임계 지수

임계 지수는 연속 위상 전환에 가까운 물리적 수량의 동작을 설명한다. 입증되지는 않았지만 보편적인 것으로 믿어지고 있다. 즉, 물리적 시스템의 세부사항에 의존하지 않고 일부 일반적인 특징에만 의존한다. 예를 들어 강자성 시스템의 경우 임계 지수는 다음에만 의존한다.

그 체계의 치수
상호작용의 범위
스핀 치수

임계 지수의 이러한 속성은 실험 데이터에 의해 지원된다. 해석 결과는 이론적으로 높은 차원의 평균장 이론이나 2차원 Ising 모델과 같은 정확한 해법이 알려졌을 때 달성될 수 있다. 일반 치수의 이론적 처리를 위해서는 리노말화 그룹 접근법 또는 정합성 부트스트랩 기법이 필요하다. 위상 전환과 임계 지수는 액체-증기 전환시 물, 자기계통, 초전도성, 과대변형 및 난류 유체와 같은 많은 물리적 시스템에서 나타난다. 평균 필드 지수가 유효한 위의 임계 치수는 시스템에 따라 다르며 무한할 수도 있다. 그것은 액체-증기 전환의 경우 4개, 과대포장의 경우 6개, 난류의 경우 아마도 무한정이다.^[1] 평균 필드 임계 지수는 무한 치수 시스템으로 간주할 수 있는 Erdds-Rény 그래프와 같은 랜덤 그래프에도 유효하다.^[2]

정의

위상 전환을 주도하는 제어 매개변수는 종종 온도일 수 있지만 압력 또는 외부 자기장과 같은 다른 거시적 변수가 될 수도 있다. 단순성을 위해 다음의 논의는 온도의 측면에서 효과가 있다; 다른 제어 매개변수로의 변환은 간단하다. 전환이 일어나는 온도를 임계 온도 $T$ 라고_c 한다. 우리는 임계 온도에 대한 동력 법칙의 관점에서 물리적 양 $f$ 의 행동을 설명하고 싶다; 우리는 감소된 온도를 소개한다.

\tau :={\frac {T-T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}}}}}}}}}

위상 전환 시 0이며 임계 $지수$ k $k$ 을(를) 정의하십시오 $k$

k\,{\stackrel {\def}{=}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log f(\tau )}{\log \tau }}}

이로 인해 우리가 찾고 있던 전력법은 다음과 같다.

\displaystyle f(\tau )\propto \tau ^{k}\...\reason \tau \to 0}

이것은 함수 $f (τ)$ 의 점근거동을 $τ$ → $0$ 으로 나타낸다는 것을 기억해야 한다.

더 일반적으로는 예상할 수 있다.

f(\displaystyle f(\tau )=A\tau ^{k}\왼쪽(1+b\tau ^{k_{1}+\cdots \right)}

가장 중요한 중요 지수

시스템이 $T$ 와_c 그 이상에서 사라지는 주문 매개변수 $ψ$ 으로 특징지어지는 두 개의 상이 있다고 가정해 보자.

불순위상( $ττ$ > $0$ ), 순서상( $τ$ phase < 0), 임계온도( $ττ$ = 0) $상$ 은 별도로 고려한다. 표준 규약에 따라 순서 단계와 관련된 임계 지수가 준비된다. 정렬되지 않은(순서된) 상태에 대해 위첨자/구독자 + (-)를 사용하는 것도 또 다른 표준 규약이다. 일반적으로 자연 대칭 파괴는 순서가 정해진 단계에서 발생한다.

정의들
$Ψ$	순서는 매개 변수(예를 들어.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.Border-top:liquid–gas 임계점에 1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}ρ − ρc/ρc, 퀴리 점에 대해 자화 등).
$τ$	$T - T c / T c$
$f$	특정 자유 에너지
$C$	특정 열; $-T \partial 2 f /\partial T 2$
$J$	선원장( $예$ : $P$ 가_c 압력이고_c $P$ 가_c 액체 가스 임계점에 대한 임계 압력, 화학적 전위 감소, 퀴리 지점에 대한 자기장 $H$ )
$χ$	민감성, 압축성 등; $\partial ψ /\partial\partial J$
$ξ$	상관 길이
$d$	공간 치수의 수
$⟨ ψ (x \to) ψ (y \to)⟩⟩$	상관 함수
$r$	공간 거리

다음 항목은 $J$ = $0$ 에서 평가된다( $Δ$ 항목 제외).

