맥스웰-볼츠만 통계

통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀-통계 정리 동일입자 맥스웰-볼츠만 보스아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니오닉 통계량 브레이드 통계량
열역학적 앙상블 NVE 마이크로캐논학 NVT 규범적 µVT 그랜드 캐논어 NPH 이센탈피크-이소바르어 NPT 등온-이소바르식
모델 데비예 아인슈타인 이싱 팟츠
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 기브스 자유 에너지 잠재력 / 란다우 자유 에너지
과학자들 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨먼 데비예 페르미 보스
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통계 역학에서 맥스웰-볼츠만 통계는 열 평형 상태에서 다양한 에너지 상태에 대한 고전 물질 입자의 분포를 설명한다.양자 효과를 무시할 수 있을 정도로 온도가 높거나 입자 밀도가 낮을 때 적용된다.

Maxwell-Boltzmann 통계에 대해$$ 에너지 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 예상되는 입자 수는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle N_{i}\rangle ={\frac {g_{i}}{e^{{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {N}{Z}\,g_{i}e^{-\bar렙실론 _{i}/kT}}}$

여기서:

• ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 i번째 에너지 수준의 에너지,
• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $⟩{\$$displaystyle$ $\langle N_{i}\$$rangele }$은(는$)$ ${\displaystyle {에너지}_{}}$를 가진 상태 집합의 평균 입자 수입니다$.$
• ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 에너지 레벨 i, 즉 에너지가 있는 상태의 수 ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ i ${\$로, 그럼에도$$ 불구하고 다른 방법으로 서로 구별될 수 있다.^{[nb 1]}
• μ는 화학적 전위,
• K는 볼츠만의 상수지만
• T는 절대 온도,
• N은 총 입자 수입니다.
  $${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}}$$

  
• Z는 파티션 함수:
  $${\displaystyle Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\barepsilon _{i}/kT}}$$

  
• e는 오일러의 수이다.

동등하게 입자의 수는 때때로 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \langle N_{i}\angle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac{N}{Z}\,e^{-\\varepsilon _{i}/kT}}}$

여기서 지수 i는 이제 에너지 ${\displaystyle i_{}}$ i ${\$ $그리고$Z =$\underset{}{}{}^{}$ i -${i_{}}^{}$ i${{}_{}}^{}$/ $k^{}$ T$${\$textstyle$ Z$=\sum$ _${i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}$를 가진 모든 상태의 집합이 아닌 특정 상태를 지정한다$.$

적용가능성

Maxwell-Boltzmann 통계량은 이상적인 가스의 Maxwell-Boltzmann 분포를 도출하는 데 사용된다.그러나 이 분포를 상대론적 입자(맥스웰-에서 발생하는 결과)와 같이 에너지-모멘텀 관계가 다른 입자로 확장하는 데도 사용할 수 있다.위트너 분포) 및 3차원 공간 이외의 공간으로의 분포.

Maxwell-Boltzmann 통계는 흔히 "distuishable" 고전적 입자의 통계로 설명된다.즉, 상태 1에서 입자 A와 상태 2에서 입자 B의 구성은 입자 B가 상태 1에 있고 입자 A가 상태 2에 있는 경우와 다르다.이러한 가정은 에너지 상태의 입자에 대한 적절한 (볼츠만) 통계로 이어지지만, 깁스 역설에서 구현된 것처럼 엔트로피에 대해 비물리적 결과를 산출한다.

동시에 맥스웰-볼츠만 통계에 요구되는 특성을 가진 실제 입자는 존재하지 않는다.실제로 우리가 특정 유형의 모든 입자(예: 전자, 양성자 등)를 원칙적으로 구별할 수 없는 것으로 취급하면 깁스 역설은 해소된다.이 가정이 만들어지면 입자 통계는 바뀐다.혼합 예시의 엔트로피에서 엔트로피의 변화는 혼합되는 두 가지 유형의 입자의 구별성에 기인하는 비폭력 엔트로피의 예로 볼 수 있다.

양자 입자는 보손(대신 보스-아인슈타인 통계 대신) 또는 페르미온(대신 페르미-디락 통계 대신 파울리 배제 원칙에 따라)이다.이러한 양자 통계는 모두 고온과 저입자 밀도의 한계에서 맥스웰-볼츠만 통계에 접근한다.

