롬빌 타일링

Rhombille tiling
"블록들을 넘어뜨리는 것"은 여기서 방향을 바꾼다. 다른 용도는 제이콥의 사다리(토이)를 참조한다.
롬빌 타일링
1-uniform 7 dual.svg
유형라브스 타일링
얼굴60°–120° rhombus
콕시터 다이어그램CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node f1.png
대칭군p6m, [6,3], *632
p3m1, [3[3]], *333
회전군p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
이중 다면체삼헥사각 타일링
면 구성V3.6.3.6
Tiling face 3-6-3-6.svg
특성.가장자리-변환성-표면-변환성

기하학에서 텀빌 타일링(tumbing block),[2] 가역형 큐브(revertible quives), 주사위 격자(dis lattice)라고도 하는 [1]롬빌 타일링은 유클리드 평면에서 동일한 60° 롬비의 테셀레이션이다. 각 랩버스는 두 개의 60°와 두 개의 120° 각도를 가지고 있다. 이 모양을 한 랩비는 다이아몬드라고도 불린다. 롬비 3세트는 120° 각도에서 만나고, 롬비 6세트는 60° 각도에서 만난다.

특성.

롬빌 타일링 내에 빨간색 및 파란색 가장자리가 있는 육각형 틸팅 2개
롬빌 타일링[3] 내에 빨간색, 녹색, 파란색 및 마젠타 모서리가 있는 4개의 육각형 기울기

롬빌 타일링은 각 육각형 타일링을 육각형 타일링으로 분할한 것으로 볼 수 있으며, 육각형 타일링은 육각형 타일링의 중심점에서 세 개의 롬비가 만나는 것으로 구분된다. 이 구획은 일반 화합물 타일링을 나타낸다. 또한 각 육각형 기울기를 12 rhombi로 나눈 4개의 육각형 기울기를 분할한 것으로도 볼 수 있다.

각 롬브의 대각선은 1:153의 비율이다. 이것은 3헥사각형 타일링 또는 카고메 격자의 이중 타일링이다. 균일한 타일링에 대한 이중으로, 그것은 11개의 가능한 라브스 기울기 중 하나이며, 단면 기울기의 면 구성에서 그것은 [3.6.3.6][4]으로 표시된다.

그것은 또한 사변측정감시들에 의한 56개의 가능한 등면 기울기 중 하나이며,[5] 모든 가장자리가 타일링의 대칭선에 놓여 있는 평면의 8개의 기울기 중 하나이다.[6]

롬빌 타일링은 이중의 3헥사형 타일링에 겹쳐졌다.

해당 격자점이 서로 단위 거리에 있는 경우 그리고 가장 짧은 p의 가장자리 수가 더 강하도록 두 꼭지점이 인접한 방식으로 x + y + z ≤ 1로 구성된 3차원 정수 격자(x,y,z)의 부분 집합에 롬빌 타일링을 내장할 수 있다.타일링의 두 꼭지점 사이는 해당 격자점 사이의 맨해튼 거리와 동일하다. 따라서, 롬빌 타일링은 무한 단위 거리 그래프와 부분 큐브의 예로 볼 수 있다.[7]

예술적, 장식적 용법

롬빌 타일링은 네커 큐브와 관련된 반전 형상을 형성하면서 두 가지 다른 방식으로 큐브 세트의 등축 투영 뷰로 해석할 수 있다. 이런 맥락에서 그것은 "반복 가능한 큐브" 환상이라고 알려져 있다.[8]

M. C. 에셔 미술 작품에서 메타포시스 1, 메타포시스 II, 메타포시스 III 에셔는 타일링의 이 해석을 2차원 형태와 3차원 형태 사이의 모프링의 한 방법으로 사용한다.[9] 그의 또 다른 작품인 사이클(1938년)에서 에셔는 이 타일링의 2차원성과 3차원성 사이의 긴장감을 가지고 놀았다: 그는 건축 요소로서 큰 입체 블록을 모두 가진 건물과 롬빌 타일링으로 장식된 위층 파티오를 그렸다. 정육면체 사이로 사람 형상이 내려오면서 점점 양식화되고 2차원적으로 변해간다.[10] 이러한 작품들은 타일링에 대한 단일한 3차원 해석만을 수반하지만, 보다 일반적으로 가역형 형상을 가진 볼록스와 오목형 에셔 실험에서는 장면 내의 국기에 가역형 큐브 착각을 묘사하는 것을 포함한다.[11]

