아인슈타인 고체

통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀-통계 정리 동일입자 맥스웰-볼츠만 보스아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니오닉 통계량 브레이드 통계량
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모델 데비예 아인슈타인 이싱 팟츠
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 기브스 자유 에너지 잠재력 / 란다우 자유 에너지
과학자들 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨먼 데비예 페르미 보스
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아인슈타인 고체는 같은 주파수의 독립적인 3차원 양자 고조파 오실레이터를 다수 포함하는 결정체 고체의 모델이다. 데비예 모델에서는 독립성 가정이 완화된다.

모델은 실험 데이터, 특히 고온 한계에 대해 질적인 합치를 제공하는 반면, 이러한 진동은 사실 음운 또는 많은 원자를 포함하는 집합 모드들이다. 아인슈타인은 실제 진동의 주파수를 얻는 것이 어려울 것이라는 것을 알고 있었지만, 그럼에도 불구하고 양자역학이 고전역학에서 특정한 열 문제를 해결할 수 있다는 것이 특히 분명한 증명이었기 때문에 이 이론을 제안했다.^[1]

역사적 영향

1907년 아인슈타인이 제안한 원론은 역사적 관련성이 크다. 경험적 둘롱-페티트 법칙에 의해 예측된 고체의 열 용량은 고전 역학에서 요구되었으므로 고체의 특정 열은 온도와 무관해야 한다. 그러나 저온 실험에서 열 용량은 절대 0에서 0으로 변화한다는 것을 보여주었다. 기온이 올라가면 고온에서 둘롱과 쁘띠 예측에 근접할 때까지 특정 열기가 올라간다.

플랑크의 정량화 가정을 채택함으로써 아인슈타인의 이론은 처음으로 관측된 실험 추세를 설명하였다. 광전 효과와 함께, 이것은 정량화의 필요성에 대한 가장 중요한 증거 중 하나가 되었다. 아인슈타인은 현대의 양자역학이 출현하기 수 년 전에 양자역학 발진기의 수준을 사용했다.

열 용량

열역학적 접근방식의 경우 열 용량은 다른 통계 앙상블을 사용하여 도출할 수 있다. 모든 용액은 열역학적 한계에서 동등하다.

마이크로캐논 앙상블

일정한 체적 V에서 물체의 열 용량은 내부 에너지 U를 통해 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle C_{V}=\왼쪽({\partial U \over \partial T}\right)_{V}}$

${\displaystyle \mathrm{시스템}}$의 온도인$$T $[\displaystyle T}$는 엔트로피에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}.}$

엔트로피를 찾으려면 각각 3도의 자유도를 갖는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 원자로$$ 구성된 고체를 고려하십시오. 따라서 $[\displaystyle 3N]$ 양자$$ 고조파 오실레이터(이하 "단순 고조파 오실레이터"에 대한 SHO)가 있다.

${\displaystyle N^{\premy }=3N}$

SHO의 가능한 에너지는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\오른쪽)}$

즉, 에너지 레벨은 균등하게 간격을 두고 에너지의 양자(퀀텀)를 정의할 수 있다.

$\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }$

이것은 SHO의 에너지가 증가하는 가장 작고 유일한 양이다. 다음으로, 우리는 시스템의 다양성을 계산해야 한다. $즉{\displaystyle {}^{}}$, N ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$SHOs$$ 중에서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 퀀타를$$ 분배하는 방법의 수를 계산한다. $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 조약돌을$$ $N{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\$ 상자로$$ 분산할 생각을 하면 이 작업이 더 간단해진다.