파생어

Maxwell-Boltzmann 통계는 다양한 통계 기계적 열역학 앙상블에서 도출할 수 있다.^[1]

• 궁중 합주단 말이야, 바로 그거야
• 표준 앙상블이지만 열역학적 한계 안에서만.
• 마이크로캐논 앙상블, 정확히.

각각의 경우에 입자는 비 상호작용이므로 복수의 입자가 동일한 상태를 차지하여 독립적으로 할 수 있다고 가정할 필요가 있다.

마이크로캐논 앙상블에서 유래

이 섹션은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적일 수 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2013년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

질량, 전하 등 물리적 특성이 동일한 매우 작은 입자가 엄청나게 많은 용기를 가지고 있다고 가정합시다.이것을 제도라고 하자.입자의 성질이 동일하지만 구별할 수 있다고 가정한다.예를 들어, 우리는 각 입자의 궤적을 지속적으로 관찰하거나, 각 입자에 마크를 부착함으로써 각 입자를 식별할 수 있다. 예를 들어, 복권 공으로 하는 것처럼 각 입자에 다른 숫자를 그릴 수 있다.

입자들이 저 컨테이너 안에서 엄청난 속도로 움직이고 있어.입자들이 빠르게 돌아다니기 때문에, 그들은 약간의 에너지를 가지고 있다.맥스웰-볼츠만 분포는 용기의 입자가 얼마나 많은지에 대해 설명하는 수학적 함수다.더 정확히 말하면, Maxwell-Boltzmann 분포는 특정 에너지에 해당하는 상태가 점유되고 있다는 비정규화된 확률(이것은 확률이 1까지 합산되지 않는다는 것을 의미한다)을 제공한다.

일반적으로 에너지의 양이 $같은{\displaystyle }$ 입자가 많을 수 있다${\displaystyle \varepsilon$ $\}\}.$ 같은 에너지를 가진 입자의 수 ${\displaystyle {\epsilon \mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \varepsilon$ $_{1$$}{$1}, 다른 에너지를 가진 ${\displaystyle {입자}_{}}$의 수$${$$2{\$displaystystyle \varepsilon _{2$}}.be ${\displaystyle N_{2}}$, and so forth for all the possible energies ${\displaystyle \{\varepsilon _{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}.}$ To describe this situation, we say that ${\displaystyle N_{i}}$ is the occupation number of the energy level ${\displaystyle i.}$ If we know모든 직업 번호${\displaystyle }${${\displaystyle \mathrm{Ni}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$…${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle$\{$N_{i}\mid i=1$,2$,3,\ldots \}$ 그러면$$ 시스템의 총 에너지를 알 수 있다.그러나 각 에너지 레벨을 점유하고 있는 입자를 구분할 수 있기 때문에, 직업 번호 {${\displaystyle {Ni}_{}}$∣ ${\displaystyle \mathrm{i}}$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ , $…} {\displaystyle \{N_{i}\mid i=1,$2$,3,\ldots$ \}}}}}}}}}이(가) 시스템의 상태를 완전히 설명하지는 않는다$$.시스템의 상태, 즉 미시 상태를 완전히 설명하기 위해서는 각 에너지 레벨에 어떤 입자가 있는지 정확히 명시해야 한다.그러므로 우리가 시스템의 가능한 상태 수를 셀 때, 우리는 각각의 모든 미시 상태를 세어야 하고, 가능한 직업 번호 집합만 세서는 안 된다.

