기체 운동 이론

이상 기체의 온도는 입자의 평균 운동 에너지에 비례합니다.헬륨 원자의 간격에 대한 크기는 1950년 압력 하에서 축소되는 것으로 나타났습니다.원자의 평균 속도는 실온에서 2조 배 느려진 크기 대비입니다.

가스의 운동 이론은 가스의 열역학적 거동에 대한 단순하고 역사적으로 중요한 고전적 모델이며, 열역학의 많은 주요 개념이 확립되었습니다.이 모델은 기체를 다수의 동일한 준현미경 입자(아톰 또는 분자)로 설명하며, 이들 입자는 모두 일정하고 빠른 무작위 운동입니다.그 크기는 입자 사이의 평균 거리보다 훨씬 작을 것으로 추정된다.입자는 그 입자와 용기의 둘러싸인 벽 사이에 임의의 탄성 충돌을 일으킨다.모델의 기본 버전은 이상적인 가스를 기술하며 입자 간의 다른 상호작용을 고려하지 않습니다.

기체의 운동 이론은 점성, 열 전도율, 질량 확산도와 같은 수송 특성뿐만 아니라 부피, 압력, 온도와 같은 기체의 거시적 특성을 설명한다.이 모형은 브라운 운동과 같은 관련 현상도 설명합니다.

역사적으로, 기체의 운동 이론은 통계 역학 사상의 첫 번째 명시적 행사였다.

역사

기원전 약 50년에, 로마 철학자 루크레티우스는 분명히 정적인 거시적 물체는 빠르게 움직이는 원자들의 작은 스케일로 구성되어 있다고 제안했다.^[1]이 에피쿠아적 원자론적 관점은 아리스토텔레스적 사상이 지배적이었던 다음 세기에는 거의 고려되지 않았다.

유체역학 전면 커버

1738년 다니엘 베르누이는 기체의 운동 이론의 기초를 마련한 유체역학(Hydrodynamica)을 발표했다.이 연구에서, 베르누이는 기체가 모든 방향으로 이동하는 많은 분자로 이루어져 있고, 기체의 표면에 대한 충격이 기체의 압력을 유발하며, 기체의 평균 운동 에너지가 기체의 온도를 결정한다는 주장을 내세웠다.이 이론은 부분적으로 에너지의 보존이 아직 확립되지 않았고, 물리학자들에게 어떻게 분자 간의 충돌이 완벽하게 ^[2]^{: 36–37}탄력을 가질 수 있는지는 분명하지 않았기 때문에, 즉시 받아들여지지 않았다.

동시대인들에 의해서도 대부분 무시당한 다른 운동 이론의 선구자들로는 미하일 로모노소프 (1747년), 조르주 루이 르 세이지 (1780년 경, 1818년 ^[4]출판), 존 헤라파스 (1816년)^[3]^[5] 그리고 존 제임스 워터스턴 (1843년)^[6]이 있는데, 이것은 그들의 연구를 중력의 기계적 설명의 개발과 연결시켰다.1856년 8월, Krönig는 ^[7]입자의 이동 운동만을 고려한 단순한 기체 운동 모델을 만들었다.

1857년 루돌프 클라우시우스는 비슷한, 하지만 더 정교한 이론을 개발했는데, 이것은 번역과, 또한, 크뢰니그와 달리, 회전과 진동 분자 운동을 포함한다.이 연구에서 그는 ^[8]입자의 평균 자유 경로 개념을 도입했다.1859년, Clausius에 의한 분자의 확산에 관한 논문을 읽은 후, 스코틀랜드의 물리학자 James Cluck Maxwell은 분자 속도의 맥스웰 분포를 공식화했는데, 이것은 특정한 ^[9]범위에서 특정한 속도를 가진 분자의 비율을 알려준다.이것은 ^[10]물리학에서 최초의 통계법칙이었다.맥스웰은 또한 분자 충돌은 온도의 균등화와 그에 따른 ^[11]평형 경향을 수반한다는 첫 번째 기계적 주장을 했다.맥스웰은 1873년 13페이지에 달하는 그의 기사 '분자'에서 "우리는 '원자'가 '잠재력'에 의해 투자되고 둘러싸인 물질 지점이며, '날아다니는 분자'가 지속적으로 고체 물체에 부딪힐 때 공기와 다른 ^[12]가스의 압력이라고 불리는 것을 유발한다고 말한다."1871년, 루드비히 볼츠만은 맥스웰의 업적을 일반화하였고 맥스웰-볼츠만 분포를 공식화하였다.엔트로피와 확률 사이의 로그 연관성도 볼츠만에 의해 처음 언급되었다.

하지만, 20세기 초에 많은 물리학자들은 원자가 실제 물체라기보다는 순전히 가상의 구조라고 여겼다.중요한 전환점은 브라운 운동에 관한 알버트 아인슈타인(1905)^[13]과 마리안 스몰루쇼스키(1906)^[14]의 논문으로, 운동 이론에 기초한 정확한 양적 예측을 하는 데 성공했다.

전제 조건

이상 기체에 대한 운동 이론의 적용은 다음과 같은 가정을 만든다.

