포드 서클

In mathematics, a Ford circle is a circle with center at ${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$ and radius ${\displaystyle 1/(2q^{2}),}$ where ${\displaystyle p/q}$ is an irreducible fraction, i.e. ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ are coprime in티거스. 각 포드 원은 수평 $축{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle y=0,}$에 접하고 어떤$$ 두 포드 원은 서로 접하거나 분리된다.^[1]

역사

포드 서클은 서로 접하는 원의 특별한 경우로서, 밑줄은 반경이 무한한 원이라고 생각할 수 있다. 서로 접하는 원의 시스템은 페르가의 아폴로니우스가 연구했는데, 그 뒤에 아폴로니우스의 문제와 아폴로니아 개스킷의 문제가 명명되었다.^[2] 17세기에 르네 데카르트는 데카르트의 정리를 발견했는데, 상호 접선 원들의 반지름의 왕복선 사이의 관계였다.^[2]

포드 서클은 일본 수학의 산가쿠(지리 퍼즐)에도 등장한다. 군마현의 1824년 판에 제시되는 전형적인 문제는 공통 접선을 가진 세 개의 터치 서클의 관계를 다루고 있다. 두 개의 바깥쪽 큰 원의 크기를 볼 때, 그 사이의 작은 원의 크기는 얼마인가? 그 대답은 포드 서클과 같다.^[3]

${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{\text{middle}}}}={\frac {1}{\sqrt{r_{\text}}}+{\frac {1}{\sqrt{r_{\right}}}}}}}}}}.}$

포드 서클은 미국의 수학자 레스터 R의 이름을 따서 명명되었다. 1938년에 이들에 대해 쓴 포드 씨.^[1]

특성.

분수 $p{\displaystyle }$ /${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p/q}$과(와) 연관된 포드 원은 $C$ [ p /$]$ {\$displaystyle C[p/q$] 또는$$ $C{\displaystyle }$[ ${\displaystyle p}$,${\displaystyle ]}$ . ${\displaystystyle$ C$[p,q]$로 표시된다.$}}$ 모든 합리적인 숫자와 연관된 포드 서클이 있다$$. 또한,${\displaystyle }y{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ y$=1}$ 라인은 포드 원으로 계산된다$$. – 무한대와 연관된 포드 원으로 생각할 수 있는데, 이 경우는 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle q}$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle p=1$,q$=0.}$

두 개의 다른 포드 서클은 분리되거나 서로 접선되어 있다. 포드의 각 지점에서 x축에 합리적인 좌표로 접하는 포드 원이 있음에도 불구하고 포드 원의 내부 두 개가 교차하지 않는다. $p{\displaystyle }$ /${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p/q}$이(가) 0과 1 사이라면 C [ p${\displaystyle }$/${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle C[p/q]}$에 접하는 포드 원을 다음과 같이 다양하게 설명할 수 있다$$.

1. $원{\displaystyle }$ C [${\displaystyle r}$/ ${\displaystyle s}$] ${\displaystyle C[r/s]},$ 여기서$$ ${\displaystyle p}$ -${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$= 1,${\displaystyle ps-qr =1,}$
2. ${\displaystyle 일부}$${\displaystyle }$Fary 시퀀스에서$$p / q {\$displaystyle$ p/$q}$의 인접인$$ 분수 $r{\displaystyle /s}$ ${\displaystyle r/s}$과 연관된 ^[1]원 또는
3. 원 $C{\displaystyle [}$ r${\displaystyle /s}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle c[$$r$/$s]},$ 여기서${\displaystyle }r{\displaystyle }$/${\displaystyle s}$ {\$displaystyle r/s}$은(는) Stern-Brocot 트리에서 $p{\displaystyle /q}$ ${\$$displaystyle p/q}$에 다음으로$$ 크거나 작은 조상이며, $p{\displaystyle }$/$q{\displaystyle \}}$은 r$/$s$${\$displaystylease$ r$/s$^[1]

If ${\displaystyle C[p/q]}$ and ${\displaystyle C[r/s]}$ are two tangent Ford circles, then the circle through ${\displaystyle (p/q,0)}$ and ${\displaystyle (r/s,0)}$ (the x-coordinates of the centers of the Ford circles) and that is perpendicular to the ${\d$$isplaystyle x}$ -축$$(축 중심은 x축에 있음)도 두 원이 서로 접하는 지점을 통과한다.

