POVM

기능 분석과 양자 측정 이론에서, 양성 사업자 가치 측정(POVM)은 힐버트 공간의 양성 반확정 연산자 값을 갖는 척도다.POVM은 투영 값 측정(PVM)의 일반화이며, 이에 상응하여, POVM에 의해 기술된 양자 측정은 PVM에 의해 기술된 양자 측정의 일반화(투영 측정이라고 함)이다.

대략적으로 보아, POVM은 PVM과 순수한 상태의 혼합상태다.혼합 상태는 더 큰 시스템의 서브시스템 상태를 지정하기 위해 필요하다(양자 상태의 정화 참조). 이와 유사하게, POVM은 더 큰 시스템에서 수행되는 투영적 측정의 서브시스템에 미치는 영향을 설명하기 위해 필요하다.

POVM은 양자역학에서 가장 일반적인 종류의 측정이며 양자장 이론에서도 사용될 수 있다.^[1]그것들은 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.

정의

가장 간단한 경우, 한정된 수의 요소가 유한한 힐버트 공간에 작용하는 POVM의 경우 POVM은 힐버트 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\displaystyle$ ${\$$displaystyle {\\$$mathcal {H}}$에 있는$$$$ 양의 반확정 행렬${\displaystyle }$집합이다.^{[2]: 90}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{n}=\operatorname {I}.}$

양자역학에서 POVM 요소 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 양자 상태 $\rho {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle i}$과$($와$)$ 연관되어$$, 양자 상태 when {\$displaystyle \rho}$에서 측정할 때 얻을 확률은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \text{Prob}}$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$ F ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle {\Prob}(i)}=\operatorname {tr}(\rho F_{i$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle \propername {tr}$은$($는) 추적 연산자다.측정할 양자 상태가 순수 상태 ${\displaystyle \psi \rangele}$인 경우 이$$ 공식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \text{Prob}}$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\psi }$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle ⟨}$ ψ ${\displaystyle \psi }$ F ${\displaystyle i_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i{}_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ { ${{\displaystyle {\text{Prob}}}=\operatorname {tr}(\psi$\angle $\langle$ \langle $\psi F_{i$

POVM의 가장 단순한 경우는 PVM의 가장 단순한 사례로, ID 매트릭스를 합한$$ 직교 프로젝터${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}}$의 집합이다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I},\quad \Pi _{i}\j}=\delta _{ij}\i}\Pi _{i}.}$

PVM에 대한 확률 공식은 POVM과 동일하다.중요한 차이점은 POVM의 요소가 반드시 직교하는 것은 아니라는 것이다.따라서 POVM의 요소$$ 수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 해당 요소가 작용하는 힐버트 공간의 치수보다 클 수 있다.한편, PVM의$$ $요소{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle N}$의 수는 기껏해야 힐버트 공간의 차원이다.

일반적으로 POVM은 요소의 수와 힐버트 공간의 치수가 유한하지 않은 상황에서도 정의될 수 있다.

정의.Let ${\displaystyle (X,M)}$ be measurable space; that is ${\displaystyle M}$ is a σ-algebra of subsets of ${\displaystyle X}$. A POVM is a function ${\displaystyle F}$ defined on ${\displaystyle M}$ whose values are bounded non-negative self-adjoint operators on a Hilbert space ${\displays$$Tyle {\mathcal {H}($$F$ (${\displaystyle X}$ ${\displaystyle )}$= I ${\displaystyle {H\mathcal{}}_{}}$ ${\$ 및$$ 모든${\displaystyle every\mathcal{}}$ H ${\$ {$H$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \angle \({{}E\in M)}$

σ-algebra $M{\displaystyle }${\$displaystyle M$}에 음이 아닌 가법적 측정이다$.$

Its key property is that it determines a probability measure on the outcome space, so that ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ can be interpreted as the probability (density) of outcome ${\displaystyle E}$ when making a measurement on the quantum state ${\displaystyle \psi \rangle }$.

이 정의는 투영 값 측정의 정의와 대조되어야 하며, 투영 값 측정의 경우 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 값이 투영 연산자가 되어야$$ 한다는 점을 제외하고는 이와 유사하다.

나이마르크의 팽창 정리

주: 이것의 대체 철자는 "Neumark의 정리"이다.

