해밍 바운드

수학과 컴퓨터 과학에서, 코딩 이론 분야에서, 해밍 바운드는 임의의 블록 코드의 매개변수에 대한 한계로, 해밍 미터법에서 가능한 모든 단어의 공간으로의 패킹 볼의 측면에서 해석으로부터 바인딩된 볼륨 또는 스피어 패킹 바운드로도 알려져 있다. 그것은 어떤 오류 수정 코드가 그것의 코드 단어가 포함된 공간을 활용할 수 있는 효율성에 중요한 한계를 준다. 해밍 바운드에 도달하는 코드는 완벽한 코드라고 한다.

오류 수정 코드의 배경

원본 메시지와 인코딩된 버전은 모두 q자로 구성되어 있다. 각각의 코드 워드는 n개의 문자를 포함한다. 원본 메시지(길이 m)는 n자보다 짧다. 이 메시지는 인코딩 알고리즘에 의해 n글자 코드 워드로 변환되어 시끄러운 채널을 통해 전송되고, 마침내 수신기에 의해 해독된다. 디코딩 프로세스는 단순히 단어로 언급되는 왜곡된 코드 워드를 n글자가 받은 문자열을 "가장 필요한" 유효한 코드 워드로 해석한다.

수학적으로 q 길이 m의 가능한 메시지가 정확히 존재하며^m, 각각의 메시지는 길이 m의 벡터로 간주될 수 있다. 인코딩 방식은 m-차원 벡터를 n-차원 벡터로 변환한다. 정확한 q의^m 유효한 코드 워드는 가능하지만, qⁿ 워드 중 어떤 것도 수신될 수 있다. 왜냐하면 시끄러운 채널이 코드 워드를 전송할 때 n글자 중 하나 이상을 왜곡할 수 있기 때문이다.

바운트 명세서

예비 정의

알파벳 집합 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 요소를$$ 가진 기호 집합이다$$. 알파벳$$ 집합 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$의 $길이{\displaystyle }$ n${\$$displaystyle$ {\mathcal ${\mathcal {{A}_{q}^{$$n$$\}\}\}\}\}\}\}\}.$ (이 문자열 집합에는 ${\displaystyle q^{}}${\$displaystystyle q^{$${\displaystyle {}_{}^{}}$$}$ 고유$$ 문자열이 있다.) 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$의 $q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $q$$}$ -ary$$ 블록 코드는 $A$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$${q}^{n$$\}\}\}\}$의 문자열의 하위 집합이며, 여기서 알파벳 $집합{\displaystyle }$ ${\displaystyle A_{}}$ q$$${\displaystystyle q}$ 요소를$$ 갖는 임의의 알파벳 집합이다$$. (The choice of alphabet set ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$ makes no difference to the result, provided the alphabet is of size ${\displaystyle q}$; for example, any block code defined using the alphabet ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}=\{1,2,3\}}$ can be converted to one using the 알파벳 $B{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$= 간단한 대체 암호로${\displaystyle }${ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ C${\displaystyle }$} ${\displaystyle${\$mathcal{B}_{3}=\{A,B,C\}}}}$을(를) 표시하거나 그 반대의 경우도 마찬가지다. E.G. 길이 ${\displaystyle 2}$의 블록 코드의 경우 코드워드 1 $2{\displaystyle }$ ${\$ 및 ${\displaystyle 2}$ 2 {\$displaystyle{\2}}:{\text}}}}}$을(를) ${\displaystyle 코드워드}$ A ${\$}로 변환할 수 있다$$$.$$A}{\text{$$B}}$과($)$ B {\$displaystyle$ {\$text}$$B}}{\text{$$B}}$과(와) 그 반대. 그러한 대체 암호는 둘 이상의 것이 가능하지만, 그 차이는 바운드와 그 증거와는 무관하다.)

바운드 정의

Aq(n, d){\displaystyle)A_{q}(n,d)}길이 n{n\displaystyle}및 최소Hamming 거리 d의 블록 코오드의 요소(반드시q n을에 긍정적인 사이에{\displaystyle d} q{\displaystyle q}-ary 블록 코드 C{\displaystyle=C}의 최대 가능한 규모, 1를 나타내자. {)$디스플레이$ 스타일 $q^{n}>1$} ).

그렇다면 해밍 바운드는 다음과 같다.

${\displaystyle \A_{q}(n,d)\leq {q^{n}{\sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k}}(q-1)^{k}}}}}}}}}}}}}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle t=\좌측\l바닥 {\frac {d-1}{2}}\우측\표시장치 .}$

증명

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 정의에서 기껏해야 다음과 같은 경우$$

${\displaystyle t=\좌측\l바닥 {\frac {1}{1}{2}}(d-1)\우측\표시장치 }$

코드 워드의 전송 중에 오류가 발생하면 최소 거리 디코딩이 올바르게 디코딩된다(즉, 수신된 워드를 전송된 암호 워드로 디코딩). 따라서 이 $코드$는 t ${\displaystyle t}$ 오류를$$ 수정할 수 있다고 한다.

