데비 모델

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통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀-통계 정리 동일입자 맥스웰-볼츠만 보스아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니오닉 통계량 브레이드 통계량
열역학적 앙상블 NVE 마이크로캐논학 NVT 규범적 µVT 그랜드 캐논어 NPH 이센탈피크-이소바르어 NPT 등온-이소바르식
모델 데비예 아인슈타인 이싱 팟츠
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 기브스 자유 에너지 잠재력 / 란다우 자유 에너지
과학자들 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨먼 데비예 페르미 보스
v t

열역학 및 고체 상태 물리학에서 데비예 모델은 1912년 피터 데비예가 고체의 특정 열(열 용량)에 대한 음소 기여도를 추정하기 위해 개발한 방법이다.^[1] 원자 격자(열)의 진동을 상자 속의 음운으로 취급하는데, 이는 고체를 개별적, 비상호작용 양자 고조파 오실레이터만큼 취급하는 아인슈타인 모델과는 대조적이다. 데비예 모델은 T ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle T^{3}$ $$– 데비예 T³ 법칙에 비례하는 열 용량의 저온 의존성을 올바르게 예측한다$.$ 아인슈타인 모델과 마찬가지로 둘롱-페티트 법칙도 고온에서 회복한다. 그러나 가정 단순화로 인해 그 정확도는 중간 온도에서 떨어진다.

파생

데비예 모델은 전자파 방사선을 광자 기체로 취급하는 플랑크의 흑체방사선 법칙에 준하는 고체상태다. 데비예 모델은 원자 진동을 상자 속의 음운으로 취급한다(상자는 고체가 된다). 대부분의 계산 단계는 두 가지 모두 선형 분산 관계를 갖는 질량 없는 보세 가스의 예로서 동일하다.

측면 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 큐브를 생각해 보십시오$.$ 박스 글의 입자로부터 박스 내부의 음파 장애의 공명 모드(현재로서는 한 축으로 정렬된 것만 고려함)는 다음과 같은 파장을 가지고 있다.

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\...}$

$여기$서 n ${\displaystyle n}$은(는) 정수다$$. 포논의 에너지는

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은 Planck의 상수이고 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 음소의$$ 주파수다. 주파수가 파장에 반비례한다는 근사치를 만들면, 우리는

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm{s}}}\오버 \n \l}$

$여기$서 ${\displaystyle c_{}}${\$displaystyle c_{s}$는 고체의 내부 음속이다. 3차원에서는

${\displaystyle E_{n}^{n2}={p_{n}^{2}c_{\rm{s}}}^{2}}=\좌측({hc_{\rm {s}}}\이상 2L}\우측)^{2}\좌측(n_{x}^{2}+n_{y)}^{2}+n_{z}^{2}\오른쪽)\...}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 포논의 3차원 운동량의 크기다.

주파수가 파장에 반비례한다는 근사치(소리의 일정한 속도를 주는 것)는 저에너지 포논에는 좋으나 고에너지 포논에는 좋지 않다(포논에 관한 기사 참조). 이 불일치는 데비예 모델의 한계 중 하나이며, 중간 온도에서 부정확한 결과를 생성하는 반면 저온 및 고온 한계에서는 결과가 정확하다.

이제 상자 안의 총 에너지를 계산해 봅시다.

${\displaystyle E=\sum _{n}\,{\bar {N}(E_{n})\}$

여기서 $N{\displaystyle \stackrel{}{}\text{'}}$ ($){\displaystyle {\bar{N}}(E_{$$n$})은$$에너지 $En$ {\$displaystyle$ E_{$n}}$이 있는 상자에 들어 있는 포논의 수$.$ 즉, 총 에너지는 그 에너지를 가진 포논의 수(한 차원)에 곱한 것과 같다. 3차원으로 다음과 같은 이점을 얻을 수 있는 것은

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}E_{n}\,{\bar{N}(E_{n})\,}$

여기서 데비예 모델과 플랑크의 흑체방사선 법칙이 다르다. 상자 안의 전자기 방사선과 달리, 포논은 임의로 높은 주파수를 가질 수 없기 때문에 포논 에너지 상태의 수가 한정되어 있다. 그것의 주파수는 고체의 원자 격자인 전파의 매체에 의해 제한된다. 아래 가로 포논의 예시를 생각해 보아라.

포논의 최소 파장은 아래 그림과 같이 원자 분리의 2배라고 가정하는 것이 타당하다. $고체$에는 N ${\displaystyle N}$개의$$ 원자가 있다. 우리의 고체는 큐브인데, 이는 N 3 ${\$${\displaystyle \text{exception 25:}}$}}{$에지당$ N$}$개의$$ 원자. 그런 다음 $L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 3 ${\$ L$/{\sqrt[{3}]{$$N}}$ $,$ 그리고 최소 파장은

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}={2L \over {\sqrt[{3}]{{3}}{N}}\...}$

최대 모드 번호 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 만들기($$광자의 경우 무한)

${\displaystyle n_{\rm {max}={\sqrt[{3}]{{}}{N}\,.}$

이 숫자는 세 개의 에너지 합계의 상한선을 제한한다.

${\displaystyle U=\sum _{n_}}^{\sqrt[{3}]{N}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}^{\sqrt[{3}]:{N}E_{n}\,{\bar{N}}(E_{n})\,}$

천천히 변화하고 잘 동작하는 함수의 경우 합을 적분으로 대체할 수 있다(Thomas-라고도 한다).페르미 근사치)

${\displaystyle U\ \attle \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}\int_{0}^{0}^{\sqrt[{3}]{N}E(n)\,{\bar{N}\왼쪽(E(n)\오른쪽)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,}$

$지금$까지${\displaystyle }$$N$의${\displaystyle }$(E ){\$displaystyle{\n}(E)}$에 대한 언급은 없었으며$,$ 에너지 E${\displaystyle .}$ ${\displaystyle E\,}$ 포논은$$ 보스-아인슈타인 통계에 복종한다. 그들의 분포는 유명한 보세-아인슈타인 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \langle N\rangele _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,}$

포논은 세 가지 가능한 양극화 상태(종방향 1개, 에너지에는 거의 영향을 미치지 않는 가로 2개)를 가지고 있기 때문에 위의 공식에 3을 곱해야 한다.

