클라인 그룹

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 클라인 집단은 PSL(2, C)의 이산형 부분군이다. PSL(2, C) 그룹 2 x 2 modulo 결정요인 2 x 2 module의 중심에는 리만 구의 정합성 변환 및 3차원 쌍곡선 공간 H의³ 방향성 보존 등각도 및 R에서³ 자체로 개방 단위 볼 B의³ 방향 보존성 정합성 지도가 있다. 따라서 클라인 집단은 이러한 공간 중 하나에 작용하는 분리된 부분군으로 간주될 수 있다.

역사

일반 클라인 집단의 이론은 펠릭스 클라인(1883년)과 앙리 푸앵카레(1883년)에 의해 창시되었는데, 이들은 펠릭스 클라인의 이름을 따서 이름을 지었다. 쇼트키 그룹의 특별한 사례는 쇼트키에 의해 몇 년 전인 1877년에 연구되었다.

정의들

이 섹션은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적일 수 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2019년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

공의 경계를^[which?] 고려하여 클라인 집단은 리만 구에서 뫼비우스가 변형하여 작용하는 복잡한 투영 선형 집단인 PGL(2,C)의 하위 그룹 as으로도 정의할 수 있다. 고전적으로, 클라인 집단은 리만 영역의 비어 있지 않은 열린 부분집합에서 적절하게 불연속적으로 행동하도록 요구되었지만, 현대적인 사용은 어떤 분리된 부분집합도 허용한다.

γ이 쌍곡 3매니폴드의 기본$$ 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}에 이형화되면, 지수 공간 H³//는 다지관의 클라인 모델이 된다. 많은 저자들이 클라인 모델과 클라인 그룹이라는 용어를 서로 바꾸어 사용하며, 한쪽이 다른 쪽을 나타내도록 한다.

불분명한 점은^{3[clarification needed]} B의 지점이 유한한 안정기와 그룹 group 아래의 이산 궤도를 가지고 있음을 의미한다. 그러나 점 p의 궤도 γp는 일반적으로 닫힌 공 $B$의${\$의 경계에 축적된다$.$

닫힌 공의 경계는 무한대로 구(區)라고 하며${\displaystyle {,\mathrm{}}_{}^{}}$ S$$∞ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ {\$displaystyle$ S_${\inforty$}^{2}}로 표기된다$.$ $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에서 γp의 축적점 집합은 limit의 한계 집합으로 불리며$$, 보통 ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ($$\){\$displaystyle \Lambda (\Gamma )}$로 표기된다$.$ 보충$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ )${\displaystyle \Oomega (\Gamma )=S_{\inflt }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$는 불연속성의 영역 또는 일반 집합 또는 정규 집합이라고 불린다. Ahlfors의 정밀도 정리는 만약 그룹이 미세하게 생성된다면 ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$) / ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega (\Gamma )/\Gamma }}$은 유한형식의 Riemann 표면이라는 것을 암시한다.

등각 구조를 가진 유닛볼 B는³ 쌍곡 3공간의 푸앵카레 모델이다. 우리가 미터법으로 생각할 때, 미터법으로

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\좌측 dx\우측 ^{2}}:{\좌측(1- x ^{2}\우측)^{2}}:$

그것은 3차원 쌍곡선 공간³ H의 모델이다. B의³ 순응적 자가 지도 세트는 이 식별에 따라 H의³ 등각도 세트(즉, 거리 보존 지도)가 된다. 그러한 지도는 뫼비우스 변환인 $S{\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$∞ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의$$순응적 자기맵으로 제한된다. 이형성들이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mob}(S_{\infit }^{2})\cong \operatorname {Conf}(B^{3})\cong \operatorname {Isom}(\mathbf {H} ^{3}).}$

방향 유지 변환으로 구성된 이 그룹의 하위 그룹은 모두 투영 매트릭스 그룹: PSL(2,C)에 대해 복잡한 투영 라인¹ P(C)로 단위 구를 통상적으로 식별하여 이형화된다.

