 총체적 기대의 법칙을 이용하여 다음과 같이 볼 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{정렬}}}$

이 마지막 사실은 Galton-Watson 프로세스와 복합 Poisson 프로세스의 연구에 유용하다.

• 다시non-negative의 정수에 N은 또한 독립적인 이산 확률 변수를 값, 개연성 나는 갈Pr({\displaystyle f_{나는}=\Pr\{N=i\}}. 만약 X1, X2,..., XN지만, 똑같이 분배되지는 않지만 독립적이다 확률 변수, G기능 GN과 확률 밀도 f를 생성한다고 가정해 보세요 X나는${\displaystyle G_{X_{i}}$은(는) X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 확률 생성 함수를 나타내며$,$ 그 다음

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{i\geq 1}f_{i}\prod _{k=1}^{{X_}}}(z)}$

동일하게 분포된_i X의 경우 이는 앞에서 설명한 ID로 단순화한다. 일반적인 경우는 함수 발생을 통해 S의_N 분해물을 얻는 데 유용할 때도 있다.

예

• 거의 확실히 일정한 랜덤 변수, 즉 Pr(X = c) = 1인 변수의 확률 생성 함수는 다음과 같다.

$[\displaystyle G(z)=z^{c}.}$

• 이항 랜덤 변수의 확률 생성 함수, n개의 시행에서 성공 횟수, 각 시행에서 성공 확률 p는 다음과 같다.

${\displaystyle G(z)=\좌측[(1-p)+pz\우측]^{n}.}$

이것은 매개변수 p를 갖는 베르누이 랜덤 변수의 확률 생성 함수의 n-폴드 제품이라는 점에 유의한다.

그래서 페어 코인의 확률 생성 함수는,

$[\displaystyle G(z)=1/2+z/2]}$

• {0,1,2 ...}에서 음의 이항 랜덤 변수의 확률 생성 함수는 각 시행 p에서 성공 확률을 가진 r번째 성공까지의 실패 횟수는 다음과 같다.

${\displaystyle G(z)=\왼쪽({\frac {p}{1-(1-p)z}\오른쪽)^{r}}$

(< - ${\$ z $<{\frac {1}{1-p}})$에 대한 수렴.

이것은 {0,1,2,...}에서 파라미터 1 - p를 갖는 기하학적 랜덤 변수의 확률 생성 함수의 r-폴드 제품이라는 점에 유의하십시오.

• 속도 매개변수 λ을 갖는 포아송 랜덤 변수의 확률 생성 함수는

${\displaystyle G(z)=e^{\lambda(z-1)}$

관련개념

확률 생성 함수는 시퀀스의 생성 함수의 예: 공식 전력 시리즈를 참조하십시오. 확률 질량 함수의 z-변환과 같으며, 때로는 불리기도 한다.

랜덤 변수의 다른 생성 함수에는 모멘트 생성 함수, 특성 함수, 누적 생성 함수가 포함된다. 확률 생성함수는 $또한{\displaystyle \mathrm{}}$ 요인 모멘트 생성함수와 동일하며, E ${\displaystyle }$[ z ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$로서 연속형 및 기타 랜덤 변수에 대해서도 고려할 수 있다$$.

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메모들

참조

• N.L. 존슨; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate 이산 분포 (제2판) 와일리 ISBN0-471-54897-9 (제1장)B9)