${\displaystyle {\bar{N}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,}$

(Actually one uses an effective sonic velocity ${\displaystyle c_{s}:=c_{\rm {eff}}}$, i.e. the Debye temperature ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ (see below) is proportional to ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$, more precisely ${\displaystyle T_{\mathrm{D}}^{-3}\propto c_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-3}:=(1/3)c_{}^{}}$${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:=(1/3)c_{\rm {long}}^{-3}+(2/3)c_{\rm {trans}}^{-3}}$, where one distinguishes longitudinal and transversal sound-wave velocities (contributions 1/3 and 2/3, respectively). 데비예 온도 또는 유효 음속은 결정의 경도를 측정하는 척도)

에너지 일체형 수율에 대체

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}\int_{0}^{0}^{\sqrt[{3}]{N}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,}$

이러한 통합이 광자에 대해 쉽게 평가될 수 있는 것은 적어도 반정밀적으로 빛의 주파수가 무한하다는 사실 때문이다. 위의 그림에서 알 수 있듯이, 이것은 음운기에 해당되지 않는다. 이 3중 적분의 근사치를 위해 데비는 구형 좌표를 사용했다.

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z}=(n\sin \theta \cos \phi,n\cos \theta )}$

구체의 8분의 1로 정육면체의 근사치

${\displaystyle U\cHBFFF{0}^{\pi /2}\int _{0}^{{0}^{R(n)\,{0}^{E(n)-1}-1}{2}\sin \theta \dn\dphi}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 이 구의 반지름으로, 큐브와 구의 8번째 입자 수를 보존함으로써 발견된다. 큐브의 볼륨은 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 단위$$ 셀 볼륨,

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\...}$

그래서 우리는 얻는다.

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,}$

정확한 적분을 위한 구체에 대한 통합의 대체는 모델에 또 다른 부정확성의 근원을 도입한다.

에너지 적분은

${\displaystyle U={3\pi \{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm{s}n/2LkT}-1}\,dn}$

통합 변수를 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle h\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{s\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ${\displaystyle \frac{K}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}${\$displaystyle x={hc_{\rm {s}n \n$ \c}$2LkT}$로 변경$,$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\왼쪽({2LkT \over hc_{\rm {s}\}\오른쪽)^{0}^{0}{hc_{s}R/2LkT}{x^{x}{x}-1}\dx}$

이 식의 모양을 단순화하려면 데비예 온도 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 정의하십시오.

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

여기서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은 $측면{\displaystyle }$ L ${\displaystyle$ L$\}$의 $세제곱$ 상자의 볼륨이다.

많은 참고문헌은^[2][3] 데비예 온도를 일부 상수와 물질에 의존하는 변수에 대한 단순한 속기라고 설명한다. 단, 아래와 같이 k T ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 최소 파장 모드의 음소 에너지와 대략 같으므로$$ 데비예 온도를 최고 주파수 모드(따라서 모든 모드)가 흥분되는 온도로 해석할 수 있다.

계속하여 다음과 같은 특정 내부 에너지를 얻는다.

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\왼쪽({T \over T_{\rm {D}}\오른쪽)^{3}\int_{0}^{0}^{T_{\rm {{D}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\왼쪽({T_{\rm {D}) \over T}\오른쪽)\...}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle D_{3}(x)}$은(는) 데비 함수다.

$T$ ${\displaystyle T}$을(를) 기준으로 차별화하면 치수 없는 열 용량을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}=9\좌측({T \over T_{\rm{D}}\우측)^{3}\int _{0}^{0}^{{0}}}}{{{T \}}}}}}}}T_{\rm {{D}/T}{x^{4}e^{x} \over \좌측(e^{x}-1\우측)^{2}}\,dx\,}$

이 공식들은 모든 온도에서 데비예 모델을 다룬다. 더 아래로 내려갈수록 낮은 온도와 높은 온도의 한계에서 점근거동이 나타난다. 이미 언급한 바와 같이 이 행동은 중간 행동과는 대조적으로 정확하다. The essential reason for the exactness at low and high energies, respectively, is that the Debye model gives (i) the exact dispersion relation ${\displaystyle E(\nu )}$ at low frequencies, and (ii) corresponds to the exact density of states ${\displaystyle (\int g(\nu )\,{\rm {d\nu }}\equiv 3N)\,}$주파수 간격당 진동 수.

데비예의 유래

데비는 그의 방정식을 다소 다르게 그리고 더 단순하게 도출했다. 연속체 역학을 이용하여 그는 특정 값 이하의 주파수를 가진 진동 상태의 수가 무증상 상태라는 것을 알아냈다.

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\...}$

$여기$서 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 볼륨이고$$F {\$displaystyle F}$은(는) 탄성 계수와 밀도로 계산한 요인이다. 이 공식을 온도 T에서 고조파 발진기의 예상 에너지와 결합하면 (그의 모델에서 아인슈타인이 이미 사용한) 다음과 같은 에너지를 얻을 수 있을 것이다.

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infit }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \}$

진동 주파수가 무한대로 지속된다면 ${\displaystyle {이\mathrm{}}^{}}$ 양식은 저온에서 올바른 $T{\displaystyle {}^{}}$ 3${\$ T$^{3}$ 동작을$$ 제공한다. 그러나 Debye는 N 원자에 대해 ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle 3N}$ 이상의 진동$$ 상태가 있을 수 없다는 것을 깨달았다. 그는 원자 고형에서 진동 상태의 주파수 스펙트럼이 위의 규칙을 계속 따를 것이라고 가정하여 최대 주파수 ${\displaystyle {\nu m}_{}}$ ${\$까지 선택함으로써 총 상태 수는 ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle 3N$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,}$

데비는 이 가정이 정말로 정확하지 않다는 것을 알고 있었지만(더 높은 빈도는 가정된 것보다 더 밀접하게 간격을 두고 있다), 높은 온도에서의 적절한 행동(둘롱-페티트 법칙)을 보장한다. 그 에너지는 다음으로 주어진다.