${\displaystyle {우선}_{}}$ $에너지{\displaystyle {}_{}}$ 레벨 $i{\displaystyle }$ ${\$ 입자를$$ 에너지 레벨 i ${\displaystyle i}$에 넣는 방법은 하나만 있다고 가정한다($$후진성은 없음).그 다음에 이어지는 것은 입자의 저장고를 정확하게 묘사하는 것에는 거의 관계가 없는 약간의 결합적 사고다.예를 들어 $a{\displaystyle }$,${\displaystyle b,}$ …, $displaystyle a,b,\$$ldots$$,k}$라고 라벨을 $붙인{\displaystyle }$ 총$$k {\$displaystyle$k$$}박스가 있다고 하자. $조합$의 개념으로$$N {\$displaysty N}$볼을$$$$ ${\displaystyle {각각}_{}}$의 l-th 박스에 배열할 수 있는 $방법$을 계산할 수 있었다$.$명령을 내리다먼저, $총{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle$ N$}$개의$$ 공 중에서 N ${\displaystyle a_{}}$ ${\$displaystyle $N_$${a}$개의$$ 공을 선택하여 $상자{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a$에 배치하고, 공이 바깥에 남아 있지 않을 때까지 나머지 공에서 계속 선택한다.볼을 배열할 수 있는 총 방법 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}W&={\frac {N!}{{N_{a}!{\cancel {(N-N_{a})!}}}}\time {\frac {\cancel {(N-N_{a})!}}{{N_{b}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}}}\time {\frac {\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}{{N_{c}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b}-N_{c}!}}}}\time \cdots \time {\frac {\cdots {(N-\cdots -N_{\ell})!}}{{N_{k}!(N-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}}\\[8pt]&={\frac{N!}{{N_{a}!N_{b}!N_{c}!\cdots N_{k}!(N-N_{a}-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}}\end{정렬}}$

and because not even a single ball is to be left outside the boxes (all balls should be put in boxes), which implies that the sum made of the terms ${\displaystyle N_{a},N_{b},\ldots ,N_{k}}$ must equal to ${\displaystyle N}$; thus the term ${\displaystyle$$(N-N_{a}-N_{b}-\cdots -N_{k})!$위의 관계에서$$}은(는) 0! (0! = 1)로 평가하며, 우리는 다음과 같이 관계를 단순화한다.

${\displaystyle W=N!\prod _{\ell =a,b,\ldots }^{k}{\frac {1}{N_{\ell }!}}}$

이것은 단지 다항계수, N항목을 k박스로 배열하는 방법의 수, N항목을_l 들고 있는 l번째 상자, 각 박스에 있는 항목의 순열을 무시한 것이다.

자, N ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 입자를$$ 상자 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 넣는 방법이 하나 $$이상 있는 경우를 생각해 보십시오(즉, 퇴행성 문제를 고려).$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -th$$ 박스에 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 "degeneration"이 있는 경우, 즉, g i ${\$ $g_{i}}"($${\displaystyle g_{}}$ {\displaystysty $g_{i})$ 박스에$$ ${\displaystyle {동일}_{}}$한 에너지가 있는 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 있다.이러한 상태/상자에는 동일한 에너지가 있는 상태를 퇴행 상태라고 한다.) 즉, 하위 상자의 번호가 $변경$되는 i ${\displaystyle i$} -th$$ 박스를 채우는 방법은 상자를 채우는 뚜렷한 방법이며, i번째 박스를 채우는 방법은 반드시 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 분배하는 방법만큼 증가시켜야 한다.$splaystyle N_{i}}$ 객체는$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$하위 상자"에 있다.$G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$하위 상자"에 N i ${\$displaystyle g_{i}}을(를) 구별할$$ 수 있는 객체를 배치하는 방법의 수는 ${\displaystyle g_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i$$}}}}}}}($첫 번째 객체는 $g{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$ $g\_g\_g\_g{\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle {박스}_{}}$에도 들어갈 수 있음)${\displaystyle g_{i}$상자$$ 등).따라서 총 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 입자를$$ 에너지에 따라 에너지 레벨로 $분류$할$수$있는 W {\$displaystyle i}$의 각 $레벨$은 ${\displaystyle g_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$}}}$을(를) 수용하는 $방식$으로 ${\displaystyle {구분}_{}}$된다.$}}}$ 입자는$$:

${\displaystyle W=N!\prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}{N_{i}}}{N_{i}}!}}}$

볼츠만이 최초로 도출한 W의 형태다.볼츠만의 기본 방정식 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{kn}}$ ${\displaystyle }$ W ${\displaystyle S=k\,\ln W}$는 열역학 엔트로피 S와 마이크로스테이트 W의 수를 연관시킨다$$. 여기서 k는 볼츠만 상수다.그러나 W에 대한 위의 표현은 광범위한 엔트로피를 산출하지 못하므로 결함이 있다는 것이 깁스에 의해 지적되었다.이 문제는 깁스의 역설로 알려져 있다.문제는 위의 방정식으로 고찰한 입자가 분간할 수 없다는 점이다.즉, 두 에너지의 두 입자(A와 B)의 경우 [A,B]로 대표되는 모집단은 모집단 [B,A]와 구별되지 않는 입자의 경우 그렇지 않은 것으로 간주된다.우리가 분간할 수 없는 입자에 대한 논쟁을 수행한다면, 우리는 W:에 대한 보스-아인슈타인 표현으로 인도된다.