τ

>

0

에 대한 임계 지수(분해 위상)

그리스 문자	관계
$α$	$C \propto τ - α$
$γ$	$χ \propto τ - γ$
$ν$	$ξ \propto τ - ν$

τ

<

0

에 대한 임계 지수(순서가 지정된 위상)

그리스 문자	관계
$α'$	$C \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$γ'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$ν'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

τ

=

0

에 대한 임계 지수

그리스 문자	관계
$δ$	$J \propto ψ δ$
$η$	$⟨ ψ (0) ψ (r)⟩ r - d + 2 - η r$

임계 지수는 소스와 온도의 함수로서 특정 자유 에너지 $f (J, T)$ 에서 도출할 수 있다. 상관관계 길이는 기능 $F [J; T$ ]에서 도출할 수 있다 $.$

이러한 관계는 2차원적, 3차원적 시스템에서는 정확하게 임계점에 가깝다. 그러나 4차원에서 전력법은 로그 요인에 의해 수정된다. 이것들은 임의로 4에 가깝지만 정확히 4는 아닌 치수로 나타나는데, 이것은 이 문제를 해결하는 방법으로 사용될 수 있다.^[3]

Ising 유사 시스템의 평균 필드 중요 지수

스칼라장에 대한 임계 지수(이싱 모델이 프로토타입적인 예)의 고전적 Landau 이론(평균 필드 이론이라고도 함) 값은 다음과 같다.

\displaystyle \cHB =\premy ^}{\premy ^{1}{1}{1}{{1}\frac {1}\\flash \\premy ^{\premy}=1\#\film\preme =3}

파생어 용어를 더하면, 그것을 비열한 분야인 긴츠부르크-란다우 이론으로 바꾸면, 우리는 알게 된다.

\eta =0\...\now ={\tfrac {1}{2}}:

임계현상 연구에서 발견되는 주요 발견 중 하나는 대부분의 경우 물리적 치수 1, 2, 3을 배제한 상부 임계 치수라고 불리는 특정 치수보다 시스템의 평균장 이론이 더 높을 때만 정확하다는 것이다. 평균장 이론의 문제는 임계 지수가 공간 차원에 의존하지 않는다는 것이다. 이는 임계 치수 이하의 정량적 불일치로 이어지며, 여기서 참 임계 지수는 평균 필드 값과 다르다. 평균적인 장 이론이 여전히 하나가 있다고 예측하고 있음에도 불구하고, 사실 더 이상 중요한 지점이 존재할 수 없는 낮은 공간 차원에서도 질적 불일치로 이어질 수 있다. 위상 전환이 없는 차원 1에서 Ising 모델의 경우가 이에 해당한다. 평균장 이론이 질적으로 부정확해지는 공간 차원을 하한 임계 차원이라고 한다.

실험값

가장 정확하게 측정된 $α$ 값은 초유체 헬륨의 위상 전이(일명 람다 전이)에 대한 -0.0127(3)이다. 이 값은 우주 왕복선에서 측정하여 표본의 압력 차이를 최소화하였다.^[4] 이 값은 고온 팽창 기법, 몬테카를로 방법 및 순응 부스트랩에서 나오는 가장 정밀한 이론적 결정과^[5]^[6]^[7] 상당한 차이가 있다.^[8]

물리학의 미해결 문제:

헬륨-4의 초유체 전환에 대한 열 용량 임계 지수 $α$ 의 실험 및 이론적 결정 사이의 차이를 설명한다.^[8]

(물리학에서 더 풀리지 않은 문제)

이론적 예측

중요 지수는 격자 모델의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 평가할 수 있다. 이 첫 번째 원리 방법의 정확도는 무한 확장 볼륨 한계로 가는 능력과 통계 오류를 줄이는 능력을 결정하는 이용 가능한 계산 자원에 달려 있다. 다른 기법들은 임계 변동에 대한 이론적 이해에 의존한다. 가장 광범위하게 적용되는 기술은 재생성 그룹이다. 등각 부스트랩은 보다 최근에 개발된 기법으로, Ising 임계 지수의 경우 타의 추종을 불허하는 정확도를 달성했다.

스케일링 함수

중대한 암수에 비추어 볼 때, 우리는 무차원적 수량의 관점에서 모든 열역학적 수량을 다시 표현할 수 있다. 임계점에 충분히 근접하면, 감소된 수량의 힘의 특정 비율 측면에서 모든 것이 다시 표현될 수 있다. 스케일링 기능 입니다.

스케일링 함수의 기원은 리노말화 그룹에서 확인할 수 있다. 임계점은 적외선 고정점이다. 임계점 부근의 충분히 좁은 동네에서, 우리는 재생 집단의 작용을 선형화할 수도 있다. 이는 기본적으로 $시스템$ 을 a 계수로 재조정하는 것이 일부 $Δ$ 에 $대한 Δ$ a 계수의 재조정 연산자와 소스 필드를 a 계수로 재조정하는 것과 같다는 것을 의미한다. 따라서, 우리는 모든 수량을 재조정된 규모 독립적 수량의 관점에서 재조정할 수 있다.

