자유 입자

Free particle

물리학에서 자유 입자는 어떤 의미에서 외부 힘에 의해 구속되지 않는 입자 또는 그것의 잠재적 에너지가 변화하는 지역에서 동등하게 구속되지 않는 입자다. 고전 물리학에서 이것은 이 입자가 "필드 프리" 공간에 존재한다는 것을 의미한다. 양자역학에서 그것은 입자가 균일한 전위 영역에 있다는 것을 의미하며, 우주 어느 지점에서든 임의로 0으로 설정될 수 있기 때문에 관심 영역에서 보통 0으로 설정된다.

고전적 자유입자

고전적인 자유 입자는 고정 속도 v로 특징지어진다.추진력은 에 의해 주어진다.

그리고 운동 에너지(총 에너지와 비교됨)에 의해
여기서 m은 입자의 질량이고 v는 입자의 벡터 속도다.

양자자유입자

1d 단위의 드 브로글리 의 전파 - 복합 진폭의 실제 부분은 파란색, 상상의 부분은 녹색이다. 주어진 지점 x에서 입자를 찾을 확률(색깔 불투명도라고 표시)은 파형처럼 펼쳐지지만, 입자의 명확한 위치가 없다. 진폭이 0 이상으로 증가하면 곡면성이 감소하므로 다시 감소하며, 그 반대의 경우 - 결과는 교대 진폭: 파형이 된다. 상단: 평면파. 아래쪽: 웨이브 패킷.

수학적 설명

비상대적 양자역학에서 질량 을(를) 갖는 자유 입자는 자유 슈뢰딩거 방정식으로 설명된다.

여기서 ψ은 위치 r과 시간 t에서 입자의 파동함수다. 각도 주파수 Ω 또는 에너지 E에서 모멘텀 p 또는 파형 벡터 k를 가진 입자에 대한 용액은 복잡한 평면 파형에 의해 주어진다.

진폭 A를 포함하며 다음으로 제한됨:

  1. 입자에 질량 := 또는 동등한 = 2 E
  2. 입자가 질량이 없는 입자인 경우: = k

고유값 스펙트럼은 각 고유값 E>0에 대해 의 다른 방향에 해당하는 무한히 많은 고유특성이 존재하기 때문에 무한히 퇴보된다

De Broglie : = ∆ , = E이(가) 적용된다. 전위 에너지는 0이기 때문에 총 에너지 E는 고전 물리학에서와 동일한 형태를 갖는 운동 에너지와 동일하다.

자유 입자 또는 바인딩된 모든 양자 입자에 대해서는 하이젠베르크 불확실성 원칙 p x x 2 x{\}}}가 적용된다. 평면파가 확실한 운동력(확실한 에너지)을 가지고 있기 때문에 입자의 위치를 찾을 확률은 공간 전체에 걸쳐 균일하고 무시할 수 있다는 것은 분명하다. 즉, 유클리드 공간에서는 파동 기능이 정규화될 수 없으며, 이러한 정지 상태는 물리적으로 실현 가능한 상태에 해당할 수 없다.[1]

측정 및 계산

확률밀도함수의 정수

여기서 *는 복잡한 결합을 의미하며, 모든 공간은 모든 공간에서 입자를 찾을 확률을 의미하며, 입자가 존재할 경우 합성이어야 한다.

이것이 파동함수의 정상화 조건이다. 파동 기능은 평면 파동에 대해 정규화할 수 없지만, 파동 팩트에 대한 것이다.

웨이브패킷 로컬리제이션의 양이 증가하여 입자가 더 현지화됨을 의미한다.
한계 ħ → 0에서는 입자의 위치와 운동량이 정확히 알려지게 된다.
하나의 차원에 있는 하나의 스핀-0 입자에 대한 파동 함수의 해석. 표시된 파동 기능은 연속적이고 유한하며 단일 값이며 정규화된 것이다. 입자의 색상 불투명도(%)는 X 축의 지점에서 입자를 찾는 확률 밀도(%)에 해당한다.

푸리에 분해

자유 입자파 함수는 초기 파동 함수의 푸리에 변환에 의해 주어진 계수로 모멘텀 고유 기능의 중첩으로 나타낼 수 있다.[2]

여기서 적분은 모든 k-space와 Ω = ( k)= k \hbar \파형 패킷이 자유 입자 Schrödinger 방정식의 솔루션인지 확인). Here is the value of the wave function at time 0 and is the Fourier transform of . (The Fourier transform is essentially the m위치파 함수 0 ) o멘텀파 함수지만 = k 의 함수로 기록된다

복잡한 평면 파형에 대한 모멘텀 p의 기대값은 다음과 같다.