${\displaystyle U=\int _{0}^{{0}^{{m}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \}$

${\displaystyle =VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\}$

여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\nu m}_{}}$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$이다$.$

${\displaystyle =9NkT(T/T_{\rm {D})^{3}\int _{0}^{0}^{T_{\rm {{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\}$

${\displaystyle =3NkTD_{3}(T_{\rm {D}/T)\...}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 나중에 3차 데비 함수 이름이 주어진 함수다$$.

또 다른 파생어

먼저 우리는 진동 주파수 분포를 도출한다; 다음의 파생은 부록 VI에 기초한다.^[4] 측면 길이 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$와 평행하게 배치된 직사각형 모양의 N 원자를 가진 3차원 등방성 탄성 고체를 고려한다.$L_{y},L_{z$ 탄성 파형은 파형 방정식을 따르고 평면 파형이 될 것이다. 파형 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$k${\displaystyle }$= ($k$x ,${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ z$$) {\$displaystyle \mathbf${k} = $(k_{$x},$k_{$y},$k_{$z}}})를$$ 고려하고 ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle k\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{k}{{}_{}}}$ ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle k_{}\frac{,}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \frac{k_{}}{}}$ ${\displaystyle z\frac{{}_{}}{}}$ = k_${x}={fr\c$$.$$_{x}}{{$x}}{{$mathbf{k}}},l_{y}}={\mathbf{k}}{\$mathbf{$k}}}{\frac {k_}}}}{\mathbf{$k$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\{\backslash$mathbf {k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

${\displaystyle l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+l_{z}^{2}=1.}$

(1)

파동 방정식에 대한 해결책은

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

$그리고$ 경계조건 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ z = ${\displaystyle 0,}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ z${\displaystyle }$= L ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ x$,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z={z}$에 경계조건 u = 0 ${\displaystystyle$ x,y=L$=$$L={$z}, L_$\{$z}}}}},

${\displaystyle {\frac {2l_{x}L_{x}}{\lambda }}}}{\frac {2l_{y}}L_{{y}}}{\lambda }}}{\frac {2l_{z}L_{z}}}{\lambda }}}}}{\lambda }}}}}}}{\lambda }=n_{z}}}}}}}}$

(2)

여기서 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, n ${\displaystyle z_{}}$ ${\$는 양의 정수다$$. (2)를 (1)로 대체하고 산포 ${\displaystyle {관계}_{}}$ $s{\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\lambda }$ ${\displaystyle \nu }${ {\$displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$을(를) 사용하면 다음과 같다$.$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

위의 방정식은 고정 주파수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$에 대해 "모드 스페이스"에서 타원의 8분의 1을 설명한다($n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ z ${\$$}).$ 따라서 주파수가 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$보다 작은 모드의 수는$$ 타원 안에 있는 적분 점의 수로서, ${\displaystyle L_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, L ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle L_{x}$의 한계에 있다.$L_{y},L_{z}\to \inflt$}($$즉, 매우 큰 병렬 처리의 경우)는 타원의 볼륨에 근사하게 추정할 수 있다. 따라서 주파수가${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$] $displaystyle$ $N(\nu$ $)}$ 범위에 있는 모드$$ $displaystyle$$N(\nu$ )의 수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle N(\nu )={\frac {1}{8}}{\frac {4\pi }{3}}\left({\frac {2\nu }{c_{\mathrm {s} }}}\right)^{3}L_{x}L_{y}L_{z}={\frac {4\pi \nu ^{3}V}{3c_{\mathrm {s} }^{3}}},}$

(3)

여기서 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle L_{}}$ y ${\displaystyle L_{}}$ z ${\$는 병렬$$ 처리된 볼륨이다. 종방향의 파동속도는 종방향과 다르고 파동은 종방향의 한 방향과 횡방향의 두 방향으로 편극될 수 있다는 점에 유의한다. 따라서 $우리$는 3 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ 3${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ c ${\displaystyle \frac{{\text{길이}}_{}^{}}{}\frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ + 2 ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\text{transfer}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\$ {$3}{c_{s}^}}}}}}={\frac {1}{$1}{1}{}}}}}}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}$c_{\text}{long}^{3}}+{\frac${2}{$c_{\text}^{$3$\}\}\}\}\}\}.$

끌어 내기에 이어from,[5]. 왜냐하면 N원자들이 고체에,3N 양자 조화 oscillators 주파수의 범위에서{\displaystyle[0,\nu_{D}]}[0,ν D]진동(3을 위해 각각의 X좌표, 또한 y-,z- 방향) 있다. 그래서 우리가 진동의 D{\displaystyle \nu_{D}ν은 주파수}에 대한 상한을 정의한다. 수 있 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$를 다음과$$ 같이 결정한다.

${\displaystyle \mathrm{3N}}$= ${\displaystyle N({\nu D}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{{4\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ D ${\displaystyle \frac{3_{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ s ${\displaystyle \frac{3_{\mathrm{}}^{}}{}}$ {\$displaystyle 3N=N(\nu _{\rm{D})={\frac$ {$4\pi \nu \{\rm{D}^{3}V}{3c_{\rm {{s}}}}}}}}}}}}:{$3$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

(4)

$\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle k\frac{}{}}$ T ${\displaystyle \frac{D_{}}{}}$ h ${\$를 정의하면 여기서 k는 볼츠만의 상수이고 h는 플랑크의 상수이고, (4)를 (3)로 대체하면 된다.

${\displaystyle N(\nu )={\frac {3Nh^{3}\nu ^{3}}{k^{3}}}{k^{3}}}T_{\rm {{D}^{3}}}}$

(5)

이 정의는 더 표준적이다. We can find the energy contribution for all oscillators oscillating at frequency ${\displaystyle \nu }$. Quantum harmonic oscillators can have energies ${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$ where ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$ and using Maxwell-Boltzmann statistics, the number 에너지 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) 가진 입자의 경우

${\$$A}}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{$$A}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT$

주파수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$이(가) 있는 오실레이터의 에너지 기여도는 다음과 같다$$.

