과대산출 임계값

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술적 세부사항을 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오(2021년 3월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

퍼콜레이션 임계값은 무작위 시스템에서 장거리 연결의 형성을 기술하는 퍼콜레이션 이론의 수학 개념이다. 한계치 아래에는 거대하게 연결된 구성요소가 존재하지 않으며, 그 위에 있는 동안 시스템 크기 순서의 거대한 구성요소가 존재한다. 공학과 커피 제조에서, 퍼콜레이션은 다공성 매체를 통한 유체의 흐름을 나타내지만, 수학 및 물리학 세계에서는 일반적으로 무작위 시스템이나 네트워크(그래프)의 단순화된 격자 모델과 그 안에 있는 연결성의 성격을 가리킨다. 과집합 임계값은 직업 확률 p의 임계 값 또는 보다 일반적으로 매개변수 p₁, p₂, ...의 그룹에 대한 임계 표면으로서 무한 연결(과집합)이 먼저 발생한다.

퍼콜레이션 모델

가장 일반적인 퍼콜레이션 모델은 사각 격자처럼 규칙적인 격자를 취하여 무작위로 "점용" 사이트(수직) 또는 통계적으로 독립적인 확률 p를 가진 결합(에지)을 통해 무작위 네트워크로 만드는 것이다. 임계 임계값 p에서는_c 먼저 큰 클러스터와 장거리 연결이 나타나며 이를 퍼콜레이션 임계값이라고 한다. 무작위 네트워크를 얻는 방법에 따라 사이트 과집 임계값과 결합 과집 임계값을 구별한다. 보다 일반적인 시스템은 몇 가지 확률₂ p₁, p 등을 가지며, 전환은 임계 표면이나 다지관으로 특징지어진다. 무작위로 배치된 디스크와 구를 겹치는 것과 같은 연속체 시스템이나 음의 공간(스위스-치즈 모델)도 고려할 수 있다.

지금까지 기술된 제도에서는 부지나 채권의 점유는 완전히 무작위라고 가정되어 왔다. 이것이 이른바 베르누이 퍼콜레이션이다. 연속체 시스템의 경우, 무작위 점유는 포아송 공정에서 배치되는 점들에 해당한다. 추가 변동은 Fortuin-Kastleyn 방법에 의해 결합이 내려지는 페로마네트의 Ising 및 Potts 모델과 관련된 퍼콜레이션 클러스터와 같은 상관된 퍼콜레이션을 포함한다.^[1] 부트스트랩 또는 k-sat 퍼콜에서 사이트 및/또는 결합은 먼저 점유된 다음 사이트에 적어도 k개의 이웃이 없는 경우 시스템에서 연속적으로 도태된다. 다른 보편성 클래스에서 전체적으로 다른 중요한 퍼콜레이션의 또 다른 중요한 모델은 퍼콜레이션 방향이며, 여기서 결합을 따르는 연결성은 흐름의 방향에 따라 달라진다.

지난 수십 년 동안, 이러한 다양한 시스템에 대한 정확하고 대략적인 퍼콜레이션 임계값의 값을 찾기 위해 엄청난 양의 작업이 진행되었다. 정확한 임계값은 삼각형 변환에서 시스템이 그대로 유지되도록 자체 이중 배열로 분할할 수 있는 특정 2차원 격자에 대해서만 알려져 있다. 수치적 방법을 이용한 연구는 알고리즘의 수많은 개선과 몇 가지 이론적 발견으로 이어졌다.

단순히 2차원의 이중성은 모든 완전 삼각형 격자(예: 삼각형, 유니언 잭, 크로스 듀얼, 마티니 듀얼 및 아사노하 또는 3-12 듀얼, 델라우나이 삼각측량)가 모두 부지 임계값이 1/2이고 자가 이중 격자(제곱, 마티니-B)가 1/2임을 의미한다.

(4,8²)와 같은 표기법은 그룬바움(Grünbaum)과 셰퍼드(Shephard)에서 유래하며,^[2] 주어진 꼭지점 주위에서 시계방향으로 가다가 정사각형 주위로 한 사람이 먼저 마주치고 그 다음에 두 옥타곤을 만난다는 것을 나타낸다. 모든 부지가 동일한 일반 폴리곤으로 구성된 11개의 아르키메데스 격자 외에도, 다른 등급의 부지가 있는 더 복잡한 격자들도 연구되어 왔다.

마지막 자리 또는 숫자의 오류 막대는 괄호 안의 숫자로 표시된다. 따라서 0.729724(3)는 0.729724 ± 0.000003을 의미하며, 0.74042195(80)는 0.74042195 ± 0.00000080을 의미한다. 오차 막대는 출처에 따라 순오차(통계적 및 예상 계통적 오차 포함)의 표준 편차 또는 경험적 신뢰 구간을 다양하게 나타낸다.

2D 격자에서의 퍼콜레이션

아르키메데스 격자의 임계값

이것은 11개의 아르키메데스 래티스 또는 균일 기울기를 그린 그림으로^[3], 모든 폴리곤이 규칙적이고 각 꼭지점이 동일한 폴리곤의 순서로 둘러싸여 있다. 예를 들어 "(3, 6⁴)"이라는 표기법은 모든 꼭지점이 4개의 삼각형과 1개의 육각형으로 둘러싸여 있다는 것을 의미한다. 이러한 격자에 부여된 몇 가지 일반적인 이름이 아래 표에 나열되어 있다.

• 

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
3-12 또는 (3, 122 )	3	3	0.807900764... = (1 - 2개 죄(π/18)1/2[4]	0.74042195(80),[5] 0.74042077(2)[6] 0.740420800(2),[7] 0.7404207988509(8),[8][9] 0.740420798850811610(2),[10]
교차, 잘린 3헥사형(4, 6, 12)	3	3	0.746,[11] 0.750,[12] 0.747806(4),[4] 0.7478008(2)[8]	0.6937314(1),[8] 0.69373383(72),[5] 0.693733124922(2)[10]
사각 팔각형, 욕실 타일, 4-8, 잘린 사각형 (4, 82)	3	-	0.729,[11] 0.729724(3),[4] 0.7297232(5)[8]	0.6768,[13] 0.67680232(63),[5] 0.6768031269(6),[8] 0.6768031243900113(3),[10]
벌집(63)	3	3	0.6962(6),[14] 0.697040230(5),[8] 0.6970402(1),[15] 0.6970413(10),[16] 0.697043(3),[4]	0.652703645... = 1-2 죄(π/18), 1+p-3p32=0[17]
카고메 (3, 6, 3, 6)	4	4	0.652703645... = 1 - 2개 죄(π/18)[17]	0.5244053(3),[18] 0.52440516(10),[16] 0.52440499(2),[15] 0.524404978(5),[6] 0.52440572...,[19] 0.52440500(1),[7] 0.524404999173(3),[8][9] 0.524404999167439(4)[20] 0.52440499916744820(1)[10]
루비,[21] Rhombitrihexangle(3, 4, 6, 4)	4	4	0.620,[11] 0.621819(3),[4] 0.62181207(7)[8]	0.52483258(53),[5] 0.5248311(1),[8] 0.524831461573(1)[10]
정사각형4(4)	4	4	0.59274(10),[22] 0.59274605079210(2),[20] 0.59274601(2),[8] 0.59274605095(15),[23] 0.59274621(13),[24] 0.59274621(33),[25] 0.59274598(4),[26][27] 0.59274605(3),[15] 0.593(1),[28] 0.591(1),[29] 0.569(13),[30] 0.59274(5)[31]	1/2
육각형, 단풍잎[32](34,6)	5	5	0.579[12] 0.579498(3)[4]	0.43430621(50),[5] 0.43432764(3),[8] 0.4343283172240(6),[10]
사각형, 퍼즐(32, 4, 3, 4 )	5	5	0.550,[11][33] 0.550806(3)[4]	0.41413743(46),[5] 0.4141378476(7),[8] 0.4141378565917(1),[10]
프리제, 긴3 삼각형(3, 42)	5	5	0.549,[11] 0.550213(3),[4] 0.5502(8)[34]	0.4196(6),[34] 0.41964191(43),[5] 0.41964044(1),[8] 0.41964035886369(2) [10]
삼각형(36)	6	6	1/2	0.347296355... = 2개의 죄(π/18), 1 + p - 3p3[17] = 0

참고: 벌집형 대신 "헥스각형"을 사용하기도 하지만, 일부 분야에서는 삼각 격자라고도 한다. z = 벌크 조정 번호.

확장되고 복잡한 이웃이 있는 2D 선반

이 절에서 sq-1,2,3은 제곱(NN+2NN+3N)^[35] 등에 해당한다. 제곱-2N+3N+4N,^[36] sq(1,2,3)에 해당한다.^[37] tri = 삼각형, hc = 벌집형.