${\displaystyle W=\prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i}-1)!}{{N_{i}!(g_{i}-1)!}}}$

맥스웰-볼츠만 분포는 절대 영도보다 훨씬 높은 온도에 대한 이 보스-아인슈타인 분포로부터 따르며, $이$는 g i${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g_{i}\g$ 1$}$을 의미한다$.$Maxwell-Boltzmann 분포도 ${\displaystyle {낮은}_{}}$ 밀도를 요구하므로 g $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 이러한 조건 하에서 우리는 다음과 같은 요인들에 대해 스털링의 근사를 사용할 수 있다.

${\displaystyle N!\ 관련 N^{N}e^{-N}}$

쓰려면:

${\displaystyle W\approx \prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i})^{N_{i}+g_{i}}}{N_{i}^{N_{i}}g_{i}^{g_{i}}}}\approx \prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}(1+N_{i}/g_{i})^{g_{i}}}{N_{i}^{N_{i}}}}}}$

$({\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$/ ${\displaystyle g{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {g{}_{}}^{}{i_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ i ${\$라는 사실 사용$^{g_{i}}\관련 e^{N_{i}}$ g ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$N ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한$$ ^{g_}} 우리는 스털링의 근사치를 다시 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle W\ \prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}{N_{i}}}{N_{i}}}!}}}$

이것은 본질적으로 볼츠만의 W에 대한 원래 표현인 N!에 의한 분할이며, 이 보정을 정확한 볼츠만 계수라고 한다.

We wish to find the ${\displaystyle N_{i}}$ for which the function ${\displaystyle W}$ is maximized, while considering the constraint that there is a fixed number of particles ${\textstyle \left(N=\sum N_{i}\right)}$ and a fixed energy ${\textstyle \left(E=\sum N_{$컨테이너에 $있는$ i$}\barpsilon _{i}\right}$$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$과 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle W}$)$${\$displaystyle \ln(W)}$의 최대치는 ${\displaystyle {Ni}_{}}$ ${\$의 동일한 값에 의해 달성되며$$$$, 수학적으로 성취하기 쉽기 때문에 후자의 기능을 대신 최대화할 것이다.우리는 함수를 형성하는 라그랑주 승수를 사용하여 솔루션을 제한한다.

${\displaystyle f(N_{1},N_{2},\ldots,N_{n}}=\textstyle \ln(W)+\alpha(N-\sum N_{i})+\beta(E-\sum N_{i}\varepsilon _{i}}}})}$

${\displaystyle \ln W=\ln \left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {g_{i}^{N_}}}{N_{i}}}}}{N_{i}}!}}\right]\reason \sum _{i=1}^{n}\왼쪽(N_{i}\ln g_{i}-{i}\ln N_{i}+)N_{i}\오른쪽)}$

마침내

${\displaystyle f(N_{1},N_{2},\ldots,N_{n}=\alpha N+\beta E+\sum _{i=1}^{n}\l_{i}\ln g_{i}-{i}}\lN_{i}}}+}++N_{i}-(\alpha +\beta \varepsilon _{i})N_{i}\오른쪽)}$

위의 표현을 최대화하기 위해 페르마의 정리(역적 지점)를 적용하며, 국부적 극단(존재할 경우)이 임계 지점에 있어야 한다(부분적 파생상품이 사라짐:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial N_{i}}=\ln g_{i}-\ln N_{i}-(\alpha +\beta \varepsilon _{i}=0})$

위의 방정식(${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$… ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i=1\ldots n$을 풀면 ${\displaystyle N_{}}$ i ${\$:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\알파 +\beta \varepsilon _{i}}}}}$

이 식을 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$로 대체하여$$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln W}$에 대한 방정식으로 ${\displaystyle \mathrm{대체}}$하고 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gg }$ 1$${\$displaystyle$ N$\gg$ 1$}$이 생성된다고 가정하면:

${\displaystyle \ln W=(\alpha +1)N+\beta E\,}$

또는 재배열:

${\displaystyle E={\frac {\ln W}{\beta}}-{\beta{\frac {N}{\beta}}-{\frac {\alpha N}{\beta}}}}}}}}}$

볼츠만은 이것이 열역학이라는 오일러 통합의 기본 방정식의 표현일 뿐이라는 것을 깨달았다.E를 내부 에너지로 식별하면서 오일러 통합 기본 방정식은 다음과 같이 기술한다.