그 가스는 아주 작은 입자로 구성되어 있다.이러한 작은 크기는 개별 가스 분자의 부피 합계가 가스 용기의 부피에 비해 무시할 수 있을 정도로 작습니다.이는 기체 입자를 분리하는 평균 거리가 크기에 비해 크고 연속되는 충돌 간격과 비교할 때 입자와 용기 벽의 충돌 경과 시간이 무시할 수 있음을 나타내는 것과 같다.
입자의 수가 너무 많아서 그 문제에 대한 통계적 처리는 충분히 정당화된다.이러한 가정을 열역학 한계라고 부르기도 합니다.
빠르게 움직이는 입자들은 서로 그리고 용기 벽과 끊임없이 충돌합니다.이 모든 충돌은 완벽하게 탄성이 있습니다. 즉, 분자는 완벽한 단단한 구체라는 뜻입니다.
충돌하는 경우를 제외하고는 분자 간의 상호작용은 무시할 수 있다.그들은 서로 다른 힘을 가하지 않는다.

따라서, 입자 운동의 역학은 고전적으로 처리될 수 있고, 운동 방정식은 시간적으로 되돌릴 수 있다.

단순화된 가정으로, 입자는 보통 서로 같은 질량을 갖는 것으로 가정되지만, 이 이론은 각 질량 유형이 달튼의 편압 법칙에 따라 서로 독립적으로 기체 특성에 기여하는 질량 분포로 일반화될 수 있다.모형의 예측 중 대부분은 입자 간의 충돌이 포함되든 안 되든 동일하기 때문에 종종 파생에서 단순화된 가정으로 무시됩니다(아래 ^[15]참조).

보다 현대적인 발전은 이러한 가정을 완화하고 볼츠만 방정식을 기반으로 합니다.이것들은 입자의 부피뿐만 아니라 분자간 및 분자내 힘의 기여뿐만 아니라 양자화된 분자 회전, 양자 회전-진동 대칭 효과 및 전자 ^[16]들뜸을 포함하기 때문에 밀도가 높은 가스의 특성을 정확하게 설명할 수 있습니다.

평형 특성

압력 및 운동 에너지

기체의 운동 이론에서 압력은 원자가 기체 용기 표면에 부딪히고 반발하여 가해지는 힘과 동일하다고 가정한다.V = L³ 부피의 입방체에 포함된 질량 m의 많은 N개의 분자의 가스를 생각해보자. 가스 분자가 x축에 수직인 용기의 벽과 충돌하여 같은 속도로 반대 방향으로 튕겨나갈 때(탄성 충돌), 운동량의 변화는 다음과 같이 구한다.

\displaystyle \Delta p=p_{i,x}-(-p_{i,x})=2p_{i,x}=2mv_{x}

여기서 p는 모멘텀, i와 f는 초기 모멘텀과 최종 모멘텀(충돌 전과 후), x는 x 방향만 고려되고

v_{x}

을,

v_{x}

x {\

display v_{

x

v_{x}

}는 x 방향(충돌 전과 후 동일)의 입자 속도입니다.

이 입자는 시간 간격 δ $\Delta t$ \ $displaystyle\Delta$ t 동안 특정 측벽에 1회 충돌합니다.

(\displaystyle \Delta t=black {2L}{v_{x}}})

여기서 L은 반대쪽 벽 사이의 거리입니다.

이 입자가 벽과 충돌하는 힘은

({displaystyle F=mvfrac {Delta p}{\Delta t}}=mv_{x}{2}}{L}).}

v $v_{x}$ { $displaystyle v_{x}$ 의 $v_x$ $v_{x}$ 한 값의 범위로 벽에 충돌하는 분자에 의한 벽의 총 힘은 다음과 같습니다.

Fdisplaystyle F=snmfrac {Nm{\overline {v_{x}^2}}}}{L}}

여기서 막대는 N개 입자의 가능한 속도에 대한 평균을 나타낸다.

으로 어느에 각 방향의

{{displaystyle {v_{x}^2}}={v_y}^2}={v_{z}^2}입니다.}

피타고라스 정리에 따르면, 3차원에서 평균 제곱 $v^{2}$ $v^{2}$ 2 $(\$ v $^{2})$ 는 $v^{2}$ 다음과 같이 주어진다.

{{displaystyle {v^{2}}=오버라인 {v_{x}^{2}}+{\오버라인 {v_{y}^2}+{\오버라인 {v_{z}^2}}}}

그러므로

({displaystyle {v^{2}}=3개의 오버라인 {v_{x}^{2}}).}

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

{{displaystyle {v_{x}^2}}={frac {v^{2}}{3}},

그래서 그 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle F=black {Nm{\overline {v^{2}}}}}}{3L}}}.

이 힘은 영역² L에 균일하게 작용한다.따라서 가스의 압력은

P=black {F}{L^{2}}=black {Nm{\overline {v^{2}}}}}}{3V}}},

여기서 V = L은³ 상자의 부피입니다.

가스의 변환 운동 에너지 K의 관점에서,

{\displaystyle K=N{\frac {1}{2}}}m(오버라인 {v^{2}}})

.