${\$$A}e^{-E_{i}/(kT$

(6)

$\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}{n}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= d ${\displaystyle N}$ (${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle$\sum \$sum _{i=0}^{n_{i}=dN$(\nu $)}($${\displaystyle \mathrm{왜냐하면}}$ $\$ ) {\$displaystydN$$(\nu$ $)})$$$ 모드가$$ 있고 주파수 $oscill{\displaystyle }$ ${\displaystystystyptystyptyptyptyptyptyptionstyledata.$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\inforty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{}{{\frac {1}{}}}}A}}e^{{1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu )}$

위로부터는 1/A의 표현을 얻을 수 있다; 그것을 (6)로 대체하면, 우리는

${\displaystyle dU=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-e^{-h\nu /(kT)}\sum _{i=0^{}\nu(i+1/2)e^{-h\nu(i+1/2)/(kT)=}}}}}}}}$

${\displaystyle =dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)=}$

${\displaystyle dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{1}2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}오른쪽)}$

ν 수익률과 관련하여 통합

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}}T_{\rm{D}}}}{0}^{3}}\int_{0}^{\nu_{D}\좌측({\frac{1}{2}}+{e^{h\nu/(kT)-1}\right)\nu ^{3}d\nu }$

저온 한계

Debye 고체의 $온도$는 T${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ T$$D {\$displaystyle T_${\$rm$ {D$}}$이(가) 있으면 낮은 것으로 알려져$$있다.

${\displaystyle {\frac{C_{V}}{Nk}\심 9\좌측({T \over T_{\rm {D}\}\우측)^{0}^{0}{0}{x^{4}e^{x}}}} \좌측(e^{x}-1\x)^{d}$

이 확실한 적분은 정확히 다음과 같이 평가할 수 있다.

${\displaystyle{\frac{C_{V}}{Nk}\심{12\pi ^{4}}5}\이상 \{T \over T_{\rm{D}\오른쪽)^{3}}}}}}}}}}}}{3}}$

저온 한계에서는 위에서 언급한 데비예 모델의 한계가 적용되지 않으며, (포닉) 열 용량, 온도, 탄성 계수, 원자당 부피(후기 수량은 데비예 온도에 포함되어 있음) 사이에 정확한 관계를 제공한다.

고온한계

데비 고체의 온도는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gg }$ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{\gg$ T_${\rm{D$}}}일 경우 ${\displaystyle {높다고}^{}}$ ${\displaystyle 하며}$$,$ e${\displaystyle }$x${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1x}$ x$${\$displaystyle$e^{$x}-1\ approx$}를 $사용$하여 x$ll$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle$ x \\$1}$을 유도한다$$$$.

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}\심 9\좌측({T \over T_{\rm{D}}\우측)^{3}\int _{0}^{0}^{{0}}}}}{{{T \}}}}}}}}T_{\rm {{D}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}{Nk}\sim 3\,}$

이것은 둘롱-페티트 법칙이며, 열용량이 더 올라가게 하는 조화성을 고려하지 않지만 상당히 정확하다. 고체의 총 열 용량은 도체 또는 반도체일 경우 전자로부터 얻을 수 없는 기여를 포함할 수도 있다.

데비 대 아인슈타인

그렇다면 데비예와 아인슈타인 모델은 실험에 얼마나 밀접하게 대응하고 있을까? 놀랍게도 가깝지만, 데비는 낮은 온도에서 옳고 아인슈타인은 그렇지 않다.

모델들은 얼마나 다른가? 그 질문에 답하려면 두 사람을 같은 축 집합에 자연스럽게 음모를 꾸미게 될 것이다... 할 수 없다는 것만 빼면 아인슈타인 모델과 데비예 모델 모두 열 용량에 대한 기능적 형태를 제공한다. 그들은 모델이고, 어떤 모델도 저울이 없다. 척도는 모형을 실제의 그것과 연관시킨다. 에 의해 주어지는 아인슈타인 모델의 스케일을 알 수 있다.

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\e^{\epsilon /kT}-1\rig)^{2}}:$

$ϵ{\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon /k}$ 입니다$.$ 그리고 Debye 모델의 스케일은 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle T_{\rm{D}},$Debye 온도 입니다. 둘 다 보통 실험 데이터에 모델을 맞추면 발견된다. (데비예 온도는 이론적으로 음속과 결정 치수로 계산할 수 있다.) 두 가지 방법이 서로 다른 방향과 다른 기하학에서 문제에 접근하기 때문에 아인슈타인과 데비예 척도는 동일하지 않다.

${\displaystyle {\\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}\d}\...}$

같은 축에 그들을 모는 건 말이 안 된다는 뜻이지 그들은 같은 것의 두 모델이지만, 서로 다른 스케일의 모델이다. 아인슈타인의 온도를 다음과 같이 정의한다면

${\displaystyle T_{\rm {E}\\\stackrel {\mathrm {def}{=}}}\\\epsilon \overk}\...}$

라고 말할 수 있다.

${\displaystyle T_{\rm {E}\neq T_{\rm {D}\d}$

이 둘을 연결하기 위해, 우리는 그 비율을 찾아야 한다.