포드 서클은 복잡한 평면에서도 곡선으로 생각할 수 있다. 복잡한 평면 변환의 모듈형 그룹은 포드 원을 다른 포드 원에 매핑한다.^[1]

포드 서클은${\displaystyle }y{\displaystyle }$ = $[\displaystyle$y=$0$$}$ 및${\displaystyle }y{\displaystyle }$ = $[\displaystyle$ y$=1$} $선$과${\displaystyle }$C${\displaystyle [0\mathrm{}}$ / 1${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle C[0/1$]에 의해 생성된 아폴로니안 개스킷의 원의 하위 집합이다$.$$}$^[4]

복잡한 평면의 상반부를 쌍곡면(푸앵카레 반평면 모델)의 모델로 해석함으로써 포드 원을 호로사이클(horocycle)으로 해석할 수 있다. 쌍곡 기하학에서 어떤 두 개의 호로시클은 합치된다. 이 호모시클이 페이로곤에 의해 제한될 때 그들은 쌍곡선 평면에 오더-3 a페이로겐 타일을 붙인다.

2015A AMC 시험의 마지막 문제는 포드 서클의 회답의 합을 찾는 것이다.^[5]

포드 서클의 총 면적

포드 서클의 영역, 오일러의 토텐트 함수 $\phi {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \varphi ,}$리만 제타 함수 $\zeta {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \zeta ,},$ 그리고$$ 아페리의 상수 ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$(${\displaystyle }$3 ) . ${\displaystyle \zeta(3$) 사이에 연계가 있다$.$$}}$ 포드 서클 두 개가 교차하지 않기 때문에$$^[6] 포드 서클의 전체 면적이 바로 뒤따른다.

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}}}$

1보다 작다. 사실 이들 포드 서클의 총 면적은 수렴 합계에 의해 주어지는데, 이것은 평가할 수 있다. 정의에서 보면, 그 영역은

${\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1\atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\오른쪽)^{2}}}$

이 표현을 단순화하면

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}$

여기서 마지막 평등은 오일러의 토털 함수 $\phi {\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \varphi ($q)에 대한 디리클레 생성 함수를 반영한다$.$${}$ $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 90,}$ ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90}$ 이후$$, 드디어 이것이$$ 된다.

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}: {\frac {\zeta(3)}{\pi ^{3}}\약 0.872284041.}$

관례상 이전 계산에서는 $0{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$}{1$}}$에 해당하는 ${\displaystyle \frac{\mathrm{반지름}}{}}$ 1$$2 {\$displaystyle {\frac{1}{$2}}의$$원이 제외되었으며$,$ 이 중 절반은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{단위}}{}}$ 간격 밖에 있는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle$ {\$frac{$1}{$1}}}}}}$에 대한 완전한 원이 포함되어 있다.그 합계는 여전히 포드 서클이 커버하는 단위 제곱의 일부분이다.

포드 구(3D)

포드 서클의 개념은 합리적 숫자에서 가우스적 이성까지 일반화할 수 있어 포드에게 구를 부여한다. 이 구조에서 복잡한 숫자들은 3차원 유클리드 공간에 평면으로 내장되며, 이 평면 내의 각 가우스 이성적인 점에 대해 그 지점에서 평면에 접하는 구를 구성한다. $p{\displaystyle /q}$ ${\displaystyle p/q}$로 가장 낮은 용어로 표현되는 가우스적 합리성의 경우$,$ 이 구의 직경은 1/${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\stackrel{}{}}$q${\$ 1$/q$${\bar{q}}}가$$q$의 $복잡한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 결합을 나타내는$$ 경우$$$.$ 결과 구들은 $q$의 쌍에 접선된다$.$ 가우스 이론은 $P{\displaystyle }$/ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P/Q}$ 및$$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle }$/ Q ${\displaystyle$ P$/Q}($${\displaystyle \mathrm{P<img\; alt="p/q"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="/immutable/placeholder.png"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:\; 3.491ex;\; height:\; 2.843ex;\; object-fit:\; cover;"\; papago-attr-id="205"\; srcset="">}}$- ${\displaystyle p\mathrm{Q}}$ = 1$${\$displaystyle Pq-pQ =1$ 그리고 그렇지 않으면 서로 교차하지 않는다.^[7][8]

참고 항목

• 아폴로니안 개스킷 – 선 대신 원 안에 무한 상호 접선 원이 있는 프랙탈
• 스타이너 체인
• 파푸스 체인

참조

외부 링크

• 포드의 손길이 닿는 서클들
• Weisstein, Eric W. "Ford Circle". MathWorld.
• Bonahon, Francis. "Funny Fractions and Ford Circles" (YouTube video). Brady Haran. Archived from the original on 2021-12-21. Retrieved 9 June 2015.