PV=black {2}{3}}K.

이것은 미시적인 특성인 분자의 변환 운동 에너지와 거시적인 특성인 압력을 관련시키기 때문에 운동 이론의 중요하고 사소한 결과입니다.

온도 및 운동 에너지

압력에 대한 위의 ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ 를 P ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ = ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ v 2 ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ 3 { $textstyle$ PV $= fr$ 3 { ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ { \ $overline$ { $v$ ^ {2 $}}} {$ 3} ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ 로 ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$ 쓰면 이상적인 가스 법칙과 결합할 수 있다.

PVdisplaystyle PV=Display_{\mathrm {B}}T,}

(1)

$k_{\mathrm {B} }$ 서 $k_{\mathrm {B} }$ k(\ $displaystyle k_{\mathrm {B}})$ 는 $k_{\mathrm {B} }$ 볼츠만 상수이고 $(\displaystyle$ T $)$ 는 $T$ 이상적인 가스 법칙에 의해 정의된 절대 온도이다.

displaystyle k_{\mathrm {B}}}T={m{\overline {v^{2}}\over3}

분자당 평균 운동 에너지를 단순하게 표현하게 됩니다.^[17]

}{\displaystyle {1}{2}}m({v^{2}})=검은색 {3}{2}k_{\mathrm {B}}T}

계통의 운동 에너지는 분자의

N배

,

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

{\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

v 2

{\

{

textstyle

K =

ac

{1} {2

}

Nm

{\overline {v^{2

이다.그러면

온도

T

(디스플레이 스타일

T

)

의

T

형태가 됩니다.

T { \ {B {\displaystyle T={m{\overline {v^{2}} \over 3k_{\mathrm {B}}}}

(2)

어느 쪽이 되느냐

T=sqfrac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{\mathrm {B}}}}}}.

(3)

방정식 (3)은 운동 이론의 중요한 결과 중 하나이다.평균 분자 운동 에너지는 이상 기체 법칙의 절대 온도에 비례합니다.방정식 (1)과 (3)에서 우리는 다음과 같이 된다.

PV=black {2}{3}}K.

(4)

따라서 몰당 압력과 부피의 곱은 평균(환산) 분자 운동 에너지에 비례한다.

방정식 (1)과 (4)을 "고전적 결과"라고 하며, 통계역학에서 도출할 수도 있다. 자세한 내용은 다음을 ^[18]참조한다.

$N개의$ 입자를 $가진$ 단원자 가스계에는 $3N의$ 자유도가 $3N$ $3N$ 때문에 분자당 자유도당 운동에너지는

\displaystyle\frac{K}{3}N}}=matrm {k_{\mathrm {B}}T}{2}}

(5)

자유도당 운동 에너지에서 온도의 비례 상수는 볼츠만 상수의 1/2배 또는 몰당 R/2이다.이 결과는 등분할 정리와 관련이 있다.

따라서 (단원자 이상 기체) 몰 1개의 켈빈 당 운동에너지는 3 [R/2] = 3R/2이다.따라서 켈빈당 운동 에너지는 쉽게 계산할 수 있습니다.

kΩ: 12.47J/
분자당 : 20.7yJ / K = 129μeV / K

표준온도(273.15K)에서 운동에너지도 얻을 수 있다.

J1 당 : 3406 J
분자당: 5.65zJ = 35.2meV.

단원자 가스는 원자당 3개의 자유도를 가지지만, 이원자 가스는 분자당 6개의 자유도를 가져야 한다(3개의 변환, 2개의 회전, 1개의 진동).그러나 가벼운 이원자 가스(이원자 산소 등)는 진동의 양자역학적 특성이 강하고 연속적인 진동 에너지 수준 간의 큰 격차로 인해 5개밖에 없는 것처럼 행동할 수 있다.이러한 기여도를 정확하게 계산하기 위해서는 양자 통계 역학이 필요합니다.^[19]

평형에 이상적인 가스의 경우, 컨테이너 벽과 입자들이 컨테이너 벽을 차의 속도 분포과의 충돌의 비율 calculated[20]순진한 운동 이론 위에 놓고, 그리고 결과를 동위 원소 separat의 기체 확산 법과 같은 응용 프로그램에 유용하다 야단스러운 흐름 비율, 분석을 이용할 수 있는 기초할 수 있다.이온이다.

용기 내 수 밀도(단위 부피당 수)가 n $n=N/V$ / $n=N/V$ V {\ $displaystyle$ n $=N/V}$ 이고 $n=N/V$ 입자가 Maxwell의 속도 분포를 따른다고 가정합니다.