$또는{\displaystyle {}^{}}$ N ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle$ N$^{\premy }-1$} 파티션으로$$ 조약돌 스택을 분리

또는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 조약돌$$ $및{\displaystyle {}^{}}$ N ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle N^{\prime }-1}$ 파티션$$ 정렬

마지막 사진이 가장 확실한 것이다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$$}$개체의$$ 배열 수는 $n{\displaystyle !}$ ${\displaystyle$ n$!}개$. 따라서$$$q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $q$$}$개 조약돌과$$ N ′${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$-$(\displaysty$ N$^{\$$prime$$}-1$$}$개$$ 파티션의 배열 수는${\displaystyle }$($q$+ $N$- 1 $개)$$개!$$\}\}$ 그러나 3번 칸막이, 5번 칸막이 무역장소라면 아무도 눈치채지 못할 것이다. 같은 주장이 퀀타에도 적용된다. 가능한 구별 가능한 약정의 수를 얻기 위해서는 약정의 총 수를 구별할 수 없는 약정의 수로 나누어야 한다. $q{\displaystyle !}$ ${\displaystyle q!}$ 동일한$$ 퀀텀a 배열과${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1)!}$ ${\displaystyle (N^{\prime }-1)!$$}$ 동일한 파티션$$ 배열. 따라서 시스템의 다중성은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Oomega ={\왼쪽(q+N^{\prime }-1\오른쪽)! \over q!(N^{\premy }-1)!}}$

앞에서 언급한 바와 같이, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 퀀텀의$$ 에너지를 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ }$$오실레이터에$$ 저장하는 방법의 수입니다. 시스템의 엔트로피는 형태를 가진다.

$[\displaystyle S/k=\ln \Oba =\ln {\좌측(q+N^{\premy }-1\우측)! \over q!(N^{\premy }-1)!}}$

$′{\$은(는) 엄청난 숫자로$$, 하나를 빼는 것은 전혀 전체적인 효과가 없다.

$\displaystyle S/k\ 관련 \ln {\좌측(q+N^{\premy }\오른쪽)! \over q!N^{\premy }!}}$

스털링의 근사치의 도움으로 엔트로피는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

$\displaystyle S/k\ \premy \left(q+N^{\premy }\오른쪽)\ln \left(q+N^{\premy }\n^{\premy }\ln^{}-q\ln q\ln q.}}}$

고체의 총 에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle U={{N^{\premy }\varepsilon \{varepsilon \}이상 \{}+q\varepsilon ,}$

시스템에는 각 오실레이터의 접지 상태 에너지 외에 총 q 에너지 퀀텀이 존재하기 때문이다. 슈뢰더와 같은 일부 저자들은 아인슈타인 고체의 총 에너지에 대한 정의에서 이 지상 에너지를 생략한다.

우리는 이제 온도를 계산할 준비가 되었다.

${\displaystyle {1 \over T}={\partial S \over \partial U}={\partial S \over \partial q}{dq \over dU}={1 \over \varepsilon }{\partial S \over \partial q}={k \over \varepsilon }\ln \left(1+N^{\prime }/q\right)}$

앞의 두 공식 사이의 q를 제거하면 U:

${\displaystyle U={{N^{\premy }\varepsilon \over 2}+{{N^{\premy }\varepsilon \over e^{\barepsilon /kT}-1}}}}$

첫 번째 용어는 영점 에너지와 연관되며 특정 열에 기여하지 않는다. 그러므로 그것은 다음 단계에서 없어질 것이다.

$C$ V {\$displaystyle C_{V}$를 찾기 위해 온도에 따라 차별화:

${\displaystyle C_{V}={\partial U \over \partial T}={N^{\premy }\varepsilon ^{e^{2}}:{e^{\varepsilon /kT}} \over \좌측(e^{\varepsilon /kT}-1\rig)^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또는

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\barepsilon \over kT}\오른쪽)^{2}{e^{\e^{\barepsilon /kT} \over \left(e^{\barepsilon /kT}-1\right)^{2}.}$

고체의 아인슈타인 모델은 고온에서 그리고 이 한계에서 열 용량을 정확하게 예측한다.

${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ T${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle C_{}}$V = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle N}$ k ${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infit }$C_{V}=3Nk$\},$

둘롱-페티트 법칙에 준하는 법이지.

그럼에도 불구하고 열 용량은 저온에서 실험 값에서 눈에 띄게 차이가 난다. 정확한 저온 열 용량을 계산하는 방법은 Debye 모델을 참조하십시오.

캐논 앙상블

열 용량은 단순한 양자 고조파 발진기의 표준 파티션 함수를 이용하여 얻는다.