나이마크의 확장 정리는^[3] 더 큰 공간에 작용하는 PVM에서 POVM을 얻을 수 있는 방법을 보여준다.이 결과는 물리적으로 POVM 측정을 실현할 수 있는 방법을 제공하기 때문에 양자역학에서 매우 중요하다.^{[4]: 285}

In the simplest case, of a POVM with a finite number of elements acting on a finite-dimensional Hilbert space, Naimark's theorem says that if ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ is a POVM acting on a Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ of dimension ${\displaystyle d_{$$A}}$, then there exists a PVM ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ acting on a Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ of dimension ${\displaystyle d_{A'}}$ and an isometry ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal$$$$모든{\displaystyle }$ i {\$displaystyle i}$에 대해 ${H$$}$$_{A$$\text{'}\},$

${\displaystyle F_{i}=V^{\doger }\Pi _{i}V.}$

One way to construct such a PVM and isometry^[5][6] is to let ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$, ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes i\rangle \langle i _{B}}$, and

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt{F_{i}}_{{}}}{{n}}A}\time { i\rangele }_{B}.}$

이 PVM으로 결과$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 얻을 확률은 원래 POVM으로 적절하게 변환할 확률과 동일하다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{Prob}(i)&=\operatorname {tr} \reft(V\rho _{A}V^{\dager }\Pi _{i}\right)\\\&=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dager }\left[\operatorname {I} _{A}\time i\langle i _{B}\right]\right)\\\\\\\\\\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}\left(\sum _{j=1}^{n}{\sqrt{F_{j}}}}}_{{}}}}}{{{}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}A}^{\dagger }\otimes {\langle j }_{B}\right)\operatorname {I} _{A}\otimes i\rangle \langle i _{B}\left(\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {F_{k}}}_{A}\otimes { k\rangle }_{B}\right)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}{{A}}{F_{i}}}_{A}\operatorname {I} _{A}{\sqrt {F_{I}}}_{A}\right)\\\\&=\operatorname {tr}(\rho F_{i}\ended{aigned}}}}}}$

이 구조는 등위계 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) $단일{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U},$즉 $U$ ${\displaystyle U}$로 확장하여 POVM의 물리적 실현을 위한 레시피로 바꿀 수 있다.

${\displaystyle V=U(\operatorname {I} _{A}\otimes 0\rangele _{B}).}$

이것은 언제나 할 수 있다.The recipe for realizing the POVM measurement described by ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ on a quantum state ${\displaystyle \rho }$ is then to prepare an ancilla in the state ${\displaystyle 0\rangle _{B}}$, evolve it together with ${\displaystyle \rho }$ through the unit아리 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U$ , PVM${\displaystyle }${i ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle }$⟨ i${\displaystyle i}$ i i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$} i = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$i$_{B}\}_{i=1$}^{n$}}}}}$에 의해 설명된 안키야에서 투영 측정을 수행하십시오$.$

Note that in this construction the dimension of the larger Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ is given by ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$. This is not the minimum possible, as a more complicated construction gives ${\displaystyle d_{A'}=n}$ (assuming that $$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$^{[4]: 285}

측정 후 상태

사후 측정 상태는 POVM 자체에 의해서가 아니라, 물리적으로 그것을 실현하는 PVM에 의해서 결정된다.동일한 POVM을 실현하는 PVM은 무한히 다양하기 때문에$,{\displaystyle }$ 사업자 {${\displaystyle {Fi}_{}{}_{}^{}}$}${\displaystyle i_{}^{}}$ = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$\{$F_{i}\}_{i=1}^{n}}}$ 단독으로$$ 측정 후 상태가 어떻게 될지는 결정하지 않는다.이를 확인하려면 단일 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 운영자의$$ 경우

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt{F_{i}}}}$

또한 ${\displaystyle {Mi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Mi}_{}}$= F ${\displaystyle i_{}}$ ${\$라는 속성을 가질 것이다.$F_{{i$ 등각계를 사용하도록

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{{{}}}{{{}}}}{{{}}}}}{{}}A}\otimes {i\rangele }_{B}}}$

위의 구성에서 또한 동일한 POVM을 구현할 것이다.측정 대상 상태가 순수 상태 ${\displaystyle {case}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$⟩{\$displaystyle \psi \rangele _{$A}인 경우$,$ 결과 $U{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle U_{W}}$은(는) Ancilla와 함께 이를 사용하여$$ 상태를 표시한다.