스케일링 관계

임계 지수가 임계 온도 위와 아래, 예를 들어 $α$ α $α$ αα α $or$ 또는 ′ ′ $γ$ ′과 같다고 오랫동안 믿었다 $.$ 이제 이것이 반드시 사실인 것은 아니라는 것이 밝혀졌다. 연속 대칭이 (신호화 그룹 감각에서) 무관한 (신호화 그룹 감각에서) 이산 대칭으로 명시적으로 분해되는 경우, 지수 $γ$ 과 $γ'$ 은 동일하지 않다.^[9]

비판적 지수는 그리스 문자로 표시된다. 그들은 보편성 계급에 속하며 스케일링과 하이퍼스케일링 관계에 복종한다.

{\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}

이러한 방정식은 $ν$ 과 $η$ 과 같은 두 개의 독립적 지수만 있음을 의미한다. 이 모든 것은 새로 태어난 집단의 이론에서 따온 것이다.^{[clarification needed]}

애니소트로피

상관관계 길이가 방향에 따라 달라지는 일부 비등방성 시스템이 있다. 색상은 다얀 외 연구실을 참조한다.^[10]

방향 퍼콜레이션은 또한 비등방성 퍼콜레이션으로 간주될 수 있다. 이 경우 임계 지수가 다르고 위 임계 치수가 5이다.^[11]

다중 문자 점

보다 복잡한 동작은 다중 문자 지점, 경계선 또는 임계 다지관의 교차점에서 발생할 수 있다. 온도 및 압력과 같은 두 개 이상의 매개변수 값을 조정하여 도달할 수 있다.

정적 특성 대 동적 특성

위의 예는 전적으로 중요 시스템의 정적 특성을 참조한다. 그러나 시스템의 동적 특성도 중요해질 수 있다. 특히 시스템의 특성 시간인 $τ$ 은_char 동적 지수 $z$ 와 함께 $with char$ ∝ $로서$ 분산된다. 더욱이 동일한 정적 임계 지수를 가진 등가 모델의 큰 정적 보편성 등급은 동적 지수도 동일하다고 요구하는 경우 더 작은 동적 보편성 등급으로 분해된다.

임계 지수는 정합성 장 이론에서 계산할 수 있다.

비정상적인 스케일링 치수를 참조하십시오.

전송 속성

임계 지수는 점도 및 열전도율과 같은 운송량에도 존재한다. 최근 한 연구에 따르면 도시 교통에 있어서 과대변화의 비판적인 지표가 중요한 역할을 한다고 한다.^[12]

자기 조직적 중요성

소멸 시스템에 대한 자기 조직적 중요성에 대해서도 비판적 지수가 존재한다.

퍼콜레이션 이론

위상 전환과 임계 지수는 점유된 사이트 또는 링크의 집중이 온도의 역할을 하는 퍼콜레이션 프로세스에서도 나타난다. 가장 간단한 예는 아마도 2차원 정사각형 격자에서의 변색일 것이다. 사이트는 확률 p로 무작위로 점유된다. p의 작은 값의 경우 점유된 사이트는 작은 클러스터만 형성한다. 특정 임계값 pc에서는 거대한 클러스터가 형성되고, 우리는 2차 단계 전환이 있다.^[1]^[13] 과대산출 임계 지수를 참조하십시오. 변형의 경우 임계 지수는 Ising과 다르다. 예를 들어 평균 필드 $\delta =2$ = $\delta =2$ $\delta =2$ 에서 $\delta =2$ ^[1] Ising의 $\delta =3$ $\delta =3$ = $\delta =3$ $\delta =3$ 과(와) 비교된다. 네트워크 이론에서, 공동체들 사이의 상호작용의 강도는 위상 전이 가까이에 있는 자석의 외부장 또는 퍼콜레이션의 유령장처럼 행동하는 것으로 밝혀졌다.^[14]

참고 항목

외부 링크 및 문헌

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Sklogwiki의 보편성 클래스
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참조

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v t 통계역학
이론	최대 엔트로피의 원리 에고다이즘
통계 열역학	앙상블 칸막이 함수 국가 방정식 열역학적 전위: U H F G 맥스웰 관계
모델	강자성 모델 이싱 팟츠 하이젠베르크 과대포장 힘장이 있는 입자 고갈력 레너드 존스의 잠재력
수학적 접근법	볼츠만 방정식 H-테오렘 블라소프 방정식 BBGKY 계층 구조 확률적 과정 평균장 이론과 일치장 이론
임계현상	위상 전이 임계 지수 상관 길이 사이즈 스케일링
엔트로피	볼츠만 섀넌 찰리스 레니 폰 노이만
적용들	통계장 이론 기초 입자 초유동성 응축물리학 복잡한 시스템 혼돈의 정보 이론 볼츠만 기계

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