변형

클라인 집단의 정의에는 몇 가지 변화가 있다: 때로는 클라인 집단이 PSL(2, C)의 하위집단이 될 수 있도록 허용된다. 즉, 복잡한 결합에 의해 확장된 PSL(2, C)의 하위집단이 될 수 있다. 즉, 방향 반전 요소를 가지기 위해, 때로는 정밀하게 생성되는 것으로 가정되며, 때로는 프로펠러 작용을 해야 하는 경우도 있다.리만 구의 비어 있지 않은 부분집합에서 불연속적으로.

종류들

• 클라인 집단은 그 불연속 영역이 그룹 작용에 따른 유한한 수의 구성요소를 가지고 있고, 안정기에 의한 각 구성요소의 몫은 미세하게 많은 점이 제거된 콤팩트한 리만 표면이며, 커버가 미세하게 많은 점에서 래밍되는 경우 유한한 유형이라고 한다.
• 클라인 집단은 한정된 수의 발전기를 가진다면 정밀하게 생성된다고 불린다. 알프스 마무리 정리에는 그런 집단은 유한한 유형이라고 되어 있다.
• 클라인 그룹 γ은 H³/γ가 유한 부피를 가진 경우 유한 부피를 가진다. 유한한 부피의 모든 클라인 집단은 정밀하게 생성된다.
• 클라인 집단은 다면체(쌍곡선 3-공간에서)가 아주 많은 기초 다면체라면 기하학적으로 유한하다고 불린다. Ahlfors는 한계 집합이 리만 구 전체가 아니라면 측정치 0을 가지고 있다는 것을 보여주었다.
• 클라인 그룹 Ⅱ는 quaternion 대수 A의 순서의 그룹 노르말 1 원소와 상응할 수 있다면 산술이라고 한다. 산술 클라인 그룹들은 유한한 공량을 가지고 있다.
• 클라인 그룹 γ은 H³/γ이 콤팩트하거나 동등하게 SL(2, C)/γ가 콤팩트하면 cocompact라고 불린다. Cocompact Kleinian 그룹은 유한한 공동 볼륨을 가지고 있다.
• 클라인 집단은 미세하게 생성되고 쌍곡 다지관이 경계가 있는 콤팩트 다지관의 내부와 동형체라면 위상학적으로 길들이기라고 불린다.
• 클라인 집단은 끝이 기하학적으로 유한하거나 단순히 퇴보하는 경우 기하학적으로 길들이기라고 불린다(Thurston 1980).
• 클라인 집단은 한계 집합이 리만 구 전체일 경우 1형, 그렇지 않을 경우 2형이라고 한다.

예

비안치족

비안치 그룹은 PSL(2, O_d) 형식의 클라인 그룹이며, 여기서 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 d 양방정수용 가상$$ 2차장 $Q{\displaystyle \mathbb{}(\sqrt{}}$- $){\dplaystyle \mathb{Q}({\sqrt${-$d})$의 정수 링이다$$.

기본 및 축소 가능한 클라인 그룹

클라인 집단은 한계 집합이 유한할 경우, 이 경우 한계 집합에 0, 1 또는 2개의 포인트가 있으면 초등이라고 부른다. 초등 클라인 그룹의 예로는 유한 클라인 그룹(빈 한계 설정)과 무한 순환 클라인 그룹이 있다.

클라인 집단은 모든 원소가 리만 구에 공통의 고정점을 가지고 있다면 환원 가능하다고 불린다. 환원 가능한 클라인 그룹들은 초급이지만, 일부 초급 유한 클라인 그룹들은 환원할 수 없다.

후치안 그룹

임의의 푸치안 그룹(PSL(2, R)의 이산 하위 그룹)은 클라인 그룹이며, 반대로 실제 라인을 보존하는 모든 클라인 그룹(리만 구에 대한 작용에서)은 푸치안 그룹이다. 보다 일반적으로, 리만 구에 원이나 직선을 보존하는 모든 클라인 집단은 푸치안 집단에 결합된다.