${\displaystyle U_{W}(\psi \rangele _{A} 0\rangele _{B}=\sum _{i=1}^{n}M_{i} \psi \rangele _{B}})$

${\displaystyle 그리고}$ 안치라에 대한 투영 측정은 measurement ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ 상태로$$^{[2]: 84} 축소된다.

${\displaystyle \psi '\rangele _{A}={\frac {M_{i_{0}} \psi \langle \langle \psi M_{0}^{\dager }M_{i_{0}}}}} \psi \rangele }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

결과 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 얻었을 때$.$측정 대상 상태를 밀도 행렬 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ A ${\$로 설명할 때$,$ 해당 사후 측정 상태는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

따라서 측정 후 상태는 $명시적$으로 단일$$W {\$displaystyle$W}에 따라 달라지는 것을 알 수 있다$.$

투영 측정과 또 다른 차이점은 POVM 측정은 일반적으로 반복할 수 없다는 것이다.첫 번째 측정 결과 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 얻은 경우$$, 두 번째 측정에서$$ 다른 결과 i ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}을 얻을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1} i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$$$,

${\displaystyle {Mi{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle {{Mi\mathrm{}}_{}}_{}}$1 {\$displaystyle$ M_${i_{1}}$이(가) 직교하지 않으면$$ 0이 아닐 수 있다.투영 측정에서 이러한 연산자는 항상 직교하므로 측정은 항상 반복 가능하다.

예: 모호하지 않은 양자 상태 차별

여러분이 알고 있는 2차원 Hilbert 공간의 양자 시스템이 상태${\displaystyle \psi }${\$displaystyle \psi \rangele$} 또는 상태$$ $\$ {\$displaystyle \varphi \rangele }$에 있다고 가정해 보십시오$.$If ${\displaystyle \psi \rangle }$ and ${\displaystyle \varphi \rangle }$ are orthogonal, this task is easy: the set ${\displaystyle \{ \psi \rangle \langle \psi , \varphi \rangle \langle \varphi \}}$ will form a PVM, and a projective measurement in this basis will determi확실히 국정을 회복하다그러나 ${\displaystyle \psi }$ {\$displaystyle \psi \rangele }$과 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle \varphi \rangele }$이(가) 직교하지 않으면$$ PVM이나 POVM 중 어느 쪽도 확실하게 구별할 수 있는 측정치가 없다는 점에서 이 작업은 불가능하다.^{[2]: 87} 비직교적 상태를 완벽하게 구분하는 것이 불가능하다는 것은 양자암호화, 양자코인 플립, 양자화폐 등 양자정보 프로토콜의 기본이다.

모호하지 않은 양자 상태 차별(UQSD)의 과제는 차선책으로서, 때로는 결론에 도달하지 못한 결과를 초래하는 대가로 국가가 at ${\displaystyle \psi \rangele$ $\}$인지 아니면${\displaystyle \phi }${\$displaystyle \varphi \rangele }$인지 결코 실수하지 않는 것이다.투영적인 측정으로 이것을 할 수 있다.^[7]For example, if you measure the PVM ${\displaystyle \{ \psi \rangle \langle \psi , \psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp } \}}$, where ${\displaystyle \psi ^{\perp }\rangle }$ is the quantum state orthogonal to ${\displaystyle \psi \rangle }$, and obtain result ${\displaystyle \psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp } }$, then you know with certainty that the state was ${\displaystyle \varphi \rangle }$. If the result was ${\displaystyle \psi \rangle \langle \psi }$, then it is inconclusive.The analogous reasoning holds for the PVM ${\displaystyle \{ \varphi \rangle \langle \varphi , \varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp } \}}$, where ${\displaystyle \varphi ^{\perp }\rangle }$ is the state orthogonal to ${\displaystyle \varphi \ran$$}$을(를) 빛내다$.$

그러나 이것은 만족스럽지 못하다. 단일한 측정으로$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \backslash }$ ${\displaystyle \psi \rangele}$과 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi \rangele$}을$($를) 모두 탐지할 수 없고 결정적인 결과를 얻을 확률은 POVMs보다 작기 때문이다. 이 작업에서 결정적인 결과의 가장 높은 확률을 제공하는 POVM은 giVM이다.을 존경하다.