f_{Maxwell kTrightz}{display}{k}{2}{b}{k}{k}{b})T}}, dv_{x}, dv_{y}, dv_{z}

컨테이너 벽면의 작은 $영역$ $(\displaystyle dA)$ 의 $dA$ 경우 $영역$ $(\displaystyle$ $\theta$ $dA$ 의 법선으로부터 $\theta$ θ(\ $displaystyle$ \ $theta)$ 의 $\theta$ 속도 v(\ $displaystyle$ dA)를 $v$ 가진 입자가 $시간$ $간격 d$ (\ $displaystyle dt$ 내의 영역과 충돌합니다. $영역$ $dA의$ {{ $displaystyle$ dA $}$ 로부터 {\displaystyle vdt $dA$ 이 $vdt$ (가) 시간 $간격$ d {\ $displaystyle dA$ $}$ 에 도달할 수 있는 각도 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 에서 $\theta$ $dA$ $속도$ v ${dt$ }의 $v$ 모든 입자가 높이 displaystyle $}$ 의 $dt$ 기울어진 파이프에 포함된다 $.$ $v\cos(\theta )dt$ cos $v\cos(\theta )dt$ " $v\cos(\theta )dt$ ( $v\cos(\theta )dt$ ) $v\cos(\theta )dt$ t \ $display style$ v \ $cos$ ( \ $theta$ ) $dt$ a $v\cos(\theta )dt$ a a $v\cos(\theta )dAdt$ cos " ( $v\cos(\theta )dAdt$ ) $v\cos(\theta )dAdt$ $v\cos(\theta )dAdt$ $v\cos(\theta )dAdt$ \ $display style$ v \ $cos$ ( \ $theta$ ) dAdt $v\cos(\theta )dAdt$ 。

시간 $간격$ $d$ t{\ $displaystyle$ $dt$ $}$ 내에 $dA$ $dt$ $dA$ 에 도달하는 파티클의 총수도 속도 분포에 따라 달라집니다.전체적으로 다음과 같이 계산됩니다.

nv), \pi displaystyle nv\cos(\theta), dA, dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{B})T}}\(으)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}\left(v^{2}\sin(\theta), dv, d\theta, d\phi\right).}

이를 제약 $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ v $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ > $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ < $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ < $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ / $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ > $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ 0 < $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ < $2$ {\ $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ ${\$ < \ $displaystyle$ v $>$ 0, 0 < $\theta$ < $\pi$ / 2, 0 < \ $phi$ < $2 \pi }$ 내의 모든 $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ 적절한 속도에 통합하면 단위 시간 당 용기 벽과의 원자 또는 분자 충돌 횟수가 산출됩니다.

J_{\text{collision}=cos \theta \sin \theta d\pi } {int _ {0}^{\pi }\sin \theta d\theta } {v} = csfrac {\c

이 양은 진공 물리학에서는 "충돌률"이라고도 합니다.Maxwell 속도 분포의 평균 ${\bar {v}}$ v ${\bar {v}}$ µ {\ $displaystyle$ ${v}}$ 을 $\bar v$ (를 $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ 하려면 $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ v > 0, $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ < $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ < $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ $>$ < \ $theta <$ \ $pi ,$ 0 < 2 \ pi > 0 < \ $pi$ > < $2$ > < \ pi $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ > 0 $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ 。

속도 $v$ $(\$ $displaystyle$ v $)$ 의 $v$ 각도 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 에서 $\theta$ 영역 $dA$ (\ $displaystyle dA)$ 에 $dA$ 충돌하는 입자에서 용기 벽으로 전달되는 운동량은 시간 $간격$ $d$ (\ $displaystyle dt)$ 에서 $dt$ 다음과 같습니다.

[ ( \ )timesnv \( \theta ), dA, times \left ( { \ frac m }{ 2 \ k _ {B }\ displaystyle [ 2 mv \ cos ( \ theta ) ]\ times nv { mac }T}}\(으)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}\left(v^{2}\sin(\theta), dv, d\theta, d\phi\right).}

이를

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

v

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

>

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

<

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

<

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

/

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

>

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

<

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

< < \

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

style

v

> 0

, 0 < \

theta

< \

pi

/ 2,

0

< \

pi

> < \ pi > <

2

\

pi

} 내의

v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi

모든 적절한 속도에 통합하면 압력이 생성됩니다(이상적인 가스 법칙과 일치).

P=param frac {2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}\cos ^{2}\theta \sin _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta }}}\times nmv_{\text} {3} {3} {nm} {nm

이 작은

영역

A

(\displaystyle

A

)

를

A

뚫어 작은 구멍이 되면 유출 유속은 다음과 같습니다.

{\displaystyle\Phi_{\text{usion}}}=J_{\text{collision}}A=nA{\sqrt {frac {k_{\mathrm {B}}T}{2\pi m}}}.}

이상 기체의 법칙과 결합하면, 이것은

\Phi _{\text{cusion}}=sfrac {PA}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B}}}}}.

위의 표현은 그레이엄의 법칙과 일치한다.