격자	z	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
sq-1, sq-2, sq-3, sq-5	4	0.5927...[35][36] (제곱 사이트)
sq-1,2, sq-2,3, sq-3, sq-3,5	8	0.407...[35][36][38] (제곱 일치)	0.25036834(6),[15] 0.2503685,[39] 0.25036840(4) [40]
sq-1,3	8	0.337[35][36]	0.2214995[39]
sq-2,5: 2NN+5NN	8	0.337[36]
hc-1,2,3: 벌집-NN+2N+3NN	12	0.300[37]
tri-1,2: 삼각-NN+2NN	12	0.295,[37] 0.289,[12]
tri-2,3: 삼각-2N+3NN	12	0.232020(36),[41]
sq-4: 제곱-4NN	8	0.270...[36]
sq-1,5: 제곱-NN+5NN	8(r ≤ 2)	0.277[36]
sq-1,2,3: 제곱-NN+2N+3NN	12	0.292,[42] 0.290(5) [43] 0.289,[12] 0.288,[35][36]	0.1522203[39]
sq-2,3,5: 제곱-2N+3N+5N+5NN	12	0.288[36]
sq-1,4: 제곱-NN+4NN	12	0.236[36]
sq-2,4: 제곱-2N+4NN	12	0.225[36]
3-4: 삼각-4NN	12	0.192450(36)[41]
tri-1,2,3: 삼각-NN+2N+3NN	18	0.225,[42] 0.215,[12] 0.215459(36)[41]
sq-3,4: 3NN+4N	12	0.221[36]
sq-1,2,5: NN+2N+5NN	12	0.240[36]	0.13805374[39]
sq-1,3,5: NN+3N+5NN	12	0.233[36]
sq-4,5: 4NN+5NN	12	0.199[36]
sq-1,2,4: NN+2N+4NN	16	0.219[36]
sq-1,3,4: NN+3N+4NN	16	0.208[36]
sq-2,3,4: 2N+3N+4NN	16	0.202[36]
sq-1,4,5: NN+4N+5NN	16	0.187[36]
sq-2,4,5: 2N+4N+5N+5N	16	0.182[36]
sq-3,4,5: 3N+4N+5N+5N	16	0.179[36]
sq-1,2,3,5: NN+2N+3NN+5N	16	0.208[36]	0.1032177[39]
3-4,5: 4N+5N	18	0.140250(36),[41]
sq-1,2,3,4: NN+2N+3N+4NN (r≤ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$	20	0.196[36] 0.196724(10)[44]	0.0841509[39]
sq-1,2,4,5: NN+2N+4NN+5N	20	0.177[36]
sq-1,3,4,5: NN+3N+4NN+5N	20	0.172[36]
sq-2,3,4,5: 2N+3N+4NN+5N	20	0.167[36]
sq-1,2,3,5,6: NN+2N+3NN+5N+6NN	20		0.0783110[39]
sq-1,2,3,4,5: NN+2N+3N+4NN+5NN (${\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$≤ 8 ${\$	24	0.164[36]
tri-1,4,5: NN+4N+5NN	24	0.131660(36)[41]
sq-1,...,6: NN+...+6NN(r≤3)	28	0.142[12]	0.0558493[39]
tri-2,3,4,5: 2N+3N+4NN+5N	30	0.117460(36)[41]
tri-1,2,3,4,5: NN+2N+3N+4NN+5N	36	0.115,[12] 0.115740(36)[41]
sq-1,...,7: NN+...+7NN(r≤ ${\displaystyle \sqrt{10}}$ ${\$	36	0.113[12]	0.04169608[39]
제곱: 제곱 거리 ≤ 4	40	0.105(5)[43]
sq-(1,..., 8: NN+..+8NN (r≤ ${\displaystyle \sqrt{13}}$ ${\$	44	0.095765(5),[44] 0.095[33]
sq-1,...,9: NN+..+9NN	48	0.086 [12]	0.02974268[39]
sq-1,...,11: NN+...+11NN	60		0.02301190(3)[39]
sq-1,... (r ≤ 7)	148		0.008342595[40]
sq-1,...,32: NN+...+32NN	224		0.0053050415(33)[39]
sq-1,...,86: NN+...+86NN(r≤15)	708		0.001557644(4)[45]
sq-1,...,141: NN+...+141NN (r≤ ${\displaystyle \sqrt{389}}$ ${\$	1224		0.000880188(90)[39]
sq-1,...,185: NN+...+185NN(r≤23)	1652		0.000645458(4)[45]
sq-1,...,317: NN+...+317NN(r≤31)	3000		0.000349601(3)[45]
sq-1,...,413: NN+...+413NN(r≤ ${\displaystyle \sqrt{1280}}$ ${\$	4016		0.0002594722(11)[39]
제곱: 제곱 거리 ≤ 6	84	0.049(5)[43]
제곱: 제곱 거리 ≤ 8	144	0.028(5)[43]
제곱: 제곱 거리 ≤ 10	220	0.019(5)[43]
2x2 겹치는 제곱*		0.58365(2) [44]
3x3 겹치는 제곱*		0.59586(2) [44]

여기서 NN = 가장 가까운 이웃, 2NN = 두 번째로 가까운 이웃(또는 가장 가까운 이웃), 3NN = 세 번째로 가까운 이웃(또는 다음으로 가까운 이웃) 등 일부 논문에서는 이를 각각 2N, 3N, 4N이라고도 한다.^[35]

• 겹치는 정사각형의 ${\displaystyle {경우}_{}}$ 여기에 $주어진{\displaystyle {}_{}}$ p c$${\$displaystyle p_{c$사이트)는 연속적으로 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ c ${\$$displaystyle \pi$ _{c$}$와 유사한$$ $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$$displaystyle \pi _{c$$}$를 점유한 사이트의 순 부분이다. The case of a 2×2 system is equivalent to percolation of a square lattice NN+2NN+3NN+4NN or sq-1,2,3,4 with threshold ${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$ with ${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$.^[44] The 3×3 system corresponds to sq-1,2,3,4,5,6,7,8 with z=44 and ${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$. For larger overlapping squares, see.^[44]

아르키메데스 래티스의 임계값에 대한 대략적인 공식

격자	z	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
(3, 122 )	3
(4, 6, 12)	3
(4, 82)	3		0.676835..., 4p3 + 3p4 - 6p5 - 2p6[46] = 1
벌집(63)	3
카고메 (3, 6, 3, 6)	4		0.524430..., 3p2 + 6p3 - 12p4+ 6p56[47] - 1
(3, 4, 6, 4)	4
정사각형4(4)	4		1/2 (계속)
(34,6 )	5		0.434371..., 12p3 + 36p4 - 21p5 - 327p6 + 69p7 + 2532p8 - 6533p9 + 8256p10 - 6255p11 + 2951p12 - 837p13 + 126p14 - 7p15[citation needed] = 1
사각형, 퍼즐(32, 4, 3, 4 )	5
(33, 42)	5
삼각형(36)	6	1/2 (계속)

사이트 본드 2D 퍼콜레이션

사이트 본드 퍼콜레이션. 여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 부지 점유 확률이고$$ p ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 채권 점유 확률이며$$, 한 경로를 따라 부지와 채권이 모두 점유된 경우에만 연결이 이루어진다. 임계 조건은 곡선 $f{\displaystyle (p_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ )${\displaystyle f(p_{s},p_{b}}}$ $$= 0이 되며, 일부 특정 임계 쌍$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, p ${\displaystyle b_{}}$) ${\displaystyle(p_{s},p_{b})$이 아래에 나열되어$$ 있다.

사각 격자:

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
정사각형의	4	4	0.615185(15)[48]	0.95
			0.667280(15)[48]	0.85
			0.732100(15)[48]	0.75
			0.75	0.726195(15)[48]
			0.815560(15)[48]	0.65
			0.85	0.615810(30)[48]
			0.95	0.533620(15)[48]

벌집형(헥스각형) 격자:

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
벌집 모양의	3	3	0.7275(5)[49]	0.95
			0. 0.7610(5)[49]	0.90
			0.7986(5)[49]	0.85
			0.80	0.8481(5)[49]
			0.8401(5)[49]	0.80
			0.85	0.7890(5)[49]
			0.90	0.7377(5)[49]
			0.95	0.6926(5)[49]

카고메 격자:

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
카고메	4	4	0.6711(4),[49] 0.67097(3)[50]	0.95
			0.6914(5),[49] 0.69210(2)[50]	0.90
			0.7162(5),[49] 0.71626(3)[50]	0.85
			0.7428(5),[49] 0.74339(3)[50]	0.80
			0.75	0.7894(9)[49]
			0.7757(8),[49] 0.77556(3)[50]	0.75
			0.80	0.7152(7)[49]
			0.81206(3)[50]	0.70
			0.85	0.6556(6)[49]
			0.85519(3)[50]	0.65
			0.90	0.6046(5)[49]
			0.90546(3)[50]	0.60
			0.95	0.5615(4)[49]
			0.96604(4)[50]	0.55
			0.9854(3)[50]	0.53

* 다른 격자의 값은 사이트 본드 퍼콜레이션 조사를^[49] 참조하십시오.

벌집형 격자의 현장 본드 퍼콜링에 대한 대략적인 공식

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	임계값	메모들
(63) 벌집	3	3	${\displaystyle p_{b}p_{s}[1-({\sqrt {p_{bc}}}/(3-p_{bc}))({\sqrt {p_{b}}}-{\sqrt {p_{bc}}})]=p_{bc}}$, When equal: ps = pb = 0.82199	근사 공식, p = 현장s 프로브, pb = 본드 프로브, pbc = 1 - 2 죄(π/18),[16] 정확히 ps=1, p=pbbc.

아르키메데스 듀얼(레이브 격자)

라브스 격자는 아르키메데스 격자의 이중형이다. 도면 위치.^[3] 균일 기울기를 참조하십시오.

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
카이로 오각형 D(32,4,3,4)=(2/3)(53)+(1/3)(54)	3,4	3⅓	0.6501834(2),[8] 0.650184(5)[3]	0.585863... = 1 − pcbond(32,4,3,4)
오각형 D(3,432)=(1/3)(54)+(2/3)(53)	3,4	3⅓	0.6470471(2),[8] 0.647084(5),[3] 0.6471(6)[34]	0.580358... = 1 − pcbond(33,42), 0.5800(6)[34]
D(3,64)=(1/5)(46)+(4/5)(4)(43)(4))(4))	3,6	3 3/5	0.639447[3]	0.565694... = 1 - p(3cbond,64)
주사위, 롬빌 타일링 D(3,6,3,6) = (1/3)(46) + (2/3)(43)	3,6	4	0.5851(4),[51] 0.585040(5)[3]	0.475595... = 1 − pcbond(3,6,3,6 )
루비 듀얼 D(3,4,6,4) = (1/6)(46) + (2/6)(43) + (3/6)(44)	3,4,6	4	0.582410(5)[3]	0.475167... = 1 − pcbond(3,4,6,4 )
유니언 잭, 테트라키스 사각 타일링 D(4,82) = (1/2)(34) + (1/2)(38)	4,8	6	1/2	0.323197... = 1 - p(4cbond,82)
이등분된 육각형,[52] 교차 이중 D(4,6,12)= (1/6)(312)+(2/6)+(16/2)(3)+(1/2)(34)	4,6,12	6	1/2	0.306266... = 1 − pcbond(4,6,12)
아사노하 (시드 리프)[53] D(3, 122)=(23/3)+(1/3)(312)	3,12	6	1/2	0.259579... = 1 − pcbond(3, 122)

2열 격자

상위 3개 격자: #13 #12 #36
하단 3개의 격자: #34 #37 #11

^[2]

상위 2개 선반: 35위 30위
하단 2개의 격자: #41 #42

^[2]

상위 4개 격자: 22위 23위 21위 20위
하단 3개의 격자: #16 #17 #15

^[2]

상위 2개 격자: #31 #32
하단 격자: #33

^[2]