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+ \langle \varphi \psi \rangle }}}\varphi ^{\perp }}}}}}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+ \langle \varphi \psi \rangle }}}}\psi ^{\perp }}}}}$

$F_{\displaystyle F_{?}}}}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }}}}}}$

Note that ${\displaystyle \operatorname {tr} ( \varphi \rangle \langle \varphi F_{\psi })=\operatorname {tr} ( \psi \rangle \langle \psi F_{\varphi })=0}$, so when outcome ${\displaystyle \psi }$ is obtained we are certain that the quantum state is ${\displaystyle \psi ⟩}$$[\displaystyle \cHBLE$ $\},$ 그리고 결과 $\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi }$을(를) 얻었을 때 양자 상태는 ${\displaystyle \phi }$ φ$$ {\$displaystyle$ \$varphi \rangele$ $\}$임이 확실하다.

결정적인 결과를 얻을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle 1- \langle \varphi \varphi \langle ,}$

양자 시스템이 동일한 확률로$$ state 상태 ${\displaystyle$\ \\$rangele }$ ${\displaystyle 또는}$ ${\displaystyle \{}${\$displaystyle \varphi \rangele }$인 경우.이 결과는 UQSD 연구를 개척한 저자들의 이름을 딴 이바노비치-딕스-페레스 한계로 알려져 있다.^[9][10][11]

위의 구조를 사용하여 우리는 이 POVM을 물리적으로 실현하는 투영적 측정을 얻을 수 있다.POVM 요소의 제곱근은 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {F_{\psi }}={\frac {1}{\sqrt {1+ \langle \varphi \psi \rangele }} \varphi ^{\langle \varphi ^{\\\perp }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{\barphi }}={\frac {1}{\sqrt {1+ \langle \varphi \psi \rangle \langle \p }}} \psi ^{\langle }}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {F_{?}}}}={\sqrt {\frac {2 \langle \varphi \langle \rangele }{1+ \langle \varphi \langle \langle \langle,}}}$

어디에,

${\displaystyle \rangele ={\frac {1}{\sqrt {2+ \langle \varphi \langle \varphi \rangle )}}}(\cH00 \langle \varphi \rangele }).}$

${\displaystyle \text{결과}\{}${\$displaystyle${\$text{result?$의 세 가지 가능한 안실라 상태 라벨 표시$}}\rangele$ $\},$ ${\displaystyle {\$displaystyle${\text}}\$rangele$$$\},$ ${\displaystyle \text{결과}\text{φ}}$ ${\displaystyle{\text}}\rangele$ $\},$ 상태 ${\displaystyle \text{결과}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystystyle {\\\\text${\$reget?$$}}}\rangele$ $결과{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{UQSD}}_{}}${\$displaystyle U_{\$text{}이($가)$ 확인됨$UQSD}}$은(는) ${\displaystyle \psi \rangele}$ 상태와 anicilla를 함께$$$$ 표시함

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}(\psi \rangele {\text{result ?}}}\rangele )={\sqrt{1- \langle \varphi \langle \langle \langle \barphi \langle \langle \langle \langle \langle }}}}}}\varp \langle {\langle?}}}\랑글,}$

그리고 이와 유사하게 ${\displaystyle \varphi \rangele}$을(를) 다음 항목과 함께$$ 사용한다.

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}( \varphi \rangele {\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1- \langle \varphi \psi \rangle }} \psi ^{\perp }\rangle {\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi \psi \rangle )}{\sqrt { \langle \varphi \psi \rangle }} \gamma \rangle {\text{result ?}}}\rangele .}$

그런 다음, 안실라에 대한 측정은 POVM과 동일한 확률로 원하는 결과를 제공한다.

이 POVM은 광자의 비직교 편광 상태를 실험적으로 구별하기 위해 사용되었으며, 자유도 경로를 보조 도구로 사용했다.투영적 측정을 통한 POVM의 실현은 여기에서 설명한 것과 약간 달랐다.^[12][13]

참고 항목

• SIC-POVM
• 양자 측정
• 양자역학의 수학적 공식화
• 밀도 행렬
• 양자 연산
• 투영 값 측정값
• 벡터 측정

참조

• POVM
  • K. Kraus, States, Effects, Operation, Rel강 노트 in Physics 190, Springer(1983).
  • E.B.Davies, Quantum 이론 of Open Systems, Academic Press (1976년)
  • A.S. Holevo, 양자 이론의 확률론적이고 통계적인 측면, North-Holland Public.사이, 암스테르담(1982)

외부 링크

• 양자 상태 차별에 대한 대화형 데모