파푸스 체인

기하학에서 파푸스 사슬은 AD 3세기 알렉산드리아의 파푸스가 조사한 두 개의 접선 원 사이의 원 고리다.

건설

아르벨로는 A 지점에 접하고 C가_U C로_V 둘러싸인 두 개의 원, C와_U C에_V 의해 정의된다. 이 두 원의 반지름을 각각 r과_U r로_V 표시하고 각각의 중심점을 U와 V로 한다. 파푸스 체인은 음영 회색의 영역에 있는 원들로 구성되는데, 이 원은 외부적으로_U C(내측 원)에 접하고 내부적으로는 C_V(외측 원)에 접한다. 파푸스 체인의 n^th 원 반지름, 직경 및 중심점을 각각_n r, d_n, P로_n 표시하도록 한다.

특성.

원의 중심

타원체

파푸스 체인에 있는 원의 모든 중심은 다음과 같은 이유로 공통 타원 위에 위치한다. 파푸스 사슬의 n^th 원으로부터 아르벨로스 원의 두 중심 U와 V까지의 거리의 합은 상수와 같다.

${\displaystyle {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U}}}}}}{{n}+{\mathbf {P} _{n}\mathbf {V}}}}}}}=\왼쪽(r_{{})U}+r_{n}\오른쪽)+\왼쪽(r_{V}-r_{n}\right)=r_{{{{n}\right}U}+r_{V}}$

따라서 이 타원의 초점은 아르벨로를 정의하는 두 원의 중심인 U와 V이다. 이 점들은 각각 선 세그먼트 AB와 AC의 중간점에 해당한다.

좌표

r = AC/AB인 경우 체인에서 n번째 원의 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]~{n^{n^{n-r(1-r)}{n^{2}+r}\rig)}}}}}$

동그라미 반지

r = AC/AB인 경우 체인에 있는 n번째 원의 반지름은 다음과 같다.

${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}}$

원 반전

기저 직경 ACB 위의 n^th 원 중심 높이 h는_n n 곱하기 d와_n 같다.^[1] 이는 접선점 A를 중심으로 한 원 안에서 반전함으로써 나타날 수 있다. 반전 원은 n 원을^th 수직으로 교차시켜 n 원이^th 그 자체로 변형되도록 선택한다. C와_U C라는 두 개의 아르벨로 원은_V n 원에^th 접하고 샌드위치를 치는 평행선으로 변형되며, 따라서 파푸스 사슬의 다른 원은 같은 직경의 비슷한 샌드위치 원 모양으로 변형된다. 초기 원 C와₀ 최종 원 C는_n 각각 높이 h에_n 기여하는_n 반면, 원 C-C는_1n−1 각각_n d에 기여한다. 이러한 기여를 함께 추가하면 h_n = n d 등식이_n 산출된다.

파푸스 사슬의 원들이 서로 접하는 지점이 공통의 원 위에 놓여 있다는 것을 보여주기 위해 동일한 반전법을 사용할 수 있다. 위에서 지적한 바와 같이 A지점에 집중된 역전은 아르벨로스 원 C와_U C를_V 두 개의 평행선으로 변환하고, 파푸스 사슬의 원은 두 평행선 사이에 같은 크기의 원의 스택으로 변환한다. 따라서, 변환된 원 사이의 접선점은 두 평행선 사이의 중간에 있는 선에 놓여 있다. 원 안의 뒤집기를 풀면, 이 접선 점의 선은 다시 원으로 변환된다.

스타이너 체인

원 위에 타원과 접선을 중심으로 하는 이러한 특성에서 파푸스 체인은 스테이너 체인과 유사하며, 그 체인은 두 개의 원과 접하는 원들이 매우 많다.

참조

참고 문헌 목록

• Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 54–55. ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). "How did Pappus do it?". In Klarner, D. A. (ed.). The Mathematical Gardner. Boston: Prindle, Weber, & Schmidt. pp. 112–118.
• Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.

외부 링크

• Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein. "Pappus Chain". MathWorld.
• Tan, Stephen. "Arbelos".