${\displaystyle E=TS-PV+\mu N}$

여기서 T는 온도, P는 압력, V는 부피, μ는 화학전위다.볼츠만의 유명한 방정식 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{kn}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S=k\ln W}$은 엔트로피가 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \ln W}$에 비례한다는$$ 것을 깨닫고 있으며$$, 비례의 상수는 볼츠만의 상수라는 것이다.이상적인 상태의 가스 방정식(PV = NkT)을 사용하여 $\beta {\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta =1/kT}$ 및 $\alpha {\displaystyle }$= -${\displaystyle \mu }$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha =-\mu /kT}$을(를) 즉시 따라 모집단을 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/(kT)}}}}}}}}}}}$

위의 공식은 때때로 다음과 같이 쓰여진다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\\varepsilon _{i}/kT}/z}}}}$

여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle z=\exp(\mu /kT)}$은 절대 활성이다.

대신에, 우리는 다음과 같은 사실을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i}N_{i}=N}$

로서 인구수를 구하다

${\displaystyle N_{i}=N{\frac {g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}{Z}}}$

여기서 Z는 파티션 함수를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}$

ε이_i 연속변수로 간주되는 근사치에서 Thomas는–페르미 근사치는 $다음$과 같이$$ $\$ {\$displaystyle${\$sqrt {\barepsilon }}$에 비례하는 연속적인 퇴행성을 산출한다.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}}={\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(kT)^{3/2}}}={\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{(kT)^{3}}}}}$

에너지에 대한 맥스웰-볼츠만 분포일 뿐이지

표준 앙상블에서 파생됨

이 섹션은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적일 수 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2013년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

위의 논의에서 볼츠만 분포 함수는 시스템의 다중성을 직접 분석하여 얻었다.대신 표준 앙상블을 활용할 수도 있다.표준 앙상블에서는 시스템이 저수지와 열적으로 접촉한다.에너지가 계통과 저수지 사이에서 자유롭게 흐를 수 있는 반면, 저수지는 결합계통의 경우 일정한 온도인 T를 유지하기 위해 무한히 큰 열 용량을 가진 것으로 생각된다.

현재 맥락에서 우리 시스템은 $에너지{\displaystyle {}_{}}$ 수준 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$g_{i}}$과(와) 함께 에너지 수준 ε i ${\$g_${i}$이$($$가$) 있는 것으로 가정하고$,$ 이전과 같이 우리 시스템에 에너지가 ${\displaystyle {있을}_{}}$ 확률을 계산하고자 한다$.$

만약 우리 시스템이 상태 s ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1$}에 있다면, 저장소에 해당하는 수의 마이크로스테이트가 있을 것이다.이 숫자 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \;\Oomega _{R}(s_{1}})$을 호출하십시오$.$ 가정으로 (우리가 관심 있는 시스템과 저장소의) 결합 시스템이 격리되어 있으므로 모든 마이크로스테이트가 동등하게 발생할 수 있다.따라서 예를 들어 ${\displaystyle \Omega {\mathrm{}}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\Omega {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}{}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$인 경우$${\$displaystyle \;\Oomega_{R}(s_{1}=2\;;;;;;;$$\Omega _{R}(s_{2})}$, we can conclude that our system is twice as likely to be in state ${\displaystyle \;s_{1}}$ than ${\displaystyle \;s_{2}}$. In general, if ${\displaystyle \;P(s_{i})}$ is the probability that our system is in state ${\displaystyle \;s_{i}}$,

${\displaystyle {\frac {P(s_{1}})}{P(s_{2})}}}}={\frac {\frac {\\Oomega _{R}(s_{1}}}){\Oomega _{R}(s_{2}}}}}}}}).}$

저장장치 ${\displaystyle S{}_{}{R}_{}}$ = ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ln }$⁡ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ R ${\$\;$S_{R}=k\ln \Oba_{R}}$의 엔트로피 때문에 위와 같이 된다$.$

${\displaystyle {\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {e^{S_{R}(s_{1})/k}}{e^{S_{R}(s_{2})/k}}}=e^{(S_{R}(s_{1})-S_{R}(s_{2}))/k}.}$

다음으로 우리는 열역학적 정체성을 기억한다(열역학 제1법칙으로부터).