#	격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
41	(1/2)(3,4,3,12) + (1/2)(3, 122)	4,3	3.5	0.7680(2)[54]	0.67493252(36)[citation needed]
42	(1/3)(3,4,6,4) + (2/3)(4,6,12)	4,3	31⁄3	0.7157(2)[54]	0.64536587(40)[citation needed]
36	(1/7)(36) + (6/7)(32,4,12)	6,4	4 2⁄7	0.6808(2)[54]	0.55778329(40)[citation needed]
15	(2/3)(32,62) + (1/3)(3,6,3,6)	4,4	4	0.6499(2)[54]	0.53632487(40)[citation needed]
34	(1/7)(36) + (6/7)(32,62)	6,4	4 2⁄7	0.6329(2)[54]	0.51707873(70)[citation needed]
16	(4/5)(3,42,6) + (1/5)(3,6,3,6)	4,4	4	0.6286(2)[54]	0.51891529(35)[citation needed]
17	(4/5)(3,42,6) + (1/5)(3,6,3,6)*	4,4	4	0.6279(2)[54]	0.51769462(35)[citation needed]
35	(2/3)(3,42,6) + (1/3)(3,4,6,4)	4,4	4	0.6221(2)[54]	0.51973831(40)[citation needed]
11	(1/2)(34,6) + (1/2)(32,62)	5,4	4.5	0.6171(2)[54]	0.48921280(37)[citation needed]
37	(1/2)(33,42) + (1/2)(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5885(2)[54]	0.47229486(38)[citation needed]
30	(1/2)(32,4,3,4) + (1/2)(3,4,6,4)	5,4	4.5	0.5883(2)[54]	0.46573078(72)[citation needed]
23	(1/2)(33,42) + (1/2)(44)	5,4	4.5	0.5720(2)[54]	0.45844622(40)[citation needed]
22	(2/3)(33,42) + (1/3)(44)	5,4	4 2⁄3	0.5648(2)[54]	0.44528611(40)[citation needed]
12	(1/4)(36) + (3/4)(34,6)	6,5	5 1⁄4	0.5607(2)[54]	0.41109890(37)[citation needed]
33	(1/2)(33,42) + (1/2)(32,4,3,4)	5,5	5	0.5505(2)[54]	0.41628021(35)[citation needed]
32	(1/3)(33,42) + (2/3)(32,4,3,4)	5,5	5	0.5504(2)[54]	0.41549285(36)[citation needed]
31	(1/7)(36) + (6/7)(32,4,3,4)	6,5	5 1⁄7	0.5440(2)[54]	0.40379585(40)[citation needed]
13	(1/2)(36) + (1/2)(34,6)	6,5	5.5	0.5407(2)[54]	0.38914898(35)[citation needed]
21	(1/3)(36) + (2/3)(33,42)	6,5	5 1⁄3	0.5342(2)[54]	0.39491996(40)[citation needed]
20	(1/2)(36) + (1/2)(33,42)	6,5	5.5	0.5258(2)[54]	0.38285085(38)[citation needed]

비균형 2-균일 격자

이 그림은 2-통일 격자 #37과 유사한 것을 보여주는데, 폴리곤이 모두 정규적이지 않다는 것, 즉 두 사각형 자리에 직사각형이 있다는 것, 그리고 폴리곤의 크기가 바뀐다는 것을 제외한다. 이 격자는 각 다각형이 단위 반지름 원 안에 새겨진 등각형 표현에 있다. 2-제복 격자의 두 칸은 이제 이등분 조건을 만족시키기 위해 하나의 직사각형으로 표현되어야 한다. 격자는 검은색 가장자리로 표시되고 이중 격자는 빨간색 점선으로 표시된다. 녹색 원은 원래 격자와 이중 격자 모두에 대해 이등선 구속조건을 나타낸다. 노란색 폴리곤은 격자 위에 있는 세 종류의 폴리곤을, 분홍색 폴리곤은 이중 격자 위에 있는 두 종류의 폴리곤을 강조한다. 격자에는 정점 유형(1/2)(3³,4²) + (1/2)(3,4,6,4)이 있고, 이중 격자에는 정점 유형(1/15)(4,15⁶)+(6/15²²)+(5³)+(6/15)(5,4)이² 있다. 중요한 점은 긴 결합(격자와 이중 격자 모두)이 p = 2죄( sin/18) = 0.347296... 즉 삼각 격자 위의 결합 퍼콜 한계값이고, 짧은 결합은 점유 확률이 1 - 2 sin(π/18) = 0.652703이고, 이것은 육각 격자 위의 결합 퍼콜이다. 이러한 결과는 이등변환 조건에서^[55] 나오지만 벌집형 격자의 특정 별에 항성삼각 변환을 적용함으로써 나타난다. 마지막으로, 긴 결합의 경우₁ p₁, p₂, p₃, p, 그리고 짧은 결합의 경우 1 - p, 1 - p₂, 1 - p₃ 세 가지 다른 방향으로 세 가지 확률을 갖는 것으로 일반화할 수 있으며, 여기서 p₁, p는₂ 비균형₃ 삼각 격자의 임계 표면을 만족한다.

2D 보우타이 및 마티니 격자의 임계값

왼쪽, 중앙, 오른쪽은 마티니 격자, 마티니-A 격자, 마티니-B 격자. 아래: 마티니 덮개/중간 격자, 카고메형 격자용 2×2, 1×1 서브넷(제거됨)과 동일.

일반화된 나비넥타이 격자(a-d) 및 격자 이중(e-h)의 몇 가지 다른 예:

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
마티니(3/4)(3,92)+(1/4)(93)	3	3	0.764826..., 1 + p4 − 3p3 = 0[56]	0.707107... = 1/√2[57]
나비넥타이(c)	3,4	3 1/7		0.672929..., 1 − 2p3 − 2p4 − 2p5 − 7p6 + 18p7 + 11p8 − 35p9 + 21p10 − 4p11 = 0[58]
나비넥타이(d)	3,4	3⅓		0.625457..., 1 − 2p2 − 3p3 + 4p4 − p5 = 0[58]
마티니-A(2/3)(3,72)+(1/3)(3,73)	3,4	3⅓	1/√2[58]	0.625457..., 1 − 2p2 − 3p3 + 4p4 − p5 = 0[58]
나비넥타이 이중(e)	3,4	3⅔		0.595482..., 1-pcbond(보우타이(a))[58]
나비넥타이(b)	3,4,6	3⅔		0.533213..., 1 - p - 2p3 -4p-4p45+156+ 13p-36p78+19p9+p10 + p11=0[58]
마티니 커버/중간(1/2)(33,9) + (1/2)(3,9,3,9)	4	4	0.707107... = 1/√2[57]	0.57086651(33)[citation needed]
마티니-B (1/2)(3,5,3,52) + (1/2)(3,52)	3, 5	4	0.618034... = 2/(1 + √5), 1- p2 − p = 0[56][58]	1/2[57][58]
나비넥타이 이중(f)	3,4,8	4 2/5		0.466787..., 1 - pcbond(보우타이(b))[58]
나비넥타이 (a) (1/2)(32,4,32,4) + (1/2)(3,4,3)	4,6	5	0.5472(2),[34] 0.5479148(7)[59]	0.404518..., 1 − p − 6p2 + 6p3 − p5 = 0[60][58]
나비넥타이 이중(h)	3,6,8	5		0.374543..., 1 - pcbond(보우 타이(d))[58]
나비넥타이 이중(g)	3,6,10	5½	0.547... = pcsite(보우 타이(a))	0.327071..., 1 - pcbond(보우 타이(c))[58]
마티니 이중(1/2)(33) + (1/2)(39)	3,9	6	1/2	0.292893... = 1 − 1/√2[57]

2D 커버링, 중간 및 일치 격자의 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
(4, 6, 12) 덮개/중간	4	4	pcbond(4, 6, 12) = 0.693731...	0.5593140(2),[8] 0.559315(1)[citation needed]
(42, 8) 덮개/중간, 사각 카고메	4	4	pcbond(4,82) = 0.676803...	0.544798017(4),[8] 0.54479793(34)[citation needed]
(34) 6) 중상	4	4		0.5247495(5)[8]
(3,4,6,4) 중간	4	4		0.51276[8]
(32, 4, 3, 4) 중병	4	4		0.512682929(8)[8]
(3) 중용32	4	4		0.5125245984(9)[8]
평방 피복(비 평면)	6	6	1/2	0.3371(1)[61]
정사각형 일치 격자(비 평면)	8	8	1 - pcsite(제곱) = 0.407253...	0.25036834(6)[15]

(4, 6, 12) 덮개/중간 격자

(4, 8²) 덮개/중간 격자

(3,12²) 덮개/중간 격자(빛 회색으로), 카고메(2 × 2) 서브넷에 해당하며, 검은색은 이러한 격자의 이중이다.

(왼쪽)(3,4,6,4) 덮개/중간 격자, (오른쪽)중간 이중(3,4,6,4) 중간격자, 빨간색 표시, 밝은 회색 바탕의 중간 격자. 왼쪽의 문양은 서양의 무덤탑인 카라칸의 이란식 기와에서 나타난다.