델로스의 롬빌 타일링 바닥 모자이크
시에나 대성당 바닥의 롬빌 타일링 패턴

롬빌 타일링은 또한 파케트리와[12] 바닥이나 벽 타일링의 디자인으로도 사용되며, 때때로 그것의 롬비의 모양에 변화가 있다.[13] 시에나 성당에서 이런 무늬를 가진 타일이 더 최근의 빈티지한 것이긴 하지만, [15]델로스의[14] 고대 그리스 바닥 모자이크와 11세기 이탈리아의 바닥 기울기에서 나타난다.[16] 퀼팅에서는 1850년대부터 3차원 해석의 두 배가 되면서 생기는 시각적 부조화를 언급하면서 '텀블링블럭' 패턴으로 알려져 왔다.[2][15][17] 퀼팅 패턴으로 큐브워크, 천상의 계단, 판도라의 상자를 포함한 다른 이름들도 많이 있다.[17] 텀블링블록 퀼트 문양이 지하 철도의 신호탄으로 사용되었다는 설이 있다: 노예들이 울타리에 걸려 있는 것을 보았을 때, 그들은 소지품을 상자에 넣고 탈출해야 했다. 지하 철도의 퀼트를 참조하십시오.[18] 이러한 장식적 용도에서, rhombi는 다양한 색상으로 나타날 수 있지만, 일반적으로 3차원 입체성의 외관을 강화하기 위해 수평으로 긴 대각선을 가진 rhomb의 경우 가장 밝은 색상과 다른 두 방향의 rhomb의 경우 더 어두운 색상의 세 가지 수준의 음영이 주어진다. Geal/e 팔에는 영국 헤럴드리의 암묵적 롬빌과 삼헥각형 타일링의 알려진 단 하나의 예가 있다.[19]

기타 응용 프로그램

롬빌 타일링은 다른 타일링의 육각 중심에서 한 타일링 토지의 정점 중 일부가 되도록 번역된 두 개의 서로 다른 육각 틸팅의 결과로 볼 수 있다. 따라서, 그것은 블록 세포 자동화를 정의하는데 사용될 수 있는데, 이 자동화의 셀은 롬빌 타일링의 롬비이고 자동화의 교대계단에 있는 블록은 두 개의 중첩된 육각 틸링의 헥사곤이다. 이런 맥락에서 큐브 피라미드의 등축관을 놀이장소로 삼은 비디오 게임 Q*bert의 이름을 따서 "Q*bert neighborhood"라고 불린다. Q*bert 근방은 당구공 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 보편적인 계산을 지원하기 위해 사용될 수 있다.[20]

응축물리학에서 롬빌 타일링은 주사위 격자, 다진 격자 또는 이중 카고메 격자로 알려져 있다. 이싱 모델과 이원자 결정에서 스핀 상호작용의 관련 시스템을 조사하는 데 사용되는 몇 가지 반복 구조 중 하나이며,[21] 퍼콜레이션 이론에서도 연구되어 왔다.[22]

관련 다면체 및 틸팅

병렬로그램에 의한 조합형 등가 기울기

롬빌 타일링은 삼각 타일링의 이중이다. 그것은 혼합된 rhombi로 비행기를 타일링하는 많은 다른 방법들 중 하나이다. 그 밖에 대각선 편평한 사각형 타일링(롬비의 네 면에 모두 번역 대칭이 있음), 미우라오리 접이식 패턴이 사용하는 타일링(변환 대칭과 반사 대칭의 대체), 36°와 72° 급성 각도의 두 종류의 롬비를 주기적으로 사용하는 펜로즈 타일링 등이 있다. 둘 이상의 유형의 롬버스가 허용되면 위상적으로는 롬빌 타일링과 동일하지만 대칭성이 낮은 일부 등 추가 기울기가 가능하다.

콤빌 타일링과 조합하여 동등한 틸링도 병렬그램으로 실현될 수 있으며, 3차원 입방계 단계의 축압 투영으로 해석된다.

