최소 다항식(필드 이론)

수학의 한 분야인 장 이론에서, 한 분야의 원소 α의 최소 다항식은, 대략적으로, 필드에 계수가 있는 최저도의 다항식으로서, α는 다항식의 근원이 된다. α의 최소 다항식이 존재한다면 고유하다. 다항식 중 최고도 항의 계수는 1이어야 하며 나머지 계수의 유형은 정수, 이성수, 실수 등이 될 수 있다.

보다 공식적으로, 최소 다항식은 필드 확장자 E/F 및 확장자 필드 E/F의 요소에 대해 정의된다. 요소의 최소 다항식이 존재하는 경우 F[x]의 구성원으로 변수 x에 있는 다항식의 링이며 계수는 F이다. E의 원소 α가 주어진 경우, J를_α f(α) = 0과 같은 F[x]의 모든 다항식 f(x)의 집합이 되게 한다. 원소 α는 J에서_α 각 다항식의 루트 또는 0이라고 한다. 세트J는_α F[x]의 이상이라 해서 그렇게 이름이 붙여졌다. 계수가 모두 0인 0 다항식은 모든 α와 i에 대해 0αⁱ = 0 이후 모든 J에_α 있다. 이로 인해 α의 다른 값을 유형으로 분류하는 데 0 다항식을 사용할 수 없게 되므로 예외로 한다. 만약_α J에 0이 아닌 다항식이 있다면, α는 F에 대한 대수적 원소라고 불리며, J에는_α 최소 수준의 일항 다항식이 존재한다. E/F에 관한 α의 최소 다항식이다. 그것은 독특하고 F에 대해 설명할 수 없다. 0 다항식이 J의_α 유일한 구성원인 경우, α는 F에 대한 초월적 원소라고 불리며 E/F에 관한 최소한의 다항식을 가지고 있지 않다.

최소 다항식은 필드 확장을 구성하고 분석하는 데 유용하다. α가 최소 다항식 a(x)로 대수학인 경우 F와 α를 모두 포함하는 가장 작은 장은 F[x]//a(x))의 몫의 고리 F[x]에 대해 이형성이며 여기서 wherea(x))는 a(x)가 생성하는 F[x]의 이상이다. 최소 다항식은 또한 결합 원소를 정의하는 데 사용된다.

정의

E/F를 필드 확장이 되고, E의 원소 α가 되며, F의 x에서 다항식의 링이 F[x]가 되게 한다. 원소 α는 F보다 대수학일 때, 즉 F[x]의 일부 비제로 다항식 f(x)에 대해 f(α) = 0일 때 최소 다항식을 갖는다. 그 다음 α의 최소 다항식은 α를 루트로 갖는 F[x]의 모든 다항식 중에서 최소 수준의 일항 다항식으로 정의된다.

유니크함

e/F에 관하여 a(x)를 α의 최소 다항식이 되도록 한다. a(x)의 고유성은 f[x]에서 e까지의 링 동형성 서브_α(α)를 x, 즉 sub_α(f(x) = f(α)로 대체하는 것을 고려하여 성립한다. 하위_α ker(sub_α)의 커널은 α를 루트로 하는 F[x]의 모든 다항식 집합이다. 즉, 위에서부터 ker_α(sub) = J_α. sub는_α 고리 동형이기 때문에 ker(sub_α)는 f[x]의 이상이다. F[x]는 필드가 될 때마다 주 링이기 때문에 ker(sub_α)에 ker(sub_α)를 생성하는 다항식이 하나 이상 있다. 이러한 다항식은 ker(sub_α)의 모든 비 영 다항식 중에서 최소의 학위를 가지며, a(x)는 이들 중 고유한 단항 다항식으로 간주된다.

일항 다항식의 고유성

p와 q가 최소도 n > 0의 J에_α 있는 단항 다항식이라고 가정하자. p - q j J와_α deg(p - q) < n이므로 p - q = 0, 즉 p = q를 따른다.

특성.