2D 키메라 비 평면 래치의 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
K(2,2)	4	4	0.51253(14)[63]	0.44778(15)[63]
K(3,3)	6	6	0.43760(15)[63]	0.35502(15)[63]
K(4,4)	8	8	0.38675(7)[63]	0.29427(12)[63]
K(5,5)	10	10	0.35115(13)[63]	0.25159(13)[63]
K(6,6)	12	12	0.32232(13)[63]	0.21942(11)[63]
K(7,7)	14	14	0.30052(14)[63]	0.19475(9)[63]
K(8,8)	16	16	0.28103(11)[63]	0.17496(10)[63]

서브넷 래티스의 임계값

2 x 2, 3 x 3 및 4 x 4 서브넷 카고메 래치. 2 × 2 서브넷은 "삼각형 카고메" 격자로도 알려져 있다.^[64]

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
Checkerboard – 2 × 2 서브넷	4,3			0.596303(1)[65]
체커보드 – 4 × 4 서브넷	4,3			0.633685(9)[65]
Checkerboard – 8 x 8 서브넷	4,3			0.642318(5)[65]
Checkerboard – 16 × 16 서브넷	4,3			0.64237(1)[65]
체커보드 – 32 × 32 서브넷	4,3			0.64219(2)[65]
Checkerboard –$\$ {\$displaystyle$ \$infit }$ 서브넷$$	4,3			0.642216(10)[65]
카고메 – 2 × 2 서브넷 = (3, 122) 커버링/메디알	4		pcbond (3, 122) = 0.74042077...	0.600861966960(2),[8] 0.6008624(10),[16] 0.60086193(3)[6]
카고메 – 3 × 3 서브넷	4			0.6193296(10),[16] 0.61933176(5),[6] 0.61933044(32)[citation needed]
카고메 – 4 × 4 서브넷	4			0.625365(3),[16] 0.62536424(7)[6]
카고메 – $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$ 서브넷$$	4			0.628961(2)[16]
카고메 – (1 × 1):(2 × 2) 서브넷 = 마티니 커버/중간	4		pcbond(마티니) = 1/2/512 = 0.707107...	0.57086648(36)[citation needed]
카고메 – (1 × 1):(3 × 3) 서브넷	4,3		0.728355596425196...[6]	0.58609776(37)[citation needed]
카고메 – (1 × 1):(4 × 4) 서브넷			0.738348473943256...[6]
카고메 – (1 × 1):(5 × 5) 서브넷			0.743548682503071...[6]
카고메 – (1 × 1):(6 × 6) 서브넷			0.746418147634282...[6]
카고메 – (2 × 2):(3 × 3) 서브넷				0.61091770(30)[citation needed]
삼각형 – 2 x 2 서브넷	6,4			0.471628788[65]
삼각형 – 3 x 3 서브넷	6,4			0.509077793[65]
삼각형 – 4 × 4 서브넷	6,4			0.524364822[65]
삼각형 – 5 x 5 서브넷	6,4			0.5315976(10)[65]
삼각형 – $▼{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$ 서브넷$$	6,4			0.53993(1)[65]

랜덤 순차 흡착 객체의 임계값

(잠금 밀도에 대한 자세한 결과와 비교는 무작위 순차 흡착을 참조하십시오.)

계통	z	사이트 임계값
벌집 격자 위의 조광기	3	0.69,[66] 0.6653 [67]
삼각 격자 위의 조광기	6	0.4872(8),[66] 0.4873,[67] 0.5157(2) [68]
삼각 격자 위의 선형 4머	6	0.5220(2)[68]
삼각 격자 위의 선형 8머	6	0.5281(5)[68]
삼각 격자 위의 선형 12머	6	0.5298(8)[68]
삼각 격자 위의 선형 16메르	6	0.5328(7)[68]
삼각 격자 위의 선형 32머	6	0.5407(6)[68]
삼각 격자 위에 놓인 선형 64메르	6	0.5455(4)[68]
삼각 격자 위의 직선형 80머	6	0.5500(6)[68]
선형 k $⟶{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${ {\$displaystyle$ \$longrightarrow$ \$infort }$ 삼각형 격자 위에$$long.	6	0.582(9)[68]
조광기 및 5% 불순물, 삼각 격자	6	0.4832(7)[69]
사각 격자 위의 평행 조광기	4	0.5863[70]
사각 격자 위의 조광기	4	0.5617,[70] 0.5618(1),[71] 0.562,[72] 0.5713[67]
정사각형 격자 위의 선형 3-메르	4	0.528[72]
3-사이트 120° 각도, 불순물 5%, 삼각 격자	6	0.4574(9)[69]
3개소 삼각형, 불순물 5% 삼각 격자	6	0.5222(9)[69]
선형 트리머 및 5% 불순물, 삼각 격자	6	0.4603(8)[69]
네모난 격자 위의 직선형 4머	4	0.504[72]
정사각형 격자 위의 선형 5-메르	4	0.490[72]
사각 격자 위의 선형 6-메어머	4	0.479[72]
정사각형 격자 위의 선형 8머	4	0.474,[72] 0.4697(1)[71]
정사각형 격자 위의 직선형 10머	4	0.469[72]
정사각형 격자 위의 선형 16-메르	4	0.4639(1)[71]
정사각형 격자 위의 직선형 32머	4	0.4747(2)[71]

임계값은 사이트 과장이 처음 발생할 때(완전한 방해물이 아님) 객체에 의해 점유된 사이트의 비율을 제공한다. 더 긴 조광기는 참조를 참조하십시오.^[73]

2차원 래치 전체 조광기 커버의 임계값

여기서 우리는 격자를 조광기로 덮어서 획득한 네트워크를 취급한 다음, 나머지 채권에 대한 결합 퍼콜레이션을 고려하고 있다. 이산수학에서 이 문제는 '완벽한 일치' 또는 '다이어 커버링' 문제로 알려져 있다.

계통	z	본드 임계값
평행 덮개, 사각 격자	6	0.381966...[74]
시프트 커버, 사각 격자	6	0.347296...[74]
엇갈린 덮개, 사각 격자	6	0.376825(2)[74]
랜덤 커버, 사각 격자	6	0.367713(2)[74]
평행 덮개, 삼각 격자	10	0.237418...[74]
엇갈린 커버, 삼각 격자	10	0.237497(2)[74]
랜덤 커버, 삼각 격자	10	0.235340(1)[74]

정사각형 격자 위의 중합체 임계값(랜덤 워크)

시스템은 정사각형 격자 위의 일반(비항습) 무작위 길이 l로 구성된다.^[75]

l (길이)	z	본드 퍼콜레이션
1	4	0.5(평균)[76]
2	4	0.47697(4)[76]
4	4	0.44892(6)[76]
8	4	0.41880(4)[76]

무작위 순차 흡착에 의해 추가된 길이 k의 자체 회피 보도의 임계값

k	z	사이트 임계값	본드 임계값
1	4	0.593(2)[77]	0.5009(2)[77]
2	4	0.564(2)[77]	0.4859(2)[77]
3	4	0.552(2)[77]	0.4732(2)[77]
4	4	0.542(2)[77]	0.4630(2)[77]
5	4	0.531(2)[77]	0.4565(2)[77]
6	4	0.522(2)[77]	0.4497(2)[77]
7	4	0.511(2)[77]	0.4423(2)[77]
8	4	0.502(2)[77]	0.4348(2)[77]
9	4	0.493(2)[77]	0.4291(2)[77]
10	4	0.488(2)[77]	0.4232(2)[77]
11	4	0.482(2)[77]	0.4159(2)[77]
12	4	0.476(2)[77]	0.4114(2)[77]
13	4	0.471(2)[77]	0.4061(2)[77]
14	4	0.467(2)[77]	0.4011(2)[77]
15	4	0.4011(2)[77]	0.3979(2)[77]

2D 불균형 래치의 임계값

격자	z	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
비-비-비-비-비-비-본드 하나에 p = 1/2의 bow-	3		${\displaystyle 0\mathrm{}}$.3819654(5),[78]${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$- ${\displaystyle 5}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle(3-{\sqrt{5})/2$}

2D 연속체 모델의 임계값

시스템	Φc	ηc	nc
반경 r의 디스크	0.67634831(2),[79] 0.6763475(6),[80] 0.676339(4),[81] 0.6764(4),[82] 0.6766(5),[83] 0.676(2),[84] 0.679,[85] 0.674[86] 0.676,[87] 0.680[88]	1.1276(9),[89] 1.12808737(6),[79] 1.128085(2),[80] 1.128059(12),[81] 1.13,[90] 0.8[91]	1.43632505(10),[92] 1.43632545(8),[79] 1.436322(2),[80] 1.436289(16),[81] 1.436320(4),[93] 1.436323(3),[94] 1.438(2),[95] 1.216 (48)[96]
타원, ε = 1.5	0.0043[85]	0.00431	2.059081(7)[94]
타원, ε = 5/3	0.65[97]	1.05[97]	2.28[97]
타원, 가로 세로 비율 ε = 2	0.6287945(12),[94] 0.63[97]	0.991000(3),[94] 0.99[97]	2.523560(8),[94] 2.5[97]
타원, ε = 3	0.56[97]	0.82[97]	3.157339(8),[94] 3.14[97]
타원, ε = 4	0.5[97]	0.69[97]	3.569706(8),[94] 3.5[97]
타원, ε = 5	0.455,[85] 0.455,[87] 0.46[97]	0.607[85]	3.861262(12),[94] 3.86[85]
타원, ε = 6			4.079365(17)[94]
타원, ε = 7			4.249132(16)[94]
타원, ε = 8			4.385302(15)[94]
타원, ε = 9			4.497000(8)[94]
타원, ε = 10	0.301,[85] 0.303,[87] 0.30[97]	0.358[85] 0.36[97]	4.590416(23)[94] 4.56,[85] 4.5[97]
타원, ε = 15			4.894752(30)[94]
타원, ε = 20	0.178,[85] 0.17[97]	0.196[85]	5.062313(39),[94] 4.99[85]
타원, ε = 50	0.081[85]	0.084[85]	5.393863(28),[94] 5.38[85]
타원, ε = 100	0.0417[85]	0.0426[85]	5.513464(40),[94] 5.42[85]
타원, ε = 200	0.021[97]	0.0212[97]	5.40[97]
타원, ε = 1000	0.0043[85]	0.00431	5.624756(22),[94] 5.5
수페렐립스, ε = 1, m = 1.5	0.671[87]
수페렐립스, ε = 2.5, m = 1.5	0.599[87]
수페렐립스, ε = 5, m = 1.5	0.469[87]
수페렐립스, ε = 10, m = 1.5	0.322[87]
디스코 사각형, , = 1.5			1.894 [93]
디스코 사각형, , = 2			2.245 [93]
측면의 정렬된 사각형 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$	0.66675(2),[44] 0.66674349(3),[79] 0.66653(1),[98] 0.6666(4),[99] 0.668[86]	1.09884280(9),[79] 1.0982(3),[98] 1.098(1)[99]	1.09884280(9),[79] 1.0982(3),[98] 1.098(1)[99]
임의의 방향의 정사각형	0.62554075(4),[79] 0.6254(2)[99] 0.625,[87]	0.9822723(1),[79] 0.9819(6)[99] 0.982278(14)[100]	0.9822723(1),[79] 0.9819(6)[99] 0.982278(14)[100]
직사각형, ε = 1.1	0.624870(7)	0.980484(19)	1.078532(21)[100]
직사각형, ε = 2	0.590635(5)	0.893147(13)	1.786294(26)[100]
직사각형, ε = 3	0.5405983(34)	0.777830(7)	2.333491(22)[100]
직사각형, ε = 4	0.4948145(38)	0.682830(8)	2.731318(30)[100]
직사각형, ε = 5	0.4551398(31), 0.451[87]	0.607226(6)	3.036130(28)[100]
직사각형, ε = 10	0.3233507(25), 0.319[87]	0.3906022(37)	3.906022(37)[100]
직사각형, ε = 20	0.2048518(22)	0.2292268(27)	4.584535(54)[100]
직사각형, ε = 50	0.09785513(36)	0.1029802(4)	5.149008(20)[100]
직사각형, ε = 100	0.0523676(6)	0.0537886(6)	5.378856(60)[100]
직사각형, ε = 200	0.02714526(34)	0.02752050(35)	5.504099(69)[100]
직사각형, ε = 1000	0.00559424(6)	0.00560995(6)	5.609947(60)[100]
길이 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$			5.6372858(6),[79] 5.63726(2),[101] 5.63724(18) [102]
전원법 디스크, x=2.05	0.993(1)[103]	4.90(1)	0.0380(6)
전원법 디스크, x=2.25	0.8591(5)[103]	1.959(5)	0.06930(12)
Power-law 디스크, x = 2.5	0.7836(4)[103]	1.5307(17)	0.09745(11)
멱함수 디스크, x =	0.69543(6)[103]	1.18853(19)	0.18916(3)
멱함수 디스크, x = 5	0.68643(13)[103]	1.1597(3)	0.22149(8)
멱함수 디스크, x =	0.68241(8)[103]	1.1470(1)	0.24340(5)
멱함수 디스크, x=7	0.6803(8)[103]	1.140(6)	0.25933(16)
멱함수 디스크, x=8	0.67917(9)[103]	1.1368(5)	0.27140(7)
멱함수 디스크, x =	0.67856(12)[103]	1.1349(4)	0.28098(9)
radius 디스크 주위의 공극	1 - φc(디스크) = 0.32355169(2),[79] 0.318(2),[104] 0.3261(6)[105]