가장자리 테셀레이션은 8개뿐인데, 가장자리 중 어느 한쪽을 가로질러 타일을 반사하면 다른 타일이 생성되는 특성이 있다. 그 중 하나가 롬빌 타일링이다.[23]

참고 항목

참조

  1. ^ Conway, John; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings", The Symmetries of Things, AK Peters, p. 288, ISBN 978-1-56881-220-5.
  2. ^ a b Smith, Barbara (2002), Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite, Collector Books, ISBN 9781574327892.
  3. ^ 리처드 K. 가이앤로버트 E. 우드로우, 수학의 가벼운 면: 휴양 수학에 관한 외젠 강군 기념 회의의 진행, 1996년, 페이지 79, 그림 10
  4. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987), Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1193-1. 섹션 2.7, 정규 정점을 갖는 틸링, 페이지 95–98.
  5. ^ 그룬바움 & 셰퍼드(1987), 그림 9.1.2, 타일링 P-424, 페이지 477.
  6. ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Edge tessellations and stamp folding puzzles", Mathematics Magazine, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, doi:10.4169/math.mag.84.4.283, MR 2843659.
  7. ^ Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav; Shtogrin, Mikhail (2004), Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and , London: Imperial College Press, p. 150, doi:10.1142/9781860945489, ISBN 1-86094-421-3, MR 2051396.
  8. ^ Warren, Howard Crosby (1919), Human psychology, Houghton Mifflin, p. 262.
  9. ^ Kaplan, Craig S. (2008), "Metamorphosis in Escher's art", Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), pp. 39–46.
  10. ^ Escher, Maurits Cornelis (2001), M.C. Escher, the Graphic Work, Taschen, pp. 29–30, ISBN 9783822858646.
  11. ^ De May, Jos (2003), "Painting after M. C. Escher", in Schattschneider, D.; Emmer, M. (eds.), M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration, Springer, pp. 130–141.
  12. ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy (2003), "Tricking the eyes with tumbling blocks", Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes, Taunton Press, p. 58, ISBN 9781561586516.
  13. ^ 테셀레이션 탱고, 드렉셀 대학 수학여행사가 2012-05-23을 회수했다.
  14. ^ Dunbabin, Katherine M. D. (1999), Mosaics of the Greek and Roman World, Cambridge University Press, p. 32, ISBN 9780521002301.
  15. ^ a b Tatem, Mary (2010), "Tumbling Blocks", Quilt of Joy: Stories of Hope from the Patchwork Life, Revell, p. 115, ISBN 9780800733643.
  16. ^ Wallis, Henry (1902), Italian ceramic art, Bernard Quaritch, p. xxv.
  17. ^ a b 이 소설은 추리 소설이지만, 앞부분의 텀블링 무늬에 대한 간략한 설명도 포함하고 있다Fowler, Earlene (2008), Tumbling Blocks, Benni Harper Mysteries, Penguin, ISBN 9780425221235.
  18. ^ Tobin, Jacqueline L.; Dobard, Raymond G. (2000), Hidden in Plain View: A Secret Story of Quilts and the Underground Railroad, Random House Digital, Inc., p. 81, ISBN 9780385497671.
  19. ^ 보조 무기: 상징성, 군대의 상징성, 플레이아드, 2013-04-17을 회수했다.
  20. ^ Q*Bert 이웃인 Tim Tyler는 2012-05-23에 접속했다.
  21. ^ Fisher, Michael E. (1959), "Transformations of Ising models", Physical Review, 113 (4): 969–981, Bibcode:1959PhRv..113..969F, doi:10.1103/PhysRev.113.969.
  22. ^ Yonezawa, Fumiko; Sakamoto, Shoichi; Hori, Motoo (1989), "Percolation in two-dimensional lattices. I. A technique for the estimation of thresholds", Phys. Rev. B, 40 (1): 636–649, Bibcode:1989PhRvB..40..636Y, doi:10.1103/PhysRevB.40.636.
  23. ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Edge tessellations and stamp folding puzzles", Mathematics Magazine, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, doi:10.4169/math.mag.84.4.283, MR 2843659.

추가 읽기

  • Keith Critchlow, Order in Space: 디자인 소스 북, 1970, pp.77–76, 패턴 1