마르코프 수

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마르코프 수 또는 마르코프 수는 마르코프 디오판토스 방정식의 해의 일부인 양의 정수 x, y 또는 z입니다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

Andrey Markoff (1879, 1880)에 의해 연구되었습니다.

처음 몇 개의 마르코프 수는

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (OEIS의 시퀀스 A002559)

마르코프 삼중항의 좌표로 나타남

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...

마르코프 수와 마르코프 삼중항은 무한히 많습니다.

마르코프 나무

기존의 마르코프 삼중항으로부터 새로운 마르코프 삼중항을 얻는 간단한 두 가지 방법이 있습니다(x, y, z). 먼저 3개의 숫자 x,y,z를 순열할 수 있으므로 특히 x ≤ y ≤ z가 되도록 3배수를 정규화할 수 있습니다. 둘째, (x, y, z)가 마르코프 삼중이면 (x, y, 3xy - z)도 마찬가지입니다. 이 작업을 두 번 적용하면 처음과 동일한 트리플이 반환됩니다. 여기서 얻을 수 있는 정규화된 마르코프 삼중항을 각각 1, 2, 3 정규화된 삼중항에 결합하면 그림에서와 같이 (1, 1, 1)부터 시작하는 그래프를 얻을 수 있습니다. 이 그래프는 연결되어 있습니다. 즉, 모든 마르코프 삼중은 (1,1,1)에 연결될 수 있습니다.^[1] 예를 들어 (1, 5, 13)을 사용하여 시작하면 z가 각각 1, 5 및 13으로 설정된 경우 마르코프 트리에서 (5, 13, 194), (1, 13, 34) 및 (1, 2, 5)의 세 이웃이 나타납니다. 예를 들어 (1, 1, 2)로 시작하여 변환의 각 반복 전에 y와 z를 거래하면 피보나치 수와 함께 마르코프가 3배로 늘어납니다. 동일한 삼중항으로 시작하여 각 반복 전에 x와 z를 거래하면 Pell 숫자가 있는 삼중항이 제공됩니다.

2의 영역에 인접한 영역의 모든 마르코프 수는 홀수 인덱스 펠 수(또는 2n² - 1이 정사각형인 n, OEIS: A001653)이며, 1의 영역에 인접한 영역의 모든 마르코프 수는 홀수 인덱스 피보나치 수(OEIS: A001519)입니다. 따라서 형식의 마르코프 삼중항은 무한히 많습니다.

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

여기서_k F는 k번째 피보나치 번호입니다. 마찬가지로, 형식의 마르코프 삼중항은 무한히 많습니다.

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

여기서_k P는 k번째 Pell 번호입니다.^[2]

기타속성

두 개의 가장 작은 특이한 삼중항 (1, 1, 1)과 (1, 1, 2)를 제외하고, 모든 마르코프 삼중항은 세 개의 서로 다른 정수로 구성됩니다.^[3]

유니시티 추측은 주어진 마르코프 수 c에 대해 c를 가장 큰 요소로 하는 정규화 해가 정확히 하나 있다고 말합니다: 이 추측의 증명이 주장되었지만 올바른 것은 아닌 것 같습니다.^[4]

홀수 마르코프 수는 4의 배수보다 1이 많고, 마르코프 수도 32의 배수보다 2가 많습니다.^[5]

1982년 논문에서 돈 자기어는 n번째 마르코프 수는 다음에 의해 점근적으로 주어진다고 추측했습니다.

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

오류$({\displaystyle {로그}_{}}$⁡${\displaystyle {}_{}\mathrm{3m}{n}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$/ C )$$2 - n${\displaystyle(\log(3m_{n})/C)^{$2}-n}는 아래에 표시됩니다.

또한 $원래$ 디오판토스 방정식의 근사값인 x ${\displaystyle 2^{}}$+ y ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle 3}$ x$$ z$$+ 4 / 9 {\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz + 4/9}는 f(t) = arcosh(3t/2)인 f(x) + f(y) = f(z)와 동등하다고 지적했습니다. 이 추측은 1995년 그렉 맥셰인과 이고르 리빈에 의해 쌍곡기하학의 기술을 사용하여^{[disputed – discuss]} 증명되었습니다.^[7]

n번째 라그랑주 수는 공식으로 n번째 마르코프 수에서 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}\,}$

마르코프 수는 (고유가 아닌) 제곱 쌍의 합입니다.

마르코프 정리

마르코프(Markoff, 1879, 1880)는 만약

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

는 실수 계수와 판별식 $D$ = ${\displaystyle b^{}}$ 2$$- 4 c {\displaystyle D = b^{2} - 4ac}를 갖는 부정 이진 이차 형식이며, 그 다음 정수 x, y가 있고, f는 최대로 절대값의 0이 아닌 값을 취합니다.

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}$

f 가 마르코프 형식이 아닌 한:^[8] 형식의 상수배

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

그런 식으로

${\displaystyle {\begin{case}0<a<p/2,\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\bp-a^{2}=1,\end{case}}}$

여기서 (p, q, r)는 마코프 삼중항입니다.

행렬

행렬 위의 추적 함수를 tr이라 합니다. X와 Y가 SL에₂ ${\displaystyle \mathbb{}}$ 경우$(C$ {\$displaystyle$ \$mathbb$ {C$}),$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XY^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}}$

따라서 만약 ${}^{}$ ⁡${}^{}$(X ${\mathrm{Y}}^{}{}^{}$-$1^{}$ Y - $1$ ) = - 2${\textstyle$\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1}) = -2}이면

${\displaystyle \operatorname {tr}(X)\operatorname {tr}(Y)\operatorname {tr}(XY)=\operatorname {tr}(X)^{2}+\operatorname {tr}(Y)^{2}+\operatorname {tr}(XY)^{2}}$

특히 X와 Y에도 정수 엔트리가 있는 경우 tr(X)/3, tr(Y)/3 및 tr(XY)/3은 마코프 삼중입니다. X ⋅Y ⋅Z = I이면 tr(XtY) = tr(Z)이므로 X, Y, Z가 SL(Z {\displaystyle \mathbb {Z}})에 있고 X ⋅Y ⋅Z = I인 두 개의 정류자가 트레이스 -2를 가지면 이들의 트레이스/3은 마르코프 삼중입니다.

참고 항목

• 마르코프 스펙트럼

메모들

참고문헌

• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, Mari (1989). The Markoff and Lagrange spectra. Math. Surveys and Monographs. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. pp. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
• Malyshev, A.V. (2001) [1994], "Markov spectrum problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Mathematische Annalen. Springer Berlin / Heidelberg. ISSN 0025-5831.

Markoff, A. (1879). "First memoir". Mathematische Annalen. 15 (3–4): 381–406. doi:10.1007/BF02086269. S2CID 179177894.

Markoff, A. (1880). "Second memoir". Mathematische Annalen. 17 (3): 379–399. doi:10.1007/BF01446234. S2CID 121616054.