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infit }e^{-E_{n}/kT}$

어디에

${\displaystyle E_{n}=\varepsilon \left(n+{1 \over 2}\오른쪽)}$

이것을 파티션 함수 공식 산출량으로 대체

${\displaystyle {\begin}Z=\sum _{n=0}^{\nothy }e^{-\barepsilon \left(n+1/2\right)/kT}=e^{-\varepsilon /2kT}\sum _{n=0}^{n=0}}\sum }{-n\varepsilon /kT}=e^{n=0}\sum _{n=0}^{n=0}}\inft(e^{-\varepsilon /kT})\}\n)^{n}\={e^{-\\varepsilon /2kT} \over 1-e^{-\varepsilon /kT}={1 \over e^{\varepsilon /2kT}-e^{-\barepsilon /2k)T}}={1 \over 2\sinh \left({\barepsilon \over 2kT}\right)}.\end{정렬}}}$

이것은 하나의 고조파 오실레이터의 파티션 함수다. 통계적으로 고체의 열용량, 에너지, 엔트로피가 원자 사이에 균등하게 분포되어 있기 때문에, 우리는 이 칸막이 함수를 이용하여 그러한 양을 구한 다음 단순히 $′{\$로 곱하면 총량을$$ 얻을 수 있다. 다음으로 각 오실레이터의 평균 에너지를 계산해 봅시다.

$\displaystyle \langle E\angle =U=-{1 \over Z}\partial _{\beta }Z}$

어디에

${\displaystyle \beta ={1\over kT}.}$

그러므로

${\displaystyle U=-2\sinh \left({\varepsilon \over 2kT}\right){-\cosh \left({\varepsilon \over 2kT}\right) \over 2\sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}{\varepsilon \over 2}={\varepsilon \over 2}\coth \left({\varepsilon \over 2kT}\right).}$

그러면 한 발진기의 열 용량은 다음과 같다.

${\displaystyle c_{V}={\partial U \over \partial T}=-{\varepsilon \over 2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}\left(-{\varepsilon \over 2kT^{2}}\right)=k\left({\varepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\varepsilon \over 2kT}\right)}.}$

지금까지 양자 고조파로 모델링된 고유 자유도의 열 용량을 계산했다. 그런 다음 전체 고체의 열 ${\displaystyle {용량}_{}}$은 C${\displaystyle {}_{}}$V = 3 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ V ${\$에 의해 주어진다$.$ 여기서 고체의 총 자유도는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 곱하기 N$,$ 즉 고체의 원자 수입니다. 이렇게 해서 얻는다.

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\barepsilon \over 2kT}\right)^{2}{1 \over \sinh ^{2}\left({\barepsilon \over 2kT}\right)}}.}$

이는 앞의 절에서 도출한 공식과 대수적으로 동일하다.

$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\epsilon }$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{\rm{E}=\var렙실론 /k}$의 수량은 온도의 치수를 가지며$$ 결정의 특성이다. 그것은 아인슈타인의 온도라고 알려져 있다.^[2] Hence, the Einstein crystal model predicts that the energy and heat capacities of a crystal are universal functions of the dimensionless ratio ${\displaystyle T/T_{\rm {E}}}$. Similarly, the Debye model predicts a universal function of the ratio ${\displaystyle T/T_{\rm {D}}}$, where ${\di$$splaystyle T_{\rm {D}}$은(는) 데비예 온도다.

한계 및 후속 모델

아인슈타인의 모델에서 특정 열은 저온에서 기하급수적으로 빠르게 영(0)에 접근한다. 모든 진동은 하나의 공통 주파수를 가지고 있기 때문이다. 올바른 행동은 아인슈타인이 제안한 것과 같은 방법으로 고체의 정상적인 모드를 정량화함으로써 발견된다. 그러면 파도의 주파수가 다 같지는 않고, 실험에 일치하는 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 스타일 $T^{3}$ 전력$$ 법칙으로서 특정 열은 0으로 간다. 이 수정은 1912년에 등장한 데비예 모델이라고 불린다.

참고 항목

• 고체의 운동 이론

참조

외부 링크

• Zeleny, Enrique. "The Wolfram Demonstrations Project - Einstein Solid". Retrieved 2016-03-18..