${\displaystyle dS_{R}={\frac {1}{1}{T}(dU_{R}+P\,dV_{R}-\mu \,dN_{R})).}$

표준 앙상블에서는 입자의 교환이 없으므로 d ${\displaystyle N_{}}$ R ${\$의 용어는 0이다.마찬가지로 d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle dV_{R}=0.}$ 이 경우$$

${\displaystyle S_{R}(s_{1})-S_{R}(s_{2})={\frac {1}{T}}(U_{R}(s_{1})-U_{R}(s_{2}))=-{\frac {1}{T}}(E(s_{1})-E(s_{2})),}$

여기서 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}{s}_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{R}(s_{i})$ 및$$ $E{\displaystyle (s_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle E(s_{i})$는 각각$$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에서 저장소와 시스템의 에너지를 나타낸다$.$두 번째 평등을 위해 우리는 에너지 보존을 사용해 왔다.$P{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$, P${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle P(s_{1}),\;P(s_{2}})$와 관련된 첫 번째 방정식으로 대체$:$

${\displaystyle {\frac {P(s_{1}})}{P(s_{2})}}}={\frac {e^{-E(s_{1})/kT}}{e^{-E(s_{2})/kT}},}$

즉, 시스템의 모든 상태에 대해

${\displaystyle P(s)={\frac {1}{Z}e^{-E}/kT}}$

여기서 Z는 총 확률 1. (온도 T가 불변인 경우 Z는 상수)를 만들기 위해 적절하게 선택된 "정수"이다.

${\displaystyle Z=\sum _{s}e^{-E}/kT}}$

여기서 인덱스 s는 시스템의 모든 마이크로스테이트를 통과한다.Z는 때때로 주(또는 원래 독일어로 "주스탕쓰메")를 넘어 볼츠만 합이라고 불린다.만약 우리가 가능한 모든 상태 대신에 에너지 고유값을 통해 합계를 지수화한다면, 퇴행성은 반드시 고려되어야 한다.$우리$ 시스템이 ${\displaystyle {에너지}_{}}$를 $가질{\displaystyle {}_{}}$ 확률은 단순히 모든 해당 $마이크로스테이트의$확률을 합한 것이다$.$

${\displaystyle P(\varepsilon _{i}={\frac {1}{Z}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/k)T}$

여기서, 명백한 수정으로,

${\displaystyle Z=\sum _{j}g_{j}e^{-\barepsilon _{j}/kT}}$

이것은 전과 같은 결과다.

이 파생에 대한 의견:

• 이 공식에서 초기 가정은 "... 시스템에 총 N 입자가 있다고 가정하면...…은 분배된다.실제로 이 시스템이 보유한 입자의 수는 분포에 도달하는 데 아무런 역할을 하지 못한다.오히려 ${\displaystyle {얼마나}_{}}$ 많은 입자가 에너지를 가진 상태를 차지하는지 would $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 쉬운 결과로 이어진다$$.
• 위에서 제시된 것은 본질적으로 표준 파티션 함수의 파생이다.정의를 비교해 보면 알 수 있듯이, 상태 위의 볼츠만 합은 표준 파티션 함수와 같다.
• 페르미-디락과 보스-아인슈타인 통계를 도출하는 데 정확히 동일한 접근법을 사용할 수 있다.그러나, 시스템과 저수지 사이에 입자의 교환이 있기 때문에, 정관 앙상블을 웅장한 정관 앙상블로 대체하는 것이 있을 것이다.또한, 그러한 경우에 우리가 고려하는 시스템은 입자가 아닌 하나의 입자상태다.(위의 논의에서, 우리는 우리의 시스템을 하나의 원자라고 가정할 수 있었다.)

참고 항목

• 보스-아인슈타인 통계
• 페르미-디락 통계
• 볼츠만 인자

메모들

참조

서지학

• 카터, 애슐리 H, "클래식 및 통계 열역학", 프렌티스-2001년 뉴저지 홀
• Raj Pathria, "통계학 역학", Butterworth-Heinemann, 1996.