최소 다항식은 다시 설명할 수 없다. E/F를 위와 같이 F에 대한 필드 확장이 되고, α α E와 f ∈ F[x]는 α에 대한 최소 다항식이 되도록 한다. f = gh, 여기서 g, h ∈ F[x]가 f보다 낮다고 가정한다. 이제 f(α) = 0. 필드도 통합 도메인이기 때문에 g(α) = 0 또는 h(α) = 0. 이것은 f의 최소성과 모순된다. 따라서 최소 다항식은 수정할 수 없다.

예

Galois 필드 확장의 최소 다항식

Galois 필드 확장자 $L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle$ $L$$/K}$이(가$)$ K ${\displaystyle$ $\alpha \in L$$}$에 없는$$ 임의의$$ $최소{\displaystyle \mathrm{다항식}}$을 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}(L/K)}(x-\sigma(\alpha ))}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$에 Galois 동작에 안정기가 없는$$ 경우. $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 뿌리를 보면 추론할 수 있는 unreducable이기 때문에 최소한의 다항식이다$.$ Note that the same kind of formula can be found by replacing ${\displaystyle G={\text{Gal}}(L/K)}$ with ${\displaystyle G/N}$ where ${\displaystyle N={\text{Stab}}(\alpha )}$ is the stabilizer group of ${\displaystyle \alpha }$. For example, if ${\displaystyle \alp$$ha \in K}$ 그러면$$ $스태빌라이저$가 G ${\displaystyle G$${\displaystyle \}}$이므로 ( ${\displaystyle x}$ -$$α )${\displaystyle (x-\alpha )}$은 최소 다항식이다.

2차 필드 확장

Q(√2)

F = Q, E = R, α = α2일 경우, α에 대한 최소 다항식은 a²(x) = x - 2이다. 기준 필드 F는 a(x)의 계수에 대한 가능성을 결정하기 때문에 중요하다. 예를 들어 F = R을 취하면 α = √2에 대한 최소 다항식은 a(x) = x - √2이다.

Q(수정)

일반적으로 사각형이 없는 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이$($가) 제공하는 2차 확장의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ a + b d ${\$의 최소 다항식 계산은 Galois 이론을 사용하여 확인할 수 있다$$. 그러면

${\displaystyle {\buffered}f(x)&=(x-(a+b{\sqrt{d})(x-(a-b{\sqrt{d}))\\&=x^{2}-2ax+(a^{2}-b^{2}d)\end{arged}}}$

in particular, this implies ${\displaystyle 2a\in \mathbb {Z} }$ and ${\displaystyle a^{2}-b^{2}d\in \mathbb {Z} }$. This can be used to determine ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$ through a series of relations using modular arithmetic.

이차 필드 확장

α = √2 + √3이면 Q[x]의 최소 다항식은 a(x) = x⁴ - 10x² + 1 = (x - √2 - √3)(x - -2 - √3)(x - -2 + +3)이다.

Notice if ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ then the Galois action on ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ stabilizes ${\displaystyle \alpha }$. Hence the minimal polynomial can be found using the quotient group ${\displaystyle {\text{G$$al}}(\mathbb {Q})({\sqrt{2}},{\sqrt{3})/{\text{Q}}(\mathb {Q})(\$mathb {Q$}({\sqrt{3})/\mathb {Q}$ $)\}\}\}\}.$

통합의 뿌리

통일의 뿌리 Q[x]에 있는 최소 다항식은 사이클로토믹 다항식이다.

Swinnerton-Dyer 다항식

첫 번째 n개의 소수 제곱근 합계의 Q[x]에 있는 최소 다항식은 유사하게 구성되며, Swinnerton-Dyer 다항식이라고 불린다.

참고 항목

• 정수 링
• 대수수장
• $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cos }$ial${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle n}$)의 최소 다항식 ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n)}$

참조

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Number Minimal Polynomial". MathWorld.
• PlanetMath에서 최소 다항식.
• 핀터, 찰스 C 추상 대수학 서적. 도버는 수학 시리즈에 관한 책 도버 출판물, 2010 페이지 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5