각 코드 워드 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle$ c$\in C}$에 대해$,$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 주위에 고정 반지름 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 볼을 고려하십시오$.$ 이 공의 모든 쌍(햄밍 스피어)은 $t{\displaystyle }$ ${\displaysty t}$ - 오류 수정 속성에$$ 의해 교차되지 않는다. $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) 각 공의 단어 수(즉, 공의 볼륨)로$$ 한다. 그러한 공 안에 있는 단어는 코드워드인 공의 중심에서 대부분의 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ 구성요소를$$ 벗어날 수 있다. 그런 다음 코드 워드의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$${\displaystyle \}}$ 성분$$ 중 $최대$ ${\displaystyle$ t$}$을(를$)$ 선택하여 가능한$$ ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 값$($recall, 코드는${\displaystyle }$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -ary$$: $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$)으로 값을 취한다.$l{A}_{q}^{n}}}.$ 그러므로,

${\displaystyle m={\displaystyle m={\cHB}\sum _{k=0}^{t}{\binom {n}}{k-1)^{k}\end{nd}}}.}$

${\displaystyle q_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle d}$ )${\displaystyle A_{q}(n,d)}$은(는$)$ C {\$displaystyle C$에서 총 코드 워드의 수($)$이므로 t {\$displaysty$ t$}$의 정의에 따르면 두 개의 볼이 공통어를 가지지 않는 가장 많은 수의 볼이 있다$.$ 이들 공에 있는 단어들의 조합을 코드 워드를 중심으로 취하면, 각각 정확히 한 번씩 계산된 단어 집합이 나타나는데, 이는 ${\displaystyle {Aq}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\\$$mathcal$${A$$}_$${$q}^{n}}}}의 부분집합이다.$$ (${\displaystyle 여기}$서 ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$=$$ = $}}{n}}}}}}}}:{n$$}).$

${\displaystyle A_{q}(n,d)\times m=A_{q}(n,d)\time {\begin{matrix}\sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k-1)^{k}}\end{matrix}\leq^{n}.}$

시기:

${\displaystyle A_{q}(n,d)\leq {q^{n}{\begin{matrix}\sum _{k=0}^{t}{\binom {n}{k-1}(q-1)^{k}\end{matrix}}}}}.}$

커버 반지름 및 패킹 반지름

주요 기사: 델론 세트

For an ${\displaystyle A_{q}(n,d)}$ code C (a subset of ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}^{n}}$), the covering radius of C is the smallest value of r such that every element of ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}^{n}}$ is contained in at least one ball of radius r centered at each C의 암호어 C의 포장 반지름은 C의 각 코드 워드를 중심으로 반경 s의 볼 세트가 상호 분리될 수 있는 s의 가장 큰 값이다.

해밍 바운드의 증거에서 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$( d${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \rfloor }$ ${\$ t$\,=\,\lfloor$ {\$frac{1}{$1}{$1}:{$2}}($d-1)\$right\$rfloor$}}에 대해 다음과 같은 내용을 확인할 수 있다.

s ≤ t와 t ≤ r.

따라서 s ≤ r과 만약 평등이 유지된다면 s = r = t. 평등의 경우는 해밍의 구속이 달성되는 것을 의미한다.

퍼펙트 코드

해밍 바운드에 도달하는 코드를 퍼펙트 코드라고 한다. 예로는 암호어가 하나만 있는 코드와 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 전체인 코드가 있다$.$ 또 다른 예는 반복 코드에 의해 주어지는데, 여기서 메시지의 각 기호가 q = 2인 암호어를 얻기 위해 홀수 고정된 횟수를 반복한다. 이 모든 예는 종종 있다. '완벽한 코드'라고 불렸지 1973년, 프라임파워 알파벳을 통한 어떤 비독점적인 완벽한 코드도 해밍 코드나 골라이 코드의 매개변수를 가지고 있다는 것이 증명되었다.^[1]

완벽한 코드는 암호어를 중심으로 한 해밍 반지름 t의 볼이 공간을 정확히 채우는 것으로 해석될 수 있다(t는 커버 반지름 = 패킹 반지름). 준완벽 코드는 암호어를 중심으로 한 해밍 반경 t의 볼이 분리되고 반경 t+1의 볼이 공간을 덮는 코드로, 일부 겹칠 가능성이 있다.^[2] 이렇게 말하는 또 다른 방법은 코드의 커버 반경이 포장 반지름보다 한 단계 크면 코드는 준완벽하다는 것이다.^[3]

참고 항목

• 게리머 바운드
• 싱글톤 바운드
• 길버트-바르샤모프 바인딩
• 플롯킨 바운드
• 존슨 바운드
• 비율분산 이론

메모들

참조

• Raymond Hill (1988). A First Course In Coding Theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-853803-0.
• F.J. MacWilliams; N.J.A. Sloane (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland. ISBN 0-444-85193-3.
• Vera Pless (1982). Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-08684-3.
• Roman, Steven (1992), Coding and Information Theory, GTM, vol. 134, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97812-7
• J.H. van Lint (1992). Introduction to Coding Theory. GTM. Vol. 86 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54894-7.
• J.H. van Lint (1975). "A survey of perfect codes". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 5 (2): 199–224. doi:10.1216/RMJ-1975-5-2-199.
• P. J. Cameron; J. A. Thas; S. E. Payne (1976). "Polarities of generalized hexagons and perfect codes". 5: 525–528. doi:10.1007/BF00150782. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)