${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}{{\displaystyle.T_{\rm{D}}}}=?}$

아인슈타인 고체는 $단주파{\displaystyle }$ 양자 고조파 오실레이터인 ,${\displaystyle }$= ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$로 구성되어 있다$.$ 만일 그것이 실제로 존재한다면 그 주파수는 고체의 음속과 관련이 있을 것이다. 만약 어떤 사람이 소리의 전파를 원자가 서로 부딪치는 일련의 것으로 상상한다면, 진동 주파수는 원자 격자 by ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\$에 의해 지속 가능한 최소 파장과 일치해야 한다는 것이 명백해진다$.$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}}\over \c_{\rm{s}}{\s}}{\sqrt[{3}}}}}}}}{c_{\rm}}}}}{\sqrt]{}}}N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \{}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}}}$

아인슈타인의 체온이

${\displaystyle T_{\rm {E}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}\}}}}}$

따라서 원하는 비율은

${\displaystyle {T_{\rm {E}\over T_{\rm{D}}={\sqrt[{3}]{\pi \6}\ =0.805995977...}$

이제 두 모형은 동일한 그래프에 표시할 수 있다. 이 비율은 3차원 구체의 부피와 그것을 포함하는 입방체의 부피에 대한 1 옥탄트의 비율의 입방체 근원이며, 이것은 위에 포함된 에너지 적분량을 근사할 때 데비에가 사용하는 보정 계수일 뿐이다.

또는 2개의 온도 비율은 모든 오실레이터가 진동하는 아인슈타인의 단일 주파수와 데비의 최대 주파수의 비율이라고 볼 수 있다. 아인슈타인의 단일 주파수는 데비예 모델에 사용할 수 있는 주파수의 평균으로 볼 수 있다.

데비온도표

Debye 모델은 완전히 정확하지는 않지만 다른 기여(고이동 전도성 전자 등)가 무시할 수 있는 절연 결정 고형물의 저온 열 용량에 대한 좋은 근사치를 제공한다. 금속의 경우 열에 대한 전자 기여는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 비례하며$,$ 저온에서 격자 진동에 대한 데비예 ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ 3$${\$displaystyle T^{3}$ 결과를$$ 지배한다. 이 경우 데비예 모델은 특정 열에 대한 격자 기여도에 대한 근사치라고만 말할 수 있다. 다음 표에는 몇 가지 순수한 원소와^[2] 사파이어에 대한 데비온도가 나열되어 있다.

알루미늄 0428 K 베릴륨 1440 K 카드뮴 0209 K 세슘 0038 K 탄소 2230 K 크롬 0630 K

구리 0343 K 게르마늄 0374 K 금 0170 K 철 0470 K 이끌다 0105 K 망간 0410 K

니켈 0450 K 백금 0240 K 루비듐 0056 K 사파이어 1047 K 셀레늄 0090 K 실리콘 0645 K

은색 0215 K 탄탈룸 0240 K 주석(흰색) 0200K 티타늄 0420 K 텅스텐 0400K 아연 0327 K

데비예 모델의 실험 데이터 적합성은 데비예 온도가 온도에 따라 달라지게 함으로써 현상적으로 개선되는 경우가 많다.^[6] 예를 들어, 수빙의 값은 온도가 절대 0에서 약 100K로 올라갈 때 약 222K에서^[7] 300K로^[8] 증가한다.

기타 준입자까지 연장

다른 보소닉 준입자의 경우, 예를 들어, 음파(음파) 대신 페로마그네틱에 있는 마그논(음파)의 경우, 유사한 결과를 쉽게 도출한다. In this case at low frequencies one has different dispersion relations, e.g., ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$ in the case of magnons, instead of ${\displaystyle E(\nu )\propto k}$ for phonons (with ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$). 또한 상태 밀도가 다르다(예: $\int {\displaystyle }$ g (${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle d\mathrm{}\nu }$ ${\displaystyle N}$ ${\$ As a consequence, in ferromagnets one gets a magnon contribution to the heat capacity, ${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V \,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$, which dominates at sufficiently low temperatures the phonon contribution, ${\displaystyle \$$,\Delta C_{\,{\rm {$V$\,phon}}\propto T^{3$ 금속에서는 열 용량에 대한 주요 저온 기여인${\displaystyle }$∝ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \propto$ T$}$가 전자에서 나온다$.$ 그것은 페르미온어인데, 소머펠트의 자유 전자 모델로 거슬러 올라가 다른 방법으로 계산된다.

액체로 확장

액체는 종방향만 지속할 뿐 고체에서 열 용량의 2/3을 담당하는 횡방향 음핵은 유지하지 못하기 때문에 음핵 이론은 액체의 열 용량을 설명할 수 없다고 오랫동안 생각되어 왔다. 그러나, 야코프 Frenkel의 직관을 확인하면서 중성자와 X선을 이용한 브릴루인 산란 실험은,^[9] 비록 Frenkel 주파수라고 불리는 임계치 이상의 주파수로 제한되기는 했지만, 횡단적인 포논이 액체 속에 존재한다는 것을 보여주었다. 대부분의 에너지는 이러한 고주파 모드에 포함되기 때문에, 데비예 모델을 간단히 수정하면 간단한 액체의 실험 열 용량에 대한 좋은 근사치를 산출하기에 충분하다.^[10]

데비 주파수

데브이 주파수(심볼: $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ e ${\$ 또는$$ $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$ _${\rm$ {$D$는 데브이 모델의 매개 변수다. 이것은 질량의 조화 사슬 파동에 대한 컷오프 각도 주파수를 말하며, 결정 격자에서 이온의 움직임을 보다 구체적으로 설명하여 그러한 결정의 열 용량을 고온에서 일정하게 예측하는 데 사용된다(Dulong-Petit 법칙). 이 용어는 1912년 피터 데비에 의해 처음 도입되었다.^[11]

이 조항 전체에 걸쳐 주기적인 경계 조건을 가정한다.

정의

분산 관계가

${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}\mathbf{}}$ $displaystyle \omega =v_{\rm {s}} \mathbf {k$

${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 결정에서 음속의 속도 및 k 파형 벡터를 사용하면 데비예 주파수의 값은 다음과 같다.