코에베 그룹

• 클라인 그룹 G의 인자는 다음과 같은 속성의 영향을 받는 부분군 H 최대값이다.
  • H는 단순하게 연결된 불변성분 D를 가지고 있다.
  • 등정편향에 의한 H 원소 h의 결합은 h가 있는 경우에만 포물선 또는 타원형이다.
  • D의 경계점을 고정하는 G의 포물선 요소는 H에 있다.
• 클라인 집단은 모든 요인이 초급이거나 후치안이라면 코에베 집단이라고 불린다.

준후치안군

요르단 곡선을 보존하는 클라인 집단을 준후치안 집단이라고 한다. 요르단 곡선이 원이나 직선일 때 이것들은 순응적 변형 하에서 푸치안 그룹과 결합될 뿐이다. 정밀하게 생성된 준 후치안 그룹은 준적합성 변형 하에서 후치안 그룹과 결합된다. 한계치 집합은 불변 조던 곡선에 포함되어 있으며, 조던 곡선과 같을 경우 조단은 제1형이고, 그렇지 않을 경우 제2형이라고 한다.

쇼트키 그룹

C를_i 분리형 폐쇄형 디스크의 유한 집합의 경계 원이 되게 한다. 각 원의 역전에 의해 생성되는 집단은 칸토어 세트로 제한되어 있으며, 지수 H³/G는 공의 기저 공간을 가진 거울 오비폴드이다. 그것은 핸들바디에 의해 이중으로 덮여있다; 해당 지수 2 하위 그룹은 쇼트키 그룹이라고 불리는 클라인 그룹이다.

결정체군

T를 쌍곡선 3공간의 주기적인 다듬기가 되게 하라. 테셀레이션의 대칭 그룹은 클라인 그룹이다.

쌍곡선 3-매니폴드의 기본 그룹

어떤 지향적인 쌍곡선 3-매니폴드의 기본 그룹은 클라인 그룹이다. 그림 8 매듭의 보완이나 세이퍼트-베버 공간과 같은 많은 예가 있다. 반대로 클라인 그룹이 비경쟁적 비틀림 요소를 가지고 있지 않다면 클라인 그룹은 쌍곡선 3-매니폴드의 기본 그룹이다.

퇴보 클라인 그룹

클라인 집단은 초등 집단이 아니고 그 한계 집합이 단순하게 연결되면 퇴보집단으로 불린다. 그러한 집단은 정규 점의 두 요소 중 하나가 빈 집합으로 수축되도록 적절한 준 푸치안 집단의 한도를 취함으로써 구성될 수 있다. 이러한 집단을 단독 퇴보라고 한다. 정규 집합의 두 성분이 모두 빈 집합으로 수축하면 한계 집합은 공간 채우기 곡선이 되고 집단은 이중 퇴행이라고 한다. 타락한 클라인 집단의 존재는 베르스(1970)에 의해 처음으로 간접적으로 나타났고, 최초의 명시적인 예는 요르겐센에 의해 발견되었다. 캐논 & 서스턴(2007)은 사이비 아노소프 지도와 연관된 이중으로 퇴보한 집단과 공간을 채우는 곡선의 예를 들었다.

참고 항목

• 알프스는 추측을 측정한다.
• 클라인 집단의 밀도 정리
• 엔딩 라미네이션 정리
• 타만성 정리(마덴의 추측)

참조

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외부 링크

• (Fricke & Klein 1897, 페이지 418)의 준 후치안 그룹의 한계 집합 그림.
• 클라인 그룹의 한계 집합 그림(Fricke & Klein 1897, 페이지 440). 이것은 한계치 세트의 첫 사진 중 하나였다. 동일한 제한 집합의 컴퓨터 도면
• 클라인 그룹 제한 집합의 애니메이션
• McMullen이 Kleinian 그룹과 관련된 이미지
• Weisstein, Eric W. "Kleinian Group". MathWorld.