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle L{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ r$^{2}N/L^{2$}}는 디스크의 임계 총 면적이며$$, 여기서 N은 개체 수, L은 시스템 크기입니다.

${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 영향원 내의 디스크 센터 수(radius 2 r)를 제공한다$$.

${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta \sqrt{\frac{{}_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{c_{}}{}}}$ N {\$displaystyle r_{c}=L${\$sqrt {\frac {\eta _{c}{\pi$ N$}}}}}$은(는) 임계 디스크 반경이다.

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle a}$와 b의 반장축과 반장축 타원의 경우$$ 각각 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle N}$/ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 가로 세로 비율 $ϵ{\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$/ b ${\displaystyle \epsilon =a/b},$ > b ${\displaystyle a>b$

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$ for rectangles of dimensions ${\displaystyle \ell }$ and ${\displaystyle m}$. Aspect ratio ${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$ with ${\displaystyle \ell >m}$.

${\displaystyle \eta _{c}=\pi xN/(4L^{2}(x-2))}$ for power-law distributed disks with ${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$, ${\displaystyle R\geq 1}$.

${\displaystyle {\varphi }_{}}$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {{\eta }_{}}^{}}$ c ${\$은(는) 임계 면적 분율과 같다$$.

${\displaystyle n_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ N${\displaystyle }$/ ${\displaystyle L{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 단위 면적당$$ 최대 길이 $objects{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ell =2a}$의 객체 수와 같다.

타원의 경우 $n{\displaystyle {}_{}}$ c =${\displaystyle {}_{}}$( 4${\displaystyle ϵ}$ /${\displaystyle \pi }$ )${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ n_{$c}=(4\epsilon /\pi )\eta$_{c$}}$

void percolation의 경우${\displaystyle {}_{}{\varphi }_{}{}^{}}$ = ${\displaystyle {e_{}}^{}}$ -$\$ c {\$displaystyle$ \$phi _{c}=e$^{-\$eta$_{$c}}}$는 임계 void fraction이다.

타원형 값에 대한 자세한 내용은 다음을 참조하십시오.

직사각형 값을 더 보려면

타원 및 직사각형 모두 supperellips에 속하며 ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle \mathrm{2m}{}^{}}$+ ${\displaystyle y}$/ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$= 1 ${\displaystyle x/a ^{2m}+ y/b ^{2m}=1}.$supperellips의 더 많은 percolation 값은 을 참조하십시오.^[87]

모노디스페르스 입자 시스템의 경우, 오목형 슈퍼디스크의 퍼콜레이션 임계값을 에서와 같이 구한다.

디스크의 이진 분산에 대한 자세한 내용은 항목을 참조하십시오.

2D 랜덤 및 유사 지연 시간에 대한 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
상대 근린 그래프		2.5576	0.796(2)[109]	0.771(2)[109]
보로노이 테셀레이션	3		0.71410(2),[111] 0.7151*[54]	0.68,[112] 0.6670(1),[113] 0.6680(5),[114] 0.666931(5)[111]
보로노이 덮개/중간	4		0.666931(2)[111][113]	0.53618(2)[111]
랜덤화 카고메/제곱 옥타곤, 분수 r=1/2	4		0.6599[13]
펜로즈롬브이듀얼	4		0.6381(3)[51]	0.5233(2)[51]
가브리엘 그래프		4	0.6348(8),[115] 0.62[116]	0.5167(6),[115] 0.52[116]
랜덤 라인 다듬기, 이중		4	0.586(2)[117]
펜로즈롬브		4	0.5837(3),[51][119] 0.0.5610(6)(공채)[118] 0.58391(1)	0.483(5),[120] 0.4770(2)[51]
팔각 격자, "화학" 링크(Ammann-Beenker tiling)		4	0.585[121]	0.48[121]
팔각 격자, "발광자성" 링크		5.17	0.543[121]	0.40[121]
도십각 격자, "화학" 링크		3.63	0.628[121]	0.54[121]
도십각 격자, "발광자성" 링크		4.27	0.617[121]	0.495[121]
델라우나이 삼각측량		6	1/2[122]	0.3333(1)[113] 0.3326(5),[114] 0.333069(2)[111]
통일 무한 평면 삼각 측량[123]		6	1/2	(2√3 – 1)/11 ≈ 0.2240[110][124]

*이론적 추정치

2D 상관 시스템의 임계값

${\displaystyle \mathrm{멱-법률}}$ 상관 계수 $C{\displaystyle }$( r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle r{}^{}}$- ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ r $^{-\alpha }}}$라고 가정함

격자무늬를 달다	α	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
정사각형의	3	0.561406(4)[125]
정사각형의	2	0.550143(5)[125]
정사각형의	0.1	0.508(4)[125]

슬래브의 임계값

h는 슬래브의 두께로 h × × × × ∞. 경계조건(b.c)은 슬래브의 상단면과 하단면을 가리킨다.

격자	h	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
심플 큐빅(개방형 b.c)	2	5	5	0.47424,[126] 0.4756[127]
bc(b.c. 개방)	2			0.4155[127]
hcp (개방형 b.cp	2			0.2828[127]
다이아몬드(열린 B.C	2			0.5451[127]
심플 큐빅(개방형 b.c)	3			0.4264[127]
bc(b.c. 개방)	3			0.3531[127]
BCc(기존 B.C)	3				0.21113018(38)[128]
hcp (개방형 b.cp	3			0.2548[127]
다이아몬드(열린 B.C	3			0.5044[127]
심플 큐빅(개방형 b.c)	4			0.3997,[126] 0.3998[127]
bc(b.c. 개방)	4			0.3232[127]
BCc(기존 B.C)	4				0.20235168(59)[128]
hcp (개방형 b.cp	4			0.2405[127]
다이아몬드(열린 B.C	4			0.4842[127]
심플 큐빅(simple b.c.)	5	6	6		0.278102(5)[128]
심플 큐빅(개방형 b.c)	6			0.3708[127]
심플 큐빅(simple b.c.)	6	6	6		0.272380(2)[128]
bc(b.c. 개방)	6			0.2948[127]
hcp (개방형 b.cp	6			0.2261[127]
다이아몬드(열린 B.C	6			0.4642[127]
심플 큐빅(simple b.c.)	7	6	6	0.3459514(12)[128]	0.268459(1)[128]
심플 큐빅(개방형 b.c)	8			0.3557,[126] 0.3565[127]
심플 큐빅(simple b.c.)	8	6	6		0.265615(5)[128]
bc(b.c. 개방)	8			0.2811[127]
hcp (개방형 b.cp	8			0.2190[127]
다이아몬드(열린 B.C	8			0.4549[127]
심플 큐빅(개방형 b.c)	12			0.3411[127]
bc(b.c. 개방)	12			0.2688[127]
hcp (개방형 b.cp	12			0.2117[127]
다이아몬드(열린 B.C	12			0.4456[127]
심플 큐빅(개방형 b.c)	16			0.3219,[126] 0.3339[127]
bc(b.c. 개방)	16			0.2622[127]
hcp (개방형 b.cp	16			0.2086[127]
다이아몬드(열린 B.C	16			0.4415[127]
심플 큐빅(개방형 b.c)	32			0.3219,[126]
심플 큐빅(개방형 b.c)	64			0.3165,[126]
심플 큐빅(개방형 b.c)	128			0.31398,[126]