1차원 단원자 체인의 경우 데비 주파수는^[12]

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$/ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ N${\displaystyle }$/ ${\displaystyle L}$= v ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $\$ \\$displaystyle \omega \{\rm {D}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_${\$rm {s}\lambda$

$시스템$이 접지 상태일 때(이 경우 원자 중 어느 것도 서로에 대해 이동하지 $않는다는{\displaystyle }$ 의미$),$ N {\$displaystyle$ N$},$ 그리고 L {\$displaystyle$ L} 시스템의 크기(볼륨)를 가진 두 개의$$ 인접한 원자 사이의 거리$$$({\$$displaystystyle$ $a$$}).$체인 길이) 및 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 선형 숫자 밀도 입니다. 다음 관계가 유지되는 경우: $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L=Na$

2차원 단원자 정사각형 격자의 경우 Debye 주파수는

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2}}$,

$여기$서,$${\$displaystyle a$} 및$$ $N{\displaystyle }${\$displaystyle$N}이$$(가) 이전과 $동일$하고, A${\displaystyle }$l${\displaystyle {}^{}{L2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$A\$equiv$ L$^{2}{=}Na^{2$}}는$$ 표면의 크기(면적)이며, $\$ {\$displaystyle \sigma \$sigma }.

3차원 단원자 원시 입방 결정의 경우, 데비 주파수는 다음과 같다^[13].

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3}}$,

$여기$서,$${\$displaystyle a$} 및$$ $N{\displaystyle }${\$displaystyle$ N$},$ $V{\displaystyle }$≡ ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle V\equiv$ L$^{3}=Na^{3}}$ 시스템 크기$$, $\rho {\displaystyle }$ ${\displaysty \rho}$ 볼륨 번호 밀도.

결정에서 음속은 원자의 질량, 상호작용의 강도, 시스템에 대한 압력 및/또는 파동의 양극화(종도 또는 횡방향)에 따라 달라질 수 있지만, 다음에서 먼저 음속은 모든 양극화에 대해 동일하다고 가정할 것이다(그러나 이 가정은 변하지 않는다).보다 광범위한 시사점.^[14]

가정된 분산 관계는 1차원 질량 사슬에 대해 쉽게 잘못 입증되지만, 데비의 모델에서는 이것이 문제가 되지 않았다.

데비의 온도와 관계

데비예 모델의 또 다른 파라미터인$$데비예 온도 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 관계에 의한 데비예 주파수와 관련이 있다.

${\displaystyle \theta _{\rm {D}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}\omega _{\rm {D},}$

여기서 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar}$은(는) Plank 상수, k ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\$rm {$B}}$은(는) 볼츠만 상수다.

데비예의 유래

입체 크리스털

데비의 열 용량 도출에서 그는 시스템의 모든 가능한 모드를 요약한다. 즉, 다른 방향과 양극화를 포함한다. 그는 양극화당 총 모드 수를 ${\displaystyle \mathrm{3N}}$$[\$$displaystyle 3N}($$시스템{\displaystyle }$ 내 질량의 N$$ {\$displaystyle N}$ 포함) 또는 수학적 언어로^[14] 가정했다.

${\displaystyle \sum _{m\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{o}}}$ d e ${\displaystyle \underset{}{3}\mathrm{}}$= ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle \sum _{\rm {modes}3=3N$

여기서 양쪽에 있는$$ $[\displaystyle 3]$는 3개의 편광으로 인해 발생하므로, 합계는 하나의 특정 편광에 대해 모든 모드에 걸쳐 나타난다. 데비는 고전 역학으로부터 질량 체인의 양극화당 모드의 수가 체인의 질량의 양과 항상 같아야 한다는 것을 알았기 때문에 이런 가정을 했다.

이제 왼손은 데비 주파수(여기서는 단순히 컷오프 주파수, 즉 데비 주파수보다 높은 주파수는 존재할 수 없음)에 따라 어떻게 달라지는지를 명시적으로 보여줌으로써 그것에 대한 표현을 찾을 수 있게 되었다.

로 나는 정도 우선, 가정하여 나는{L\displaystyle}매우 k나는 2π/L(/L}원(나는{\displaystyle L}>를<>1L로{L}\displaystyle의 크기를 시스템에 어떠한의 3방향)어떤 방향에서 가장 작은 파수 벡터 d:에 의해 가깝게 될 수 있다면), y, z. 클 것{\d$isplaystyle i=x,y,z$ 주기적인 경계 조건 때문에 더 작은 파동 벡터는 존재할 수 없다. 따라서 합계는 4가 될 것이다.

${\displaystyle \sum _{m\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{o}}}$ e ${\displaystyle \underset{}{3}\mathrm{}}$= ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ V${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi {}^{}}{}}$) ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle d\mathbf{}}$ ${\$ {$modes}3={\frac {3V}{3\pi )^}}\iint d\mathbf {k$

where ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$; ${\displaystyle V\equiv L^{3}}$ is the size of the system; and the integral is (as the summation) over all possible modes, which is assumed to be a finite region (bounded by the cut-off frequency).

3중 적분은 $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 모든 절대값에서 단일 적분으로 다시 쓸 수 있다($$구면 좌표는 Jacobian 참조). 결과는

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}} \mathbf {k} ^{2}d\mathbf {k} }$,

${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(와) 함께 데비예 주파수에 해당하는 파동 벡터의 절대값으로$$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ D =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}{v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle s{}_{}}$ ${\${D$}=\omega _${\$rm$ {$D}/v}{\rm {s$

산포 관계가 $\Omega {\displaystyle }$= ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle s{}_{}\mathbf{}}$ k${\displaystyle }${\$displaystyle \omega =v_{\rm {k}} \mathbf {k$ 가능한 모든 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega}$에 걸쳐 적분으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}} \mathbf {k} ^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega }$,

적분을 해결한 후 다시 ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle 3N}$과(와) 동일시하여 찾음

${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{s\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3_{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle D_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {V}{2\pi^{2}v_{\rm{s}}}}{3}}\omega _{\rm {D}^{3}}=3N}$.

결론:

${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 6\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{N\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle v{}_{}^{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$}N$}{V}v_{\rm {s}^{3$

3D 공간의 1차원 체인

원자의 1차원 체인에 대해서도 동일한 파생이 수행될 수 있다. 여전히 3개의 편광화가 있기 때문에 모드의 수는 변함이 없다. 그렇게

${\displaystyle \sum _{m\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{o}}}$ d e ${\displaystyle \underset{}{3}\mathrm{}}$= ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle \sum _{\rm {modes}3=3N$

나머지 파생은 이전과 유사하므로 다시 왼편이 다시 쓰여진다.