이 작은 영역에 도달하는 입자의 속도분포를 계산하기 위해서는 d $영역$ d $(\$ displaystyle dA $)$ 에 $dA$ $(v,\theta ,\phi )$ 하는 ( $(v,\theta ,\phi )$ ,, $),$ ), $i)$ $displaystyle dA$ $}$ {\ $displaystyle dt}$ 의 $(v,\theta ,\phi )$ $dt$ 모든 입자가 $v\cos(\theta )dt$ $v\cos(\theta )dt$ 의 경사 파이프에 포함되어 있음을 고려해야 한다. $v\cos(\theta )dt$ $v\cos(\theta )dt$ $v\cos(\theta )dt$ $v\cos(\theta )dt$ \ $style$ v \ $cos$ ( \ $theta$ ) $dt }}$ $v\cos(\theta )dAdt$ $v\cos(\theta )dAdt$ $v\cos(\theta )dAdt$ $）$ $v\cos(\theta )dAdt$ A $display style$ v $\cos$ ( \ $theta )dAdt$ 。따라서 맥스웰 $v\cos \theta$ 와 비교하여 속도 분포는 $v\cos \theta$ cos $v\cos \theta$ （ \ $display style$ v $\cos$ \ $ta$ :

{\displaystyle{\begin{정렬}(v,\theta ,\phi)\,dv\,d\theta \,d\phi&=\lambda v\cos{\theta}({\frac{m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}e^{-{\frac{{2mv^}}{2k_{\mathrm{B}}T}}}(v^{2}\sin{\theta}\,dv\,d\theta \,d\phi)\\\end{정렬}}}{{displaystyle\displaystyle}(v,\theta,\phi),dv,d\theta,=\displayda v\cos{\times}{\times}\lefts\frac.{m}{2\pi kT}\rmath2}{\k}{3/2}e^{-{\f}{\frm}{\c}{\ti}{\f}{\c}{\time}{\c}{\c}

으로 제약 조건은 v>;0,0<>θ<>π 2,0<>ϕ<>2π{\textstyle v>, 0,\,0<, \theta <,{\frac{\pi}{2}},\,0<, \phi<>2\pi}. 끊임 없는 λ{\lambda\displaystyle}은 정규화 조건에 의해∫ f(vθ, ϕ)d'v'dθ dϕ=1{\displaystyle\int f(v,\theta ,\phi)\,dv\,d\th 결정될 수 있다.에타(=1}이다.

4

/

{\textstyle {4}/{\bar {v}}}

{

textstyle

{ 4

{\textstyle {4}/{\bar {v}}}

} / { \

bar

{ v

{\textstyle {4}/{\bar {v}}}

}

{\textstyle {4}/{\bar {v}}}

overall overall:: :

{\displaystyle{\begin{정렬}(v,\theta ,\phi)\,dv\,d\theta \,d\phi&={\frac{1}{2\pi}}\left({\frac{m}{k_{\mathrm{B}}T}}\right)^{2}e^{-{\frac{{2mv^}}{2k_{\mathrm{B}}T}}}(v^{3}\sin{\theta}\cos{\theta}\,dv\,d\theta \,d\phi)\\\end{정렬}};\quad v>, 0,\,0<, \theta<>{\frac{\pi}{2}},\,0<, \phi<>2\pi}{\displaystyle{displa.ystyle{v,\theta,\phi},d\phi &=sqfrac {1}{2\pi}\lefts\frac {m}{k_{\mathrm {B}}T}}\right)^2}e^{-{-{\frac{2}{2},{2},{dv},{dv},{dv},{dv},\ti,{ti},{ta},{dv},\ti},{ti},{ta},{dv},{ti},{ti},{ti},{ti},

분자의 속도

운동 에너지 공식으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

v_{\text{p}}=sqrt {2\cdot {k_{\mathrm {B}}T}{m}}

{{displaystyle {v}}=parfrac {2}{\pi }v_{p}=parfrac {8}{\pi}}}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B}}}T}}}},

{\displaystyle v_{\text{3}{2}}=v_{p}=syslogrt {3}\cdot {frac {k_{\mathrm {B}}}{m}}}},

여기서 v는 m/s, T는 켈빈, m은 기체 분자 한 개의 질량이다.가장 가능성이 높은(또는 모드)

v_{\text{p}}

v_{\text{p}}

{\

displaystyle

v_{\text{p

는

v_{\text{p}}

루트 평균 제곱

v_{\text{rms}}

vrms

의 81.6%, 평균(산술 평균 또는 평균)

{\bar {v}}

v

{\bar {v}}

{\ {\

displaystyle {v}}}

는

\bar v

rms 속도의 92.1%입니다.

기체의 운동 이론은 열역학적 평형에 있는 기체를 다룰 뿐만 아니라 열역학적 평형에 있지 않은 기체와도 매우 중요하다.즉, 운동 이론을 사용하여 점성, 열전도율 및 질량 확산도와 같은 "수송 특성"으로 알려진 특성을 고려합니다.

와

기초 운동^[21] 이론에 관한 책에서는 많은 분야에서 사용되는 희박한 가스 모델링에 대한 결과를 찾을 수 있다.전단 점도에 대한 운동 모델의 도출은 보통 두 개의 평행 판이 가스 층에 의해 분리된 쿠에트 흐름을 고려하는 것으로 시작합니다.상부 플레이트는 힘 F에 의해 등속도로 오른쪽으로 이동한다.하부 플레이트는 정지 상태이므로 정지 상태를 유지하기 위해 등반력이 작용해야 합니다.가스층의 분자는 전방 속도 $성분$ u( $디스플레이 스타일$ u)를 $u$ 가지며, 하부 플레이트 위 $거리$ y $(디스플레이 스타일$ y $)$ 에 $y$ 따라 균일하게 증가합니다.비균형 흐름은 맥스웰-볼츠만의 분자 운동 평형 분포에 중첩된다.