3D 격자의 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	충진율*	충전분수*	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
(10,3)-산화물([129]또는 현장)	23 32	2.4			0.748713(22)[129]	= (pc,bond(10,3) – a)1/2 = 0.742334(25)[130]
(10,3)-b산화물([129]또는 현장)	23 32	2.4	0.233[131]	0.174	0.745317(25)[129]	= (pc,bond(10,3) – b)1/2 = 0.739388(22)[130]
이산화규소([129]산소 사이트-산소	4,22	2 ⅔			0.638683(35)[129]
수정(10,3)-b[132]	32,2	2 ⅔				0.627[132]
(8,3)-a[130]	3	3			0.577962(33)[130]	0.555700(22)[130]
(10,3)-자이로이드[130][133]	3	3			0.571404(40)[130]	0.551060(37)[130]
(10,3)-b[130]	3	3			0.565442(40)[130]	0.546694(33)[130]
입방산화물(산화물 현장-해당)[129]	6,23	3.5			0.524652(50)[129]
bc 이중		4			0.4560(6)[134]	0.4031(6)[134]
아이스아이	4	4	π √3 / 16 = 0.340087	0.147	0.433(11)[135]	0.388(10)[136]
다이아몬드(얼음 Ic)	4	4	π √3 / 16 = 0.340087	0.1462332	0.4299(8),[137] 0.4299870(4),[138] 0.426(+0.08,–0.02),[139] 0.4297(4) [140] 0.4301(4),[141] 0.428(4),[142] 0.425(15),[143] 0.425,[37][42] 0.436(12),[135]	0.3895892(5),[138] 0.3893(2),[141] 0.3893(3),[140] 0.388(5),[143] 0.3886(5),[137] 0.388(5)[142] 0.390(11),[136]
다이아몬드 이중		6 2/3			0.3904(5)[134]	0.2350(5)[134]
3D 카고메(다이아몬드 격자 표시 그래프)	6		π √2 / 12 = 0.37024	0.1442	0.3895(2)[144] =다이아몬드 이중의 경우 pc(사이트) 및[134] 다이아몬드 격자의c 경우 p(사이트)	0.2709(6)[134]
보타이 스택 이중		5⅓			0.3480(4)[34]	0.2853(4)[34]
벌집 쌓기	5	5			0.3701(2)[34]	0.3093(2)[34]
팔각 겹 이중	5	5			0.3840(4)[34]	0.3168(4)[34]
오각형 쌓기		5⅓			0.3394(4)[34]	0.2793(4)[34]
카고메 스택	6	6	0.453450	0.1517	0.3346(4)[34]	0.2563(2)[34]
FCC 이중	42,8	5 1/3			0.3341(5)[134]	0.2703(3)[134]
심플 큐빅	6	6	π / 6 = 0.5235988	0.1631574	0.307(10),[143] 0.307,[37] 0.3115(5),[145] 0.3116077(2),[146] 0.311604(6),[147] 0.311605(5),[148] 0.311600(5),[149] 0.3116077(4),[150] 0.3116081(13),[151] 0.3116080(4),[152] 0.3116060(48),[153] 0.3116004(35),[154] 0.31160768(15)[138]	0.247(5),[143] 0.2479(4),[137] 0.2488(2),[155] 0.24881182(10),[146] 0.2488125(25),[156] 0.2488126(5),[157]
hcp 듀얼	44,82	5 1/3			0.3101(5)[134]	0.2573(3)[134]
주사위를 던지다	5,8	6	π √3 / 9 = 0.604600	0.1813	0.2998(4)[34]	0.2378(4)[34]
나비넥타이 스택	7	7			0.2822(6)[34]	0.2092(4)[34]
쌓인 삼각형/단순 육각형	8	8			0.26240(5),[158] 0.2625(2),[159] 0.2623(2)[34]	0.18602(2),[158] 0.1859(2)[34]
팔각형(조합-잭) 쌓기	6,10	8			0.2524(6)[34]	0.1752(2)[34]
bcc	8	8			0.243(10),[143] 0.243,[37] 0.2459615(10),[152] 0.2460(3),[160] 0.2464(7),[137] 0.2458(2)[141]	0.178(5),[143] 0.1795(3),[137] 0.18025(15),[155] 0.1802875(10),[157]
3NN으로 단순 큐빅(BC와 동일)	8	8			0.2455(1),[161] 0.2457(7)[162]
FCC, D3	12	12	π / (3 √2) = 0.740480	0.147530	0.195,[37] 0.198(3),[163] 0.1998(6),[137] 0.1992365(10),[152] 0.19923517(20),[138] 0.1994(2),[141] 0.199236(4)[164]	0.1198(3),[137] 0.1201635(10)[157] 0.120169(2)[164]
hcp	12	12	π / (3 √2) = 0.740480	0.147545	0.195(5),[143] 0.1992555(10)[165]	0.1201640(10)[165] 0.119(2)[143]
라2−x4 스르x Cu O	12	12			0.19927(2)[166]
2NN을 사용한 단순 큐빅(FC와 동일)	12	12			0.1991(1)[161]
NN+4N으로 심플 큐빅	12	12			0.15040(12)[167]	0.1068263(7)[168]
3N+4N으로 심플 큐빅	14	14			0.20490(12)[167]	0.1012133(7)[168]
BCc NN+2N (=sc(3,4) sc-3N+4N)	14	14			0.175,[37] 0.1686(20)[169]	0.0991(5)[169]
FCC의 나노튜브 섬유	14	14			0.1533(13)[170]
NN+3N으로 심플 큐빅	14	14			0.1420(1)[161]	0.0920213(7)[168]
2N+4N으로 심플 큐빅	18	18			0.15950(12)[167]	0.0751589(9)[168]
NN+2N으로 심플 큐빅	18	18			0.137,[42] 0.136[171] 0.1372(1),[161] 0.13735(5)[citation needed]	0.0752326(6) [168]
NN+2N을 사용하는 FCC(=sc-2NN+4N)	18	18			0.136[37]
단거리 상관 관계가 있는 심플 큐빅	6+	6+			0.126(1)[172]
NN+3N+4로 심플 큐빅NN	20	20			0.11920(12)[167]	0.0624379(9)[168]
2N+3N으로 심플 큐빅	20	20			0.1036(1)[161]	0.0629283(7)[168]
NN+2N+4로 심플 큐빅NN	24	24			0.11440(12)[167]	0.0533056(6)[168]
2N+3N+4로 심플 큐빅NN	26	26			0.11330(12)[167]	0.0474609(9)
NN+2N+3으로 심플 큐빅NN	26	26			0.097,[37] 0.0976(1),[161] 0.0976445(10)[citation needed]	0.0497080(10)[168]
BCc(NN+2N+3 포함)NN	26	26			0.095[42]
NN+2N+3N+4로 심플 큐빅NN	32	32			0.10000(12)[167]	0.0392312(8)[168]
NN+2N+3으로 FCCNN	42	42			0.061,[42] 0.0610(5)[171]
NN+2N+3N+4를 사용하는 FCCNN	54	54			0.0500(5)[171]

충전 계수 = 모든 격자 부위에서 구를 만짐으로써 채워진 공간의 일부(균일한 결합 길이를 가진 시스템의 경우만 해당) 원자성 패킹 팩터라고도 한다.

채우기 비율(또는 중요 채우기 비율) = 채우기 비율 * p_c(사이트)

NN = 가장 가까운 이웃, 2NN = 가장 가까운 이웃, 3NN = 가장 가까운 이웃 등

질문: hcp와 FCC 격자의 채권 임계값은 작은 통계 오류 내에서 일치한다. 그들은 동일한가? 그리고 만약 그렇지 않다면, 그들은 얼마나 멀리 떨어져 있는가? 어느 문턱이 더 클 것으로 예상되나? 얼음과 다이아몬드 격자에도 유사하다. 참조

시스템	폴리머 φc
피부 중합체 매트릭스의 제외 부피(입방 격자 상의 적층 모델)를 과대 채색한다.	0.4304(3)[174]

3D 단위의 조광기 퍼콜레이션

시스템	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
심플 큐빅		0.2555(1)[175]

3D 연속체 모델의 임계값

걸린 구와 폴리머 매트릭스를 제외하고 모두 겹친다.

시스템	Φc	ηc
반지름의 구 r	0.289,[176] 0.293,[177] 0.286,[178] 0.295.[86] 0.2895(5),[179] 0.28955(7),[180] 0.2896(7),[181] 0.289573(2),[182] 0.2896,[183] 0.2854,[184] 0.290,[185] 0.290[186]	0.3418(7),[179] 0.341889(3),[182] 0.3360,[184] 0.34189(2), 0.341935(8)
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율이 4/3인 타원형 제거	0.2831[184]	0.3328[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율 3/2의 프로레이트 타원체	0.2757,[183] 0.2795,[184] 0.2763[185]	0.3278[184]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율을 가진 타원형 지우기 2	0.2537,[183] 0.2629,[184] 0.254[185]	0.3050[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율 2의 프로레이트 타원체	0.2537,[183] 0.2618,[184] 0.25(2),[188] 0.2507[185]	0.3035,[184] 0.29(3)[188]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율을 가진 타원형 지우기 3	0.2289[184]	0.2599[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율 3의 프로레이트 타원체	0.2033,[183] 0.2244,[184] 0.20(2)[188]	0.2541,[184] 0.22(3)[188]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율을 가진 타원형 지우기 4	0.2003[184]	0.2235[184]
경미한 반지름 r 및 가로 세로 비율 4의 프로레이트 타원체	0.1901,[184] 0.16(2)[188]	0.2108,[184] 0.17(3)[188]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율이 5인 타원형 지우기	0.1757[184]	0.1932[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율 5의 프로레이트 타원체	0.1627,[184] 0.13(2)[188]	0.1776,[184] 0.15(2)[188]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율을 가진 타원형 지우기 10	0.0895,[183] 0.1058[184]	0.1118[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율을 가진 프로레이트 타원체 10	0.0724,[183] 0.08703,[184] 0.07(2)[188]	0.09105,[184] 0.07(2)[188]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율이 100인 타원형 지우기	0.01248[184]	0.01256[184]
경미한 반경 r 및 가로 세로 비율 100인 프로레이트 타원체	0.006949[184]	0.006973[184]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율이 1000인 타원형 지우기	0.001275[184]	0.001276[184]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율이 2000인 타원형 지우기	0.000637[184]	0.000637[184]
H/D = 1인 Spherocylinder	0.2439(2)[181]
H/D = 4인 Spherocylinder	0.1345(1)[181]
H/D = 10인 Spherocylinder	0.06418(20)[181]
H/D = 50인 Spherocylinder	0.01440(8)[181]
H/D = 100인 Spherocylinder	0.007156(50)[181]
H/D = 200인 Spherocylinder	0.003724(90)[181]
정렬 실린더	0.2819(2)[189]	0.3312(1)[189]
$측면$의 정렬된 큐브${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ a ${\displaystyle \ell =2a}$	0.2773(2)[99] 0.27727(2),[44] 0.27730261(79)[153]	0.3247(3),[98] 0.3248(3),[99] 0.32476(4)[189] 0.324766(1)[153]
무작위 이코사헤드라		0.3030(5)[190]
무작위 방향 도데카헤드라		0.2949(5)[190]
임의지향옥타헤드라		0.2514(6)[190]
$측면$의 임의 방향 큐브${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ell =2a}$	0.2168(2)[99] 0.2174,[183]	0.2444(3),[99] 0.2443(5)[190]
무작위 방향 사방면체		0.1701(7)[190]
radius의 랜덤 방향 디스크(3D		0.9614(5)[191]
측면 $randomly{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }r}$의 랜덤 방향 사각판		0.8647(6)[191]
측면 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\pi }}$/ 3 ${\displaystyle 1{\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}}$ r ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}/3^{1/4}r}$의 랜덤 방향 삼각판		0.7295(6)[191]
radius 디스크 주위의 공극		22.86(2)[192]
주요 반경 r 및 가로 세로 비율의 타원형 지우기 주위의 공극 10		15.42(1)[192]
주요 반지름 r 및 가로 세로 비율 2의 타원형 지우기 주위의 공극		6.478(8)[192]
반구 주위의 공극	0.0455(6)[193]
정렬된 테트라헤드라 주변의 공극	0.0605(6)[194]
회전 사면체 주위의 공극	0.0605(6)[194]
정렬된 큐브 주위의 공극	0.036(1),[44] 0.0381(3)[194]
회전된 큐브 주위의 공극	0.0381(3)[194]
정렬된 옥타헤드라 주변의 공극	0.0407(3)[194]
회전된 옥타헤드라 주변의 공극	0.0398(5)[194]
정렬된 도데카헤드라 주변의 공극	0.0356(3)[194]
회전 도데카헤드라 주변의 공극	0.0360(3)[194]
정렬된 이코사헤드라 주변의 공극	0.0346(3)[194]
회전 이코사헤드라 주변의 공극	0.0336(7)[194]
구 주변의 공극	0.034(7),[195] 0.032(4),[196] 0.030(2),[104] 0.0301(3),[197] 0.0294,[198] 0.0300(3),[199] 0.0317(4),[200] 0.0308(5)[193] 0.0301(1)[194]	3.506(8),[199] 3.515(6),[192] 3.510(2)[89]
걸린 구(평균 z = 6)	0.19(3),[201] 0.190,[202] 걸린 구체의 접촉 네트워크도 참조한다.	0.59(1)[201]

