상관함수

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상관 함수는 랜덤 변수들 사이의 공간적 또는 시간적 거리에 따라 랜덤 변수들 사이의 통계적 상관관계를 제공하는 함수다. 서로 다른 두 지점에서 측정된 동일한 양을 나타내는 변수의 상관 함수를 고려할 경우 이를 자기 상관 함수로 지칭하는 경우가 많으며, 이는 자기 상관으로 구성된다. 서로 다른 랜덤 변수의 상관 함수를 교차 상관 함수라고 부르기도 하는데, 이는 서로 다른 변수가 고려되고 있으며 교차 상관으로 구성되기 때문이다.

상관 함수는 시간 또는 공간의 거리 함수로서 의존성을 나타내는 유용한 지표로, 효과적으로 상관관계가 없는 값을 위해 표본점 사이의 거리를 평가하는 데 사용할 수 있다. 또한 관측치가 없는 지점에서 값을 보간하기 위한 규칙의 기초를 구성할 수 있다.

천문학, 재무분석, 계량학, 통계역학에 사용되는 상관관계 함수는 그들이 적용되는 특정한 확률론적 과정에서만 다르다. 양자장 이론에는 양자 분포에 대한 상관 함수가 있다.

정의

일부 공간의 서로 다른 점 s와 t에서 가능한 구별되는 랜덤 변수 X와 Y(t)의 경우 상관 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr}(X), Y(t),}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{corr}}$ ${\displaystyle \crname {corr}은($는) 상관 관계에 대한 기사에 설명되어 있다$$. 이 정의에서 확률변수는 스칼라 값을 갖는다고 가정했다. 그렇지 않으면 더 복잡한 상관 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어, X가 n개의 원소를 가진 임의 벡터이고 Y(t)가 q 원소를 가진 벡터라면, 상관 함수 n×q 행렬은 $i{\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$ i$,j}$ 요소로$$ 정의된다.

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr}(X_{i}s),Y_{j}(t).}$

n=q일 때, 때때로 이 행렬의 추적에 초점을 맞춘다. 확률 분포에 목표 공간 대칭, 즉 확률 변수의 값 공간(내부 대칭이라고도 함)에 대칭이 있으면 상관 행렬이 대칭을 유도할 것이다. 마찬가지로 랜덤 변수가 존재하는 공간(또는 시간) 영역의 대칭(스pacetime 대칭이라고도 함)이 있는 경우 상관 함수에는 해당 공간 또는 시간 대칭이 있다. 중요한 스페이스타임 대칭의 예는 다음과 같다.

• 변환 대칭 산출 C(s,s') = C(s - s') 여기서 s와 s'는 점의 좌표를 제공하는 벡터로 해석된다.
• 위와 더불어 회전 대칭은 C(s, s') = C(s - s')를 제공하며 여기서 x는 벡터 x의 규범을 나타낸다(실제 회전에서는 이것이 유클리드 또는 2-규범이다).

고차상관함수가 정의되는 경우가 많다. 순서 n의 일반적인 상관 함수(각괄호는 기대값을 나타냄)는 다음과 같다.

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

랜덤 벡터에 성분 변수가 하나만 있으면 지수 $i{\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i,j}$이(가) 중복된다$$. 대칭이 있는 경우 상관 함수는 내부 및 스페이스타임의 대칭에 대한 되돌릴 수 없는 표현으로 분할될 수 있다.

확률 분포의 특성

이러한 정의로 상관함수의 연구는 확률분포 연구와 유사하다. 많은 확률적 공정은 상관 함수로 완전히 특징지어질 수 있다. 가장 주목할 만한 예는 가우스 공정의 등급이다.

한정된 수의 점에 대해 정의된 확률 분포는 항상 정규화될 수 있지만, 연속적인 공간에 걸쳐 정의되는 경우에는 각별한 주의가 요구된다. 그러한 분포에 대한 연구는 무작위 보행에 대한 연구로부터 시작되어 이토 미적분학의 개념을 이끌어냈다.

유클리드 우주에 통합된 파인만 경로는 통계 역학에서 관심 있는 다른 문제들에 이것을 일반화한다. 반사 긍정이라고 불리는 상관 함수에 대한 조건을 준수하는 확률 분포는 Wick이 Minkowski spacetime으로 회전한 후 국소 양자장 이론으로 이어진다(Osterwalder-Schrader 공리 참조). 리노말화 연산은 확률 분포의 공간으로부터 그 자체로의 매핑의 지정된 집합이다. 양자장 이론은 이 매핑이 양자장 이론을 제공하는 고정점을 가지고 있다면 리노말릴 수 있다고 불린다.

참고 항목

• 자기 상관
• 상관 관계가 인과 관계를 의미하지 않음
• 상관 문자
• 공분산 함수
• Pearson 제품 순간 상관 계수
• 상관 함수(astronomy)
• 상관 함수(통계 역학)
• 상관 함수(수량장 이론)
• 상호정보
• 비율 왜곡 이론
• 방사분포함수