${\displaystyle \sum _{\rm$$}}$$L}{2\pi }\int _{-k_{\rm {D}^{k_{\rm {D}dk={\frac {3$$}$$L}{\pi v_{\rm {s}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}d\omega$

마지막 $단계$에서는 k ${\displaystyle k}$이(가) 음수로 실행되지만$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 음수로 실행되지 않기 때문이다. 우리는 계속한다;

${\displaystyle {\frac$$}$$L}{\pi v_{\rm {s}}\int _{0}^{\rem {D}d\frac{3$$}$$L}{\pi v_{\rm{s}}\omega _{\rm {D}=3N}$.

결론:

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ L ${\${s$}N}{$L$\}\}\}.$

2차원 결정체

2차원 결정에도 동일한 파생이 이루어질 수 있다. 다시 말하지만, 여전히 세 개의 편광화가 있기 때문에 모드의 수는 변하지 않고 있다. 그 유래는 앞의 두 가지와 유사하다. 같은 방정식으로 시작하지만

${\displaystyle \sum _{m\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{o}}}$ d e ${\displaystyle \underset{}{3}\mathrm{}}$= ${\displaystyle \mathrm{3N}}$ ${\displaystyle \sum _{\rm {modes}3=3N$

그리고 나서 왼쪽을 다시 써서 $[\디스플레이$ 스타일 $3N}$과 동일시한다.

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3$$A}{{2\pi v_{\rm{s}}}^{2}}\int_{0}^{0}^{\rm{D}}\omega d\omega ={\frac {3$$}$$A\omega _{\rm{D}^{2}}:{4\pi v_{\rm{s}^{2}}=3N$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 시스템의 크기 입니다$$.

결론

${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ N ${\displaystyle v{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$D}^{2}={\frac$ {$4\pi$ N$}{A}v_{\rm$ {$s}^{2$

양극화를 허용하여 차이를 만드는 것

서론에서 언급한 바와 같이 일반적으로 종파는 횡파와는 다른 파속도를 가진다. 분명히 그들은 처음에는 동등하다고 가정했지만, 이제 우리는 그 가정을 포기한다.

산포 관계는 ${\displaystyle {\Omega }_{}{i}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ s${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}\mathbf{}}${\$displaystyle \omega$_{$i}=v_{s,i}$ $\mathbf {k}$ $여기$서${\displaystyle \mathrm{i}}$ =${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, 3$${\$displaystyle i=$1,2,$3$이(가) 세 가지 편극화에 해당한다. The cut-off frequency (Debye frequency) however does not depend on ${\displaystyle i}$. And we can write the total number of modes as ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$, which is again equal to ${\displaystyle 3N}$. Here the summation over the modes is (although not explicitly stated)은(는$)$ i {\$displaystyle i}$에 종속된다$.$

원차원

다시 한번 모드에 대한 합계가 다시 쓰여진다.

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N}$.

결과는

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N}$.

따라서 데비 주파수가 발견된다.

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}}$.

또는 두 횡방향 편광화가 동일하다고 가정하여(상속 속도와 주파수가 동일함)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}^{2}v_{s,l}}{2v_{s,t}v_{s,l}+v_{s,t}^{2}}}}$.

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s,}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{,}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$를 설정하여 이 관계가 이전에 발견된 관계와 동일함을 확인할 수 있다.

2차원

2차원 결정에서도 동일한 파생을 찾을 수 있다(이 파생은 이전 파생과 유사함).

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^$${2}}}}$.

또는 두 횡방향 편광화가 동일하다고 가정함으로써(두 차원에 대해서는 모든 편광화가 서로 다르다면 더 논리적일 것이다).

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}^{2}v_{s,l})^{2}}{2(v_{s,t}v_{s,l})^{2}+v_{s,t}^{4}}}}$.

$다시{\displaystyle {}_{}}$ 한 번 v ${\displaystyle {s,}_{}{t}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s,}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}${\$displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}$를 설정하여 이전에 발견된 것과 동일한 관계를 확인할 수 있다$.$

삼차원

3차원 결정에서도 동일한 파생을 찾을 수 있다(이 파생은 이전 파생과 유사하다).

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1$$}}v_{s,2}^{3$

또는 두 횡방향 편광화가 동일하다고 가정함으로써(3차원의 경우 모든 편광화가 동일할 때 더 논리적일 수 있다):

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}^{2}v_{s,l})^{3}}{2(v_{s,t}v_{s,l})^{3}+v_{s,t}^{6}}}}$.

$다시{\displaystyle {}_{}}$ 한 번 v ${\displaystyle {s,}_{}{t}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s,}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}${\$displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}$를 설정하여 이전에 발견된 것과 동일한 관계를 확인할 수 있다$.$

실제 산포 관계를 갖는 파생

이 문제는 좀 더 복잡하게 만들어서 좀 더 통찰력 있게 만들 수 있을 것이다. 산포 $관계{\displaystyle }$ Ω${\displaystyle }$= ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ k$${\$displaystyle \omega =v_{\rm {s}k}$을(를) 사용하는 대신$,$ 이제 올바른 산포 관계가 가정된다. 고전역학에서 서로 조화롭게 상호작용하는 등거리 질량 체인에 대해 분산 관계는 다음과^[14] 같이 읽혀진다고 알려져 있다.