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 4}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$) ${\displaystyle \pi }$ r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$/ L ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 총 볼륨(구)이며, 여기서$$ N은 개체 수, L은 시스템 크기이다.

${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$=${\displaystyle {}^{}}$ - e -${\displaystyle {{\eta }_{}}^{}}$ c ${\$는 임계 볼륨 비율이다.

디스크와 플레이트의 경우 유효 볼륨 및 볼륨 분율이다.

보이드("스위스-치즈" 모델)의 ${\displaystyle {경우}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$= e - {$$c {\$displaystyle \phi _{c}=$e^{-\$eta _{$c}}}는 임계 보이드 분율이다$$.

타원형 및 타원형 플레이트 주위의 보이드 퍼콜레이션에 대한 자세한 결과는 을 참조하십시오.^[192]

타원체 퍼콜레이션 값을 더 보려면 을 참조하십시오.^[184]

Spherocylinder의 경우 H/D는 실린더의 지름에 대한 높이의 비율로, 그 다음 반구에 의해 덮인다. 추가 값이 제공된다.^[181]

슈퍼볼의 경우 m은 변형 파라미터로, 퍼콜레이션 값이 에 제시되며,^[203][204] 오목형 슈퍼볼의 한계값도 에 결정된다.

큐보이드와 같은 입자의 경우 m은 변형 파라미터로, 더 많은 퍼콜레이션 값이 제공된다.^[183]

3D 랜덤 및 유사 지연 시간에 대한 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
포장된 구체의 접촉 네트워크		6	0.310(5),[201] 0.287(50),[205] 0.3116(3),[202]
랜덤 평면 다듬기, 이중		6	0.290(7)[206]
이코사헤드랄 펜로즈		6	0.285[207]	0.225[207]
대각선 2개가 있는 펜로즈		6.764	0.271[207]	0.207[207]
8개의 대각선이 있는 펜로즈		12.764	0.188[207]	0.111[207]
보로노이 네트워크		15.54	0.1453(20)[169]	0.0822(50)[169]

다른 3D 모델에 대한 임계값

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
드릴링 퍼콜레이션, 단순 큐빅 격자*	6	6	6345(3),[208] 0.6339(5),[209] 0.633965(15)[210]
랜덤 튜브 모델, 단순 입방 격자†				0.231456(6)[211]

$∗{\$ 드릴링 퍼콜레이션에서$$ 사이트 임계값은 제거되지 않은 열의 분율을 나타낸다.

2개의 인접한 욕조의 제가 거기{\displaystyle h_{나는}h}은 이 오버랩 높이 튜브 여과에서 †면 채권 기준}}, μ이 이웃 수직 튜브 세그먼트 간의 유대감 확률은 1− e− μ h 같은 나는{\displaystyle 1-e^{-\mu h_{나는}{\displaystyle \mu}매개 변수의 가치를 나타낸다.e 분절^[211]

여러 치수 공간의 임계값

고차원의 연속체 모델

d	시스템	Φc	ηc
4	겹치는 하이퍼스피어	0.1223(4)[98]	0.1304(5)[98]
4	정렬된 하이퍼큐브	0.1132(5),[98] 0.1132348(17) [153]	0.1201(6)[98]
4	하이퍼스피어 주변의 공극	0.00211(2)[105]	6.161(10),[105] 6.248(2),[89]
5	겹치는 하이퍼스피어		0.05443(7)[98]
5	정렬된 하이퍼큐브	0.04900(7),[98] 0.0481621(13),[153]	0.05024(7)[98]
5	하이퍼스피어 주변의 공극	1.26(6)x10−4 [105]	8.98(4),[105] 9.170(8),[89]
6	겹치는 하이퍼스피어		0.02339(5)[98]
6	정렬된 하이퍼큐브	0.02082(8),[98] 0.0213479(10)[153]	0.02104(8)[98]
6	하이퍼스피어 주변의 공극	8.0(6)x10−6 [105]	11.74(8),[105] 12.24(2),[89]
7	겹치는 하이퍼스피어		0.01051(3)[98]
7	정렬된 하이퍼큐브	0.00999(5),[98] 0.0097754(31)[153]	0.01004(5)[98]
7	하이퍼스피어 주변의 공극		15.46(5)[89]
8	겹치는 하이퍼스피어		0.004904(6)[98]
8	정렬된 하이퍼큐브		0.004498(5)[98]
8	하이퍼스피어 주변의 공극		18.64(8)[89]
9	겹치는 하이퍼스피어		0.002353(4)[98]
9	정렬된 하이퍼큐브		0.002166(4)[98]
9	하이퍼스피어 주변의 공극		22.1(4)[89]
10	겹치는 하이퍼스피어		0.001138(3)[98]
10	정렬된 하이퍼큐브		0.001058(4)[98]
11	겹치는 하이퍼스피어		0.0005530(3)[98]
11	정렬된 하이퍼큐브		0.0005160(3)[98]

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

4d에서는 $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}{}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 4{}^{}}$ ${\$

5d에서는 $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 8}$/ ${\displaystyle 15}$) ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ 2 r ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 5{}^{}}$ ${\$

6d에서 $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$= (${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 6${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}^{}}$ 6 ${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 6{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$=${\displaystyle {}^{}}$ - e -${\displaystyle {{\eta }_{}}^{}}$ c ${\$는 임계 볼륨 비율이다.

보이드 모델의 경우 ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {{\eta }_{}}^{}}$ c ${\$는 임계 보이드 비율이며, $\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 중복$$ 객체의 총 볼륨이다.

하이퍼 큐브 격자의 임계값

d	z	사이트 임계값	본드 임계값
4	8	0.198(1)[212] 0.197(6),[213] 0.1968861(14),[214] 0.196889(3),[215] 0.196901(5),[216] 0.19680(23),[217] 0.1968904(65),[153] 0.19688561(3)[218]	0.16005(15),[155] 0.1601314(13),[214] 0.160130(3),[215] 0.1601310(10),[156] 0.1601312(2),[219] 0.16013122(6)[218]
5	10	0.141(1),0.198(1)[212] 0.141(3),[213] 0.1407966(15),[214] 0.1407966(26),[153] 0.14079633(4)[218]	0.11819(4),[155] 0.118172(1),[214] 0.1181718(3)[156] 0.11817145(3)[218]
6	12	0.106(1),[212] 0.108(3),[213] 0.109017(2),[214] 0.1090117(30),[153] 0.109016661(8)[218]	0.0942(1),[220] 0.0942019(6),[214] 0.09420165(2)[218]
7	14	0.05950(5),[220] 0.088939(20),[221] 0.0889511(9),[214] 0.0889511(90),[153] 0.088951121(1),[218]	0.078685(30),[220] 0.0786752(3),[214] 0.078675230(2)[218]
8	16	0.0752101(5),[214] 0.075210128(1)[218]	0.06770(5),[220] 0.06770839(7),[214] 0.0677084181(3)[218]
9	18	0.0652095(3),[214] 0.0652095348(6)[218]	0.05950(5),[220] 0.05949601(5),[214] 0.0594960034(1)[218]
10	20	0.0575930(1),[214] 0.0575929488(4)[218]	0.05309258(4),[214] 0.0530925842(2)[218]
11	22	0.05158971(8),[214] 0.0515896843(2)[218]	0.04794969(1),[214] 0.04794968373(8)[218]
12	24	0.04673099(6),[214] 0.0467309755(1)[218]	0.04372386(1),[214] 0.04372385825(10)[218]
13	26	0.04271508(8),[214] 0.04271507960(10)[218]	0.04018762(1),[214] 0.04018761703(6)[218]

고차원 하이퍼큐브 래치에 대한 임계값은 점근성 시리즈 확장이 있음

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d}$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma =2d-1$