그리고 일반적인 파도 패킷은

에너지 E의 기대값은

그룹 속도 및 위상 속도

단일 피크의 움직임이 보라색으로 음영 처리된 파형 패킷의 전파. 피크는 위상 속도로 이동하는 반면 전체 패킷은 그룹 속도로 이동한다.

위상 속도는 평면파 용액이 전파되는 속도, 즉,

은(는) p p을(를) 가진 고전 입자의 속도가 아니라 고전 속도의 절반이라는 점에 유의하십시오

한편, 초기파 함수 이 특정파 k }{에 푸리에 변환 ^ displaystystyle {이(가)가 집중된 파형 패킷이라고 가정하면 평면파의 그룹 속도는 다음과 같이 정의된다

입자의 고전 속도에 대한 공식과 일치한다. 그룹 속도는 전체 파형 패킷이 전파되는 (대략) 속도인 반면, 위상 속도는 파형 패킷에서 개별적인 최고 속도가 이동하는 속도다.[3] 도표는 파장 패킷 내의 개별 피크가 전체 패킷의 절반 속도로 전파되는 이러한 현상을 보여준다.

웨이브 패킷 확산

그룹 속도의 개념은 의 특정 값 근처에 있는 분산 관계 ) 에 대한 선형 근사치를 기반으로 한다[4] 이 근사치에서 파형 패킷의 진폭은 형상을 바꾸지 않고 그룹 속도와 동일한 속도로 이동한다. 이 결과는 자유 양자 입자인 진화의 어떤 흥미로운 측면을 포착하지 못하는 근사치다. 특히, 위치의 불확실성에 의해 측정되는 파장 패킷의 폭은 큰 시간에 맞춰 선형적으로 커진다. 이 현상을 자유 입자를 위한 파장 패킷의 확산이라고 한다.

구체적으로 시간의 함수로서 불확도 Δ ( ) 에 대한 정확한 공식을 계산하는 것은 어렵지 않으며, 여기서 위치 연산자다. 단순성을 위해 하나의 공간적 차원으로 작업하면서 다음과 같은 이점을 누렸다.[5]

여기서 시간 영파 함수다. 오른쪽의 두 번째 항에서 괄호 안에 있는 표현은 의 양자 공분산이다

Thus, for large positive times, the uncertainty in grows linearly, with the coefficient of equal to . If the momentum of the initial wave function is highly localized, the wave p아켓은 천천히 퍼져나갈 것이고 그룹-생성 근사치는 오랫동안 좋은 상태를 유지할 것이다. 직관적으로 이 결과는 초기 파형 함수가 매우 뚜렷하게 정의된 운동량을 가지면 입자의 속도가 뚜렷하게 정의되고 (좋은 근사치에) 오랫동안 이 속도로 전파된다는 것을 말해준다.

상대론적 양자자유입자

상대론적 입자를 설명하는 많은 방정식이 있다: 상대론적 파동 방정식을 참조하라.

참고 항목

참조

  • Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed, Addison Wesley, Fatrentice Hall Inc., 2004, ISBN978-0-13-146100-0
  • 원자, 분자, 고체, 및 입자의 양자물리학(2판), R. 아이즈버그, R. 레스닉, 존 와일리 & 선스, 1985년 ISBN 978-0-471-87373-0
  • 정지 상태, A. 홀든, 대학 물리학 모노그래프 (미국), 옥스퍼드 대학 출판부, 1971, ISBN 0-19-851121-3
  • Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
  • Quantum Mechanics demystified, D. 맥마흔, 맥 그라우 힐 (미국), 2006, ISBN 0-07-145546 9
  • 초급 양자역학, N.F. 모트, 와이케엄 사이언스, 와이케엄 프레스(테일러 & 프랜시스 그룹), 1972년 ISBN 0-85109-270-5
  • Quantum mechanics, E. 자루르, Y. Pelleg, R. Pnini, Schaum의 Outline, McGraw Hill (미국), 1998, ISBN 007-0540187
특정
  1. ^ "Lecture 9" (PDF).
  2. ^ 홀 2013 섹션 4.1
  3. ^ Hall 2013 섹션 4.3 및 4.4
  4. ^ 홀 2013 방정식 4.24
  5. ^ 홀 2013 제안 4.10

추가 읽기

  • 새로운 양자 우주, T.헤이, P.Walters, Cambridge University Press, 2009 ISBN 978-0-521-56457-1
  • 양자장 이론, D. 맥마흔, 맥 그라우 힐 (미국), 2008, ISBN 978-0-0-07-154382-8
  • Quantum mechanics, E. 자루르, Y. Pelleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, McGraw Hill(미국), 2006, ISBN 978-007-145533-6