$【\displaystyle \sigma$ 】를 $\sigma$ 분자와 다른 분자의 충돌 단면이라고 하자.전 항과 같이 $수밀도$ n ${displaystyle$ n $}$ 은 $n$ 부피당 분자수, 즉 n $=$ ({ $displaystyle n=N/$ V $n=N/V$ 로 정의하며, 부피당 충돌단면밀도 또는 충돌단면밀도는 ${displaystyle$ n $\display$ $n\sigma$ 이며, 이는 $평균자유경로$ l{\}과 관련이 있다. $스타일$ l $}$ 표시 $l$ 기준

lsyslogdisplaystyle l=syslogfrac {1}{\syslogrt {2}}n\syslog}}}

$n\sigma$ n ${\$ { $displaystyle$ n \ $sigma }$ 충돌 단면의 단위는 길이의 역수입니다.평균 자유 경로는 분자가 첫 번째 충돌을 일으키기 전에 이동한 평균 거리 또는 부피당 분자 수입니다.

$u_{0}$ 0 $u_{0}$ {\ $displaystyle u_{0}$ 을 $u_{0}$ 기체층 내부의 가상의 수평 표면에서 기체의 전진 속도라고 합니다. $가스층$ 한쪽 $영역$ $(\displaystyle dA)$ 에 $dA$ 도달하는 분자의 수는 속도v(\ $displaystyle$ v $)$ 가 $v$ $dt$ 에서 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 이고 $\theta$ , 시간 $간격$ d(\ $displaystyle$ dt $)$ 는 $dt$ 다음과 같습니다.

cos({\}),\left{k_{\}}}}}}}}{leftleft}}}}}}}}}}}}}}}}}}{left}}}}}}}}}}}

이들 분자는 가스층 위아래에 l $l\cos \theta$ (\ $displaystyle$ l $\cos\theta)$ $l\cos \theta$ 에서 $l\cos \theta$ 마지막 충돌을 일으켰고, 각각은 전진 운동량에 기여합니다.

}\ \theta \right,}({ \pm}=m\left(u_{0}\pm lcos \theta, {du \over dy}\right})

여기서 플러스 부호는 위에서부터 분자에 적용되고 마이너스 부호는 아래에서 적용됩니다.전방 속도

du/dy

du/dy

u

du/dy

/

du/dy

y \

displaystyle

du

/dy

는 평균

du/dy

자유 경로 거리에 걸쳐 일정하다고 간주할 수 있습니다.

조건 내의

<\pi<\displaystyle {displaystyle {case}v> 0\0 <\theta <\pi / 2\0> \pi \{case}

는 단위 면적당 단위 시간당 순방향 운동량 전달을 산출합니다(전단 응력이라고도 함).

{\displaystyle\tau ^{\pm}={\frac{1}{4}}{\bar{v}}n\cdot m\left(u_{0}일 경우 \pm{\frac{2}{3}}l\,{du \over에}\right)}{\displaystyle ^{\pm}=bar{1}{4}{\bar{v}n\cdot m\left(u_{0}\pm{2}{3}}l,{(\over dy}\right}}.

따라서 가상 표면을 가로질러 운반되는 단위 면적당 순 운동량은 다음과 같습니다 운동량의 단위 면적당은 상상의 표면을 가로질러 운반된다 최종률이 있다.

{\displaystyle \tau=\tau ^{+}-\tau ^{-}={\frac{1}{3}}{\bar{v}}nm\cdot l\,{(\over dy}}{\displaystyle\displaystyle =\display ^{+}-\display({1}{3}{\bar{v}}nm\cdot l,{(\over dy}}.

위의 운동방정식과 뉴턴의 점도의 법칙을 결합하는 것

{\displaystyle\tau=\eta \,{마치 \over dy}}{\displaystyle\displaystyle=\eta \,{마치 \over dy}}.

:전단 점도에 하게는 희석된 가스는 일반적으로 0{\displaystyle \eta_{0}η}표시됩니다. 이 방정식을 발령한다.

{\displaystyle \eta_{0}={\frac{1}{3}}{\bar{v}}nml}{\displaystyle \eta_{0}=blac{1}{3}}{\bar{v}}nml}.

평균 자유 경로에 대한 방정식으로 이 방정식을 종합 이 평균 자유 경로에 대한 방정식과 결합하면 다음과 같이 됩니다 방정식을을 준다.

\displaystyle \eta {0}=blac {1}{3blacrt {2}}}{\flac }}

는 Maxwell-Boltzmann으로 .

{\ {v}=barfrac pi}} ={pi}

v_{p}

p

v_{p}

{

display

style v

_

{

p

} where

v_{p}

、 가장 가능성이 높은 속도입니다.주의:

N_M=m N_A}}{\displaystyle k_{B}\cdot N_{A}=R\quad {text{and}\cdot M={A}}}{text}}}{A}}}

위의 점도 방정식에 속도를 삽입한다.이를 통해 희박한 가스의 전단 점도에 대해 잘 알려진 방정식을 얻을 수 있습니다.