기타 고차원 격자의 임계값

d	격자무늬를 달다	z	사이트 임계값	본드 임계값
4	다이아몬드	5	0.2978(2)[141]	0.2715(3)[141]
4	카고메	8	0.2715(3)[144]	0.177(1) [141]
4	bcc	16	0.1037(3)[141]	0.074(1),[141] 0.074212(1)[219]
4	FCC, D4	24	0.0842(3),[141] 0.08410(23),[217] 0.0842001(11)[164]	0.049(1),[141] 0.049517(1),[219] 0.0495193(8)[164]
4	세제곱 NN+2N	32	0.06190(23)[217]	0.035827(1)[219]
4	세제곱 3N	32	0.04540(23)[217]
4	세제곱 NN+3N	40	0.04000(23)[217]
4	세제곱 2N+3N	58	0.03310(23)[217]
4	세제곱 NN+2N+3NN	64	0.03190(23)[217]
5	다이아몬드	6	0.2252(3)[141]	0.2084(4)[144]
5	카고메	10	0.2084(4)[144]	0.130(2)[141]
5	bcc	32	0.0446(4)[141]	0.033(1)[141]
5	FCC, D5	40	0.0431(3),[141] 0.0435913(6)[164]	0.026(2),[141] 0.0271813(2)[164]
6	다이아몬드	7	0.1799(5)[141]	0.1677(7)[144]
6	카고메	12	0.1677(7)[144]
6	FCC, D6	60	0.0252(5),[141] 0.02602674(12)[164]	0.01741556(5)[164]
6	bcc	64	0.0199(5)[141]
6	E6[164]	72	0.02194021(14)[164]	0.01443205(8)[164]
7	FCC, D7	84	0.01716730(5)[164]	0.012217868(13)[164]
7	E7[164]	126	0.01162306(4)[164]	0.00808368(2)[164]
8	FCC, D8	112	0.01215392(4)[164]	0.009081804(6)[164]
8	E8[164]	240	0.00576991(2)[164]	0.004202070(2)[164]
9	FCC, D9	144	0.00905870(2)[164]	0.007028457(3)[164]
9	${\displaystyle \Lambda _{9}}$[164]	272	0.00480839(2)[164]	0.0037006865(11)[164]
10	FCC, D10	180	0.007016353(9)[164]	0.005605579(6)[164]
11	FCC, D11	220	0.005597592(4)[164]	0.004577155(3)[164]
12	FCC, D12	264	0.004571339(4)[164]	0.003808960(2)[164]
13	FCC, D13	312	0.003804565(3)[164]	0.0032197013(14)[164]

1차원 장거리 퍼콜의 임계값

1차원 체인에서 우리는 나 그냥 j확률 p과 함께 C=나는 j1−{j\displaystyle}{\displaystyle 나는} 뚜렷한 사이트+σ{\displaystyle p={\frac{C}{i-j ^{1+\sigma}}}}멱수 σ 을을 바로 멱함수로 부패하는;0{\displaystyle \sigma>0}. Percolation occurs[225]사이에 채권을 확립한다.한 criti에[226] 값 < $[\displaystyle C_{c}<1}:$ < 1 ${\displaystyle \sigma <1$ 숫자로 결정된 과대포장 임계값은 다음과 같이 지정된다.^[224]

$\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle C_{c}}$
0.1	0.047685(8)
0.2	0.093211(16)
0.3	0.140546(17)
0.4	0.193471(15)
0.5	0.25482(5)
0.6	0.327098(6)
0.7	0.413752(14)
0.8	0.521001(14)
0.9	0.66408(7)

쌍곡선, 계층 및 트리 격자의 임계값

이러한 격자에는 두 가지 퍼콜레이션 임계값이 있을 수 있다. 즉, 하한 임계값은 무한 군집이 나타나는 확률보다 높고, 상한은 고유한 무한 군집이 있는 확률이다.

격자	z	${\displaystyle {\overline{z}}$	사이트 과집 임계값		본드 퍼콜레이션 임계값
			더 낮게	상부	더 낮게	상부
쌍곡선 {3,7}	7	7	0.26931171(7),[229] 0.20[230]	0.73068829(7),[229] 0.73(2)[230]	0.20,[231] 0.1993505(5)[229]	0.37,[231] 0.4694754(8)[229]
쌍곡선 {3,8}	8	8	0.20878618(9)[229]	0.79121382(9)[229]	0.1601555(2)[229]	0.4863559(6)[229]
쌍곡선 {3,9}	9	9	0.1715770(1)[229]	0.8284230(1)[229]	0.1355661(4)[229]	0.4932908(1)[229]
쌍곡선 {4,5}	5	5	0.29890539(6)[229]	0.8266384(5)[229]	0.27,[231] 0.2689195(3)[229]	0.52,[231] 0.6487772(3) [229]
쌍곡선 {4,6}	6	6	0.22330172(3)[229]	0.87290362(7)[229]	0.20714787(9)[229]	0.6610951(2)[229]
쌍곡선 {4,7}	7	7	0.17979594(1)[229]	0.89897645(3)[229]	0.17004767(3)[229]	0.66473420(4)[229]
쌍곡선 {4,8}개	8	8	0.151035321(9)[229]	0.91607962(7)[229]	0.14467876(3)[229]	0.66597370(3)[229]
쌍곡선 {4,9}	8	8	0.13045681(3)[229]	0.92820305(3)[229]	0.1260724(1)[229]	0.66641596(2)[229]
{5,5} 쌍곡선	5	5	0.26186660(5)[229]	0.89883342(7)[229]	0.263(10),[232] 0.25416087(3)[229]	0.749(10)[232] 0.74583913(3)[229]
{7,3} 쌍곡선	3	3	0.54710885(10)[229]	0.8550371(5),[229] 0.86(2)[230]	0.53,[231] 0.551(10),[232] 0.5305246(8)[229]	0.72,[231] 0.810(10),[232] 0.8006495(5)[229]
{1987,3} 카이리 트리	3	3	1/2		1/2[231]	1[231]
향상된 이진 트리(EBT)					0.304(1),[233] 0.306(10),[232] (√13 − 3)/2 = 0.302776[234]	0.48,[231] 0.564(1),[233] 0.564(10),[232] 1/2[234]
향상된 이진 트리 이중					0.436(1),[233] 0.452(10)[232]	0.696(1),[233] 0.699(10)[232]
비플래너 하노이 네트워크(HN-NP)					0.319445[228]	0.381996[228]
조부모님과 함께한 케일리 트리		8			0.158656326[235]

참고: {m,n}은(는) 슐래플리 기호로, 모든 꼭지점에서 n개의 일반 m-곤이 만나는 쌍곡선 격자를 의미한다.

For bond percolation on {P,Q}, we have by duality ${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$. For site percolation, ${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$ because of the self-matching of triangulated lattices.

조정 번호 z: p_c = 1 / (z - 1)의 Cayley 트리(베스트 격자)

Cayley tree with a distribution of z with mean ${\displaystyle {\overline {z}}}$, mean-square ${\displaystyle {\overline {z^{2}}}:}$ p_c= ${\displaystyle {\overline {z}}/({\overline {z^{2}}}-{\overline {z}})}$^[236] (site or bond threshold)

지시된 퍼콜레이션에 대한 임계값

격자	z	사이트 과집 임계값	본드 퍼콜레이션 임계값
(1+1)-d 벌집	1.5	0.8399316(2),[237] 0.839933(5),[238]${\displaystyle }$= ${\displaystyle p\sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{c_{}\mathrm{s}}}$ i ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{t}}}$ e${\displaystyle \sqrt{}}$) ${\$1+1)-d sq 중$$.	0.8228569(2),[237] 0.82285680(6)[237]
(1+1)-d 카고메	2	0.7369317(2),[237] 0.73693182(4)[239]	0.6589689(2),[237] 0.65896910(8)[237]
(1+1)-d 제곱, 대각선	2	0.705489(4),[240] 0.705489(4),[241] 0.70548522(4),[242] 0.70548515(20),[239] 0.7054852(3),[237]	0.644701(2),[243] 0.644701(1),[244] 0.644701(1),[240] 0.6447006(10),[238] 0.64470015(5),[245] 0.644700185(5),[242] 0.6447001(2),[237] 0.643(2)[246]
(1+1)-d 삼각형	3	0.595646(3),[240] 0.5956468(5),[245] 0.5956470(3)[237]	0.478018(2),[240] 0.478025(1),[245] 0.4780250(4)[237] 0.479(3)[246]
(2+1)-d 단순 입방면, 대각선 평면	3	0.43531(1),[247] 0.43531411(10)[237]	0.382223(7),[247] 0.38222462(6)[237] 0.383(3)[246]
(2+1)-d 제곱 nn (= bcc)	4	0.3445736(3),[248] 0.344575(15)[249] 0.3445740(2)[237]	0.2873383(1),[250] 0.287338(3)[247] 0.28733838(4)[237] 0.287(3)[246]
(2+1)-d FCC			0.199(2))[246]
(3+1)-d 하이퍼큐브, 대각선	4	0.3025(10),[251] 0.30339538(5) [237]	0.26835628(5),[237] 0.2682(2)[246]
(3+1)-d 입방체, nn	6	0.2081040(4)[248]	0.1774970(5)[156]
(3+1)-d bcc	8	0.160950(30),[249] 0.16096128(3)[237]	0.13237417(2)[237]
(4+1)-d 하이퍼큐브, 대각선	5	0.23104686(3)[237]	0.20791816(2),[237] 0.2085(2)[246]
(4+1)-d 하이퍼큐브, nn	8	0.1461593(2),[248] 0.1461582(3)[252]	0.1288557(5)[156]
(4+1)-d bcc	16	0.075582(17)[249] 0.0755850(3),[252] 0.07558515(1)[237]	0.063763395(5)[237]
(5+1)-d 하이퍼큐브, 대각선	6	0.18651358(2)[237]	0.170615155(5),[237] 0.1714(1) [246]
(5+1)-d 하이퍼큐브, nn	10	0.1123373(2)[248]	0.1016796(5)[156]
(5+1)-d 하이퍼큐브 bc	32	0.035967(23),[249] 0.035972540(3)[237]	0.0314566318(5)[237]
(6+1)-d 하이퍼큐브, 대각선	7	0.15654718(1)[237]	0.145089946(3),[237] 0.1458[246]
(6+1)-d 하이퍼큐브, nn	12	0.0913087(2)[248]	0.0841997(14)[156]
(6+1)-d 하이퍼큐브 bc	64	0.017333051(2)[237]	0.01565938296(10)[237]
(7+1)-d 하이퍼큐브, 대각선	8	0.135004176(10)[237]	0.126387509(3),[237] 0.1270(1) [246]
(7+1)-d 하이퍼큐브,nn	14	0.07699336(7)[248]	0.07195(5)[156]
(7+1)-d bcc	128	0.008 432 989(2)[237]	0.007 818 371 82(6)[237]

nn = 가장 가까운 이웃. a (d + 1)차원 하이퍼큐브 시스템의 경우 하이퍼큐브는 d 치수로 되어 있고 시간 방향은 2D 가장 가까운 이웃을 가리킨다.

이종 시스템의 정확한 임계 다지관

균질하지 않은 삼각 격자 결합 퍼콜레이션^[17]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

균질하지 않은 벌집형 격자 결합 퍼콜레이션 = 카고메 격자 부위 퍼콜레이션^[17]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{1}p_{3}-p_{2}p_{1}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

균질하지 않은(3,12^2) 격자, 현장 퍼콜레이션^[4]

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$ or