사면체 패킹

기하학에서 사면체 패킹은 3차원 공간 전체에 동일한 정규 사면체를 배열하여 가능한 최대 공간의 분수를 채우는 문제다.

현재 일반 사면체의 최적 포장 분율에서 달성한 최고 하한치는 85.63%^[1]이다. 테트라헤드라는 공간을 타일화하지 않으며,^[2] 100% 이하의 상한(명칭, 1 - (2.6...)·10⁻²⁵)이 보고되었다.^[3]

역사적 결과

아리스토텔레스는 테트라헤드라가 공간을 완전히 채울 수 있다고 주장했다.^{[4] [5]}

2006년, Conway와 Torquato는 (반복 단위당 일반적으로 방향이 다른 여러 입자를 가진) 4면체 패킹을 구성함으로써 약 72%의 패킹 비율을 얻을 수 있다는 것을 보여주었고, 따라서 최상의 4면체 패킹은 격자 패킹이 될 수 없다는 것을 보여주었다. 각 입자가 공통적인 방향을 갖도록 한다.^[6] 이러한 포장 구조는 호일만이 획득한 최적의 브라바이스-라티스-패킹 분율 36.73%를 거의 두 배로 늘렸다.^[7] 2007년과 2010년에 차이킨과 동료들은 실험적으로 사면체 모양의 주사위가 75%에서 76%^[8] 사이의 포장 분율까지 유한한 용기에 임의로 포장할 수 있다는 것을 보여주었다. 2008년 첸은 구보다 더 촘촘하게 포장된 단단하고 규칙적인 사면체 포장을 최초로 제안해 77.86%^[9][10]의 포장 비율을 수치로 입증했다. 2009년 토르콰토와 지아오가 컴퓨터 알고리즘을 사용하여 첸의 구조를 78.2021%^[11]의 패킹 비율로 압축한 것에 의해 한층 더 개선되었다.

2009년 중반 하지-아크바리 외 연구진은 패킹 밀도가 50% 미만일 때 하드 4면체의 평형 액체가 자연적으로 도십각형 정수로 변환되어 83.24%로 압축될 수 있는 초기 무작위 시스템의 MC 시뮬레이션을 이용하였다. 그들은 또한 78%가 넘는 밀도에서 유리처럼 지저분하고 질서 없는 포장도 보고했다. 82-테트라헤드론 단위 셀을 가진 쿼시크리스탈에 근접한 주기적인 경우, 그들은 85.03%^[12]의 높은 패킹 밀도를 얻었다.

2009년 말 Kallus, Elser, Graval에 의해 포장 비율이 85.47%인 새롭고 훨씬 단순한 포장 제품군이 발견되었다.^[13] 이러한 패킹은 2009년 말 토르콰토와 자오가 85.55%^[14]의 패킹 비율로, 첸, 엥겔, 글로처 등이 2010년 초 패킹 비율 85.63%^[1]로 획득한 약간 개선된 패킹의 기초가 되기도 했다. Chen, Engel, Glotzer의 결과는 현재 단단하고 규칙적인 4면체 포장의 가장 밀도가 높은 것으로 알려져 있다. 놀랍게도, 퀘이크리스탈 근사치^[12] 팩은 테트라헤드라가 약간 둥글게 되었을 때 삼각형 비피라미드의 이 이중 격자보다 밀도가 더 높아져, 82-테트라헤드론 준사결정 셀은 현재까지 동일한 입자의 가장 밀도가 높은 패킹을 위한 가장 큰 단위 셀이 된다.^[15]

기타 포장 문제와의 관계

4면체 포장에 대해 알려진 가장 초기 하한은 구보다 적었기 때문에, 일반적인 4면체 포장에 대한 최적 밀도가 다른 볼록체보다 작다는 울람의 추정에 대한 반증일 수 있다는 의견이 제시되었다. 그러나 최근 결과를 보면 그렇지 않다는 것을 알 수 있었다.

참고 항목

• 패킹문제
• 디스페노이드 사면 벌집 - 3-공간에서 불규칙 사면체의 등면 패킹.
• 삼면체 잘린 사면체 벌집은 세포 변환이며, 일반 사면체를 기반으로 한다.

참조

외부 링크

• 4면체 포장 및 NYTimes의 완벽한 핏에 대한 마무리
• 효율적인 형태, 이코노미스트
• 피라미드는 포장하기에 가장 좋은 모양이야, 새로운 과학자