_}}}{\ {pi }}}}\cdfrac {\cdfrcdfrac {{{{{{\m}}}}}}}{{{{cdcdtcdt}}{cdot}{cdt}{cdt}{dt}{cdt}{

$(디스플레이 스타일$ M $)$ 은 $M$ 어금니 덩어리입니다.위의 방정식은 가스 밀도가 낮다고 가정합니다(즉, 압력이 낮습니다).이것은 운동 변환 에너지가 회전 및 진동 분자 에너지를 지배한다는 것을 의미합니다.점성 방정식은 또한 가스 분자가 한 가지 유형만 존재하며, 가스 분자는 완벽한 탄성과 구형의 단단한 핵심 입자라고 가정합니다.당구공과 같은 탄성 있고 단단한 코어 구형 분자의 이러한 가정은 한 분자의 충돌 단면을 다음과 같이 추정할 수 있다는 것을 암시합니다.

= ddisplaystyle =\pi \left(2r\right)^2}=\pi d^{2}}

$반지름$ r {\ $displaystyle$ r $}$ 은 $r$ 충돌 단면 반지름 또는 운동 반지름이라고 하며, $직경$ d {\ $displaystyle$ d $}$ 는 $d$ 단분자 기체 내 분자의 충돌 단면 지름 또는 운동 지름이라고 합니다.충돌 단면과 (완전 구형) 분자의 하드 코어 크기 사이에는 단순한 일반적인 관계가 없습니다.그 관계는 분자의 잠재적 에너지의 모양에 따라 달라진다.실제 구형 분자(즉, 귀한 가스 원자 또는 상당히 구형 분자)의 경우, 상호작용 전위는 경질 코어 반지름보다 더 긴 거리에서 다른 분자를 끌어당기는 음의 부분을 가진 레너드-존스 전위 또는 모스 전위와 더 유사하다.제로 레너드-존스 전위의 반지름은 운동 반경의 추정치로 사용하는 것이 적절하다.

열전도율 및 열유속

위와 유사한 논리에 따라 희가스의 열전도율^[21] 운동 모델을 도출할 수 있다.

가스층으로 분리된 두 개의 평행 플레이트를 고려합니다.두 판 모두 온도가 균일하고 가스층에 비해 매우 질량이 커서 열 저장고로 취급할 수 있습니다.상부 플레이트의 온도가 하부 플레이트보다 높습니다.기체층 내 분자는 분자운동에너지 $\varepsilon$ 를 $\varepsilon$ 가지며, 하부 플레이트 위 $거리$ y(\ $displaystyle$ y $)$ 에 따라 균일하게 증가한다.비균형 에너지 흐름은 맥스웰-볼츠만의 분자 운동 평형 분포에 중첩된다.

$\varepsilon _{0}$ 0 { $displaystyle$ \ $varepsilon$ _ { $0$ } ε $\varepsilon _{0}$ ε 、가스층 내부의 가상의 수평 표면에서 가스의 분자 운동 에너지로 한다. $가스층$ 한쪽 $영역$ $(\displaystyle dA)$ 에 $dA$ 도달하는 분자의 수는 속도v(\ $displaystyle$ v $)$ 가 $v$ $dt$ 에서 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 이고 $\theta$ , 시간 $간격$ d(\ $displaystyle$ dt $)$ 는 $dt$ 다음과 같습니다.

cos(\times \v^{dvT}\오른쪽)^{-{\frac {m{2}{2k_{B}T}}}}}}}}}(v^{dv^{dv}\ta})

이 분자들은 가스층 위아래에 l $l\cos \theta$ (\ $displaystyle$ l $\cos\theta)$ $l\cos \theta$ 에서 $l\cos \theta$ 마지막 충돌을 일으켰고, 각각의 분자 운동 에너지를 기여합니다.

(\}\ \theta \dyright),}(\displaystyle \varepsilon ^{\pm}=\left(\pm mcos {0}\cos {\t}\t}\cos {\t}\t}\cos {\t}\t}\t}\t}\ta,\ta,\

c_{v}

서 c v

\

는

c_{v}

특정 열용량입니다.위에서부터의 분자에 플러스 부호가 적용되고 아래는 마이너스 부호가 적용됩니다.온도

dT/dy

dT/dy

y

(\displaystyle dT/

dy)는

dT/dy

평균 자유 경로 거리에 걸쳐 일정한 것으로 간주할 수 있습니다.

제약 조건 내의 모든 적절한 속도에 대한 통합

{case}v> 0\0 <\theta <\pi / 2\\0 <\phi < 2\pi \end {case}

는 단위 면적당 단위 시간당 에너지 전달을 산출합니다(열 플럭스라고도 함).

\displaystyle q_{y}^{\pm}=-{\frac {1}{4}{\bar {v}n\cdot \left(\varepsilon _{0}\pm {frac {2}{3}}mc_{v}l,{dT \over dy}\right}}

위로부터의 에너지 전달은 $\displaystyle -y$ 방향이며 $-y$ , 따라서 방정식의 전체 마이너스 기호입니다.가상 표면을 가로지르는 순 열 유속은 다음과 같습니다.