${\displaystyle \Omega (k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \kappa \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{m}{}}}$ ${\displaystyle \sin \sqrt{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ 2${\displaystyle }$) $displaystyle \omega(k)=2{\\sqrt {\frac {\cappa }}}\왼쪽 \sin \left \preflt\{m}}}}}\오른쪽$$}.$

이러한 관계를 플로팅한 결과, 결국 데비의 컷오프 파장 추정이 옳았음이 분명하다. ${\displaystyle 왜냐하면}$ $\pi {\displaystyle }$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \pi$/$a$$}($즉,${\displaystyle }$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) ${\displaystyle 2}$ a ${\$$displaystyle 2a$$}$보다 작은 wavenumber는 동일한$$ 각도 주파수로 $찾을$ 수 있기$때문이다.$ 즉, 큰 수면을 가진 모드에 대한 물리적 발현이 작은 수면을 가진 모드와 구별할 수 없음을 의미한다. 따라서 분산 관계에 대한 연구는 첫 번째 브릴린 영역으로^[15] 제한될 수 있다${\displaystyle .}$ 즉, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ [ -${\displaystyle \frac{a}{}}$ a ,${\displaystyle }$] ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k\in [-{\frac {\pi$}}{$a},{\frac {\pi$이는 애니메이션 그림에서 보여지듯이 시스템이 탈고된 점들로 구성되어 있기 때문에 가능한 일이다. 분산 관계를 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $k$$}$로 나누고$$${\displaystyle }$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$pi$ /$a}$을$($를) 삽입하면 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle k=\pi /a}$이(가) 있는 파형의 속도를 확인할$$ 수 있다.

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {s(}_{}k}$= ${\displaystyle \pi }$/ a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \kappa \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{m}{}}}$ ${\$

${\displaystyle 원래}$ 분산 $관계$에서${\displaystyle k}$ = ${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle k=\pi /a}$을(를) 삽입하기만 하면 찾을 수 있다.

${\displaystyle \Omega (k}$= ${\displaystyle \pi }$/ a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\Omega }{}}}$ m${\displaystyle \sqrt{}}$=$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$D}.$

이러한 결과를 결합하면 동일한 결과를 다시 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ s ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ ${\$}}{$a$

단, 이원자 체인(및 더 복잡한 체인)의 경우, 컷오프 파장의 크기가 2배이고 분산 관계가 2개의 분기(이원자 체인의 경우)로 구성되기 때문에 관련 차단 주파수(및 파장)는 그다지 정확하지 않다. 이것으로부터 더 많은 차원 시스템의 경우 차단 주파수가 데비에에 의해 정확하게 예측되었는지 여부도 확실하지 않다.

대체 파생

1차원 체인의 경우 이 결과는 앨리어싱에 관한 이론을 사용하여 재현될 수도 있다. Nyquist-Shannon 샘플링 정리는 다음의 파생에서 사용된다; 주요한 차이점은 다음 파생에서 디스트리밍은 시간에 있는 것이 아니라 공간에 있다는 것이다. 마지막 단락의 정확한 분산 관계를 사용하면 컷오프 주파수가 이전에 도출된 값(두 배)을 갖는 다른 통찰력 있는 방법으로 명확해질 것이다. 다시 한 번 말인데.

${\displaystyle \omega(k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}\왼쪽 \sin \left \\frac {ka}{2}}\오른쪽 }}}$

가정한다.

이 파생은 이전의 것과 완전히 동등하다. 즉, 결과를 얻기 위해 동일한 가정을 한다. 그것은 더 정확하거나 덜 정확하지 않고 단지 다른 접근법일 뿐이다.

차단 주파수가 어디에 있어야 하는지를 판단하려면 먼저 파장의 컷오프가 어디에 있어야 하는지를 결정하는 것이 유용하다. 는 분산 관계에서 우리는 k>;π/각 모드 반복된{\displaystyle k>, \pi /a}, 그래서 차단 파장λ D=2{\displaystyle \lambda_{\rm{D}}=2a}을 보세요. 이거면 여러분은 즉시가 양극화당 모드의 총 수를 알 수 있는 주기적 경계 조건부터 있었을 거라고 알고 있다. n${\displaystyle }$앞 단락의 $gif$에서$$보듯이 이것은 파장이 2 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$보다 짧은 파장을 $가진{\displaystyle \mathrm{}}$ 모든 파장을$$동일한 물리적 $결과$를 얻기 위해 2 a {\$displaystyle$ 2a$}$보다 긴 파장으로 대체할 수 있기 때문이다$.$

$그러나{\displaystyle }$ 왜 컷오프가 correct =${\displaystyle 2}$ a ${\displaystyle \lambda =2a}$이어야 하는지에 대해서는 이전 단락(정확한 단락)의 분산관계조차 추론할 필요가 없다$.$ 왜냐하면 그림처럼 파장이 2 ${\displaystyle a}$ ${\displaystytle 2a}$보다 긴 파장만이 다른 것과 동일한 물리적 결과를 나타낼 수 있기$$ 때문이다. 따라서 이것은 정확한 분산 관계(또는 데비예가 그랬던 것처럼 고전 역학으로부터 얻은 지식도 사용하지 않고 차단 파장을 정확하게 예측하는 또 다른 방법이다. 그러나 데비가 추측한 잘못된 분산 관계를 사용하면 파장의 크기가 작은 파장의 주파수는 더 높지만 질량의 상대적인 움직임은 같기 때문에 이것이 새로운 모드를 제공하지는 않는다.

${\displaystyle 이}$ 경우 다시 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle k_{\rm}=\pi /a$ 렌더링

${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ s ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ ${\$}}{$a$

또한 여기서 사용되는 분산 관계(정확한 분산 관계 또는 데브이가 사용한 분산 관계)는 중요하지 않으며, 동일한 차단 주파수를 찾을 수 있다.

불행히도 대각선 파장은 더 큰 컷오프 파장을 가질 것이기 때문에 2차원 또는 3차원 결정에도 같은 방법을 (쉽게) 사용할 수 없었다.

참고 항목

• 보세 가스
• 상자 안의 가스
• 그뤼나이센 파라미터

참조

추가 읽기

• CRC 화학 및 물리학 지침서, 제56판(1975–1976)
• 슈뢰더, 다니엘 5세 열물리학에 대한 소개. 샌프란시스코 애디슨 웨슬리(2000년) 7.5절

외부 링크

• 크라이오스타트를 이용한 석영조의 특정 열, 열 및 열 전도성의 실험적 결정.
• Simon, Steven H. (2014) Oxford 솔리드 스테이트 기본 사항 (가장 관련 있는 것: 1, 2, 6)