= {}^{-}=-{\ { dydisplaystyle = q_{y}^{-}=-{\frac1}-{y}=-{}nmc}nmc}

위의 운동방정식과 푸리에의 법칙의 결합

q=-\ dydisplaystyle q=-\kappa},{dT \over dy})

는 열전도율에 대한 방정식을 제공합니다. 열전도율은 희가스일 경우 일반적으로

\kappa _{0}

0

(\

_

{0})

으로

\kappa _{0}

표시됩니다.

}{\displaystyle \kappa _{0}=blac {1}{3}}{\bar {v}nmc_{v}l}

및

위와 유사한 논리에 따라 희가스의 질량 확산도에^[21] 대한 운동 모델을 도출할 수 있다.

동일한 가스의 층에 의해 완전히 평평하고 평행한 경계를 가진 동일한 가스의 두 영역 사이에 일정한 확산이 있다고 가정합니다.두 영역 모두 번호 밀도가 동일하지만 상위 영역은 하위 영역보다 번호 밀도가 높습니다.정상 상태에서는, 임의의 점에서의 수밀도는 일정합니다(즉, 시간에 의존하지 않습니다).단, 레이어 내의 $수밀도$ n $(디스플레이 스타일$ n $)$ 은 $n$ 하부 플레이트 위의 $거리$ y $(디스플레이 스타일$ y $)$ 에 $y$ 따라 균일하게 증가합니다.비균형 분자 흐름은 맥스웰-볼츠만의 분자 운동 평형 분포에 중첩된다.

$n_{0}$ 0 $n_{0}$ { $displaystyle n$ _ { $0$ }을 $n_{0}$ (를) 층 내부의 가상의 수평 표면에서 가스의 수치 밀도로 $n_{0}$ . $가스층$ 한쪽 $영역$ $(\displaystyle dA)$ 에 $dA$ 도달하는 분자의 수는 속도v(\ $displaystyle$ v $)$ 가 $v$ $dt$ 에서 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 이고 $\theta$ , 시간 $간격$ d(\ $displaystyle$ dt $)$ 는 $dt$ 다음과 같습니다.

cos(\times \v^{dvT}\오른쪽)^{-{\frac {m{2}{2k_{B}T}}}}}}}}}(v^{dv^{dv}\ta})

이들 분자는 가스층 위아래에 l $l\cos \theta$ (\ $displaystyle$ l $\cos$ \ $theta)$ $l\cos \theta$ 에서 $l\cos \theta$ 마지막 충돌을 일으켰다.여기서 국소수 밀도는

n}\ \theta \right}\displaystyle n^{\pm}=\left(n_{0}\pm l\cos \theta,{dn \over dy}\right})

위에서부터의 분자에 플러스 부호가 적용되고 아래는 마이너스 부호가 적용됩니다.수치밀도 $dn/dy$ $dn/dy$ n $dn/dy$ / $dn/dy$ y \ $displaystyle$ dn $/dy$ 는 $dn/dy$ 평균 자유 경로 거리에 걸쳐 일정하다고 간주할 수 있습니다.

조건 내의

<\pi<\displaystyle {displaystyle {case}v> 0\0 <\theta <\pi / 2\0> \pi \{case}

는 단위 면적당 단위 시간당 분자 전달을 산출합니다(확산 플럭스라고도 함).

{display style J_{}={\frac {4}}{\frac {cd}}}{\bar}}{\fright}}}{\fr}}}}{\cd}}}}

위로부터의 분자 전달은 $(표시$ 스타일 $-y)$ 방향이며 $-y$ , 따라서 방정식의 전체 마이너스 기호입니다.가상 표면을 가로지르는 순 확산 플럭스는 다음과 같습니다.

J}^{-}=-{\bar displaystyle J=J_{y}^{-}=-{\frac {1}{{\dn \over}}

위의 운동 방정식을 Fick의 확산 제1법칙과 결합하는 것

J= dydisplaystyle J=-D{dn \over dy}}

는 질량 확산도에 대한 방정식을 제공합니다. 이 방정식은 희석 가스일 경우

일반적

으로 D

D_{0}

(\

displaystyle

D_

{0

})으로

D_{0}

D_{0}

됩니다.

}{\displaystyle D_{0}=blac {1}{3}}{\bar {v}l}

「」도 .

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읽기 ★★★★★★★★★★★★★★」

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외부 링크

물리 화학 – 가스
초기 가스 이론
열역학 - 온라인 교과서의 한 장
이상적인 기체의 온도와 압력: 프로젝트 물리망의 상태 방정식.
Upper Canada District School Board에서 기체의 운동 분자 이론 소개
아칸소 대학의 운동 이론을 설명하는 자바 애니메이션
HyperPhysics의 운동 이론 개념을 연결하는 흐름도
대화형 Java 애플릿을 통해 고등학생들이 다양한 요인이 화학 반응 속도에 어떤 영향을 미치는지 실험하고 발견할 수 있습니다.
https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A 가스의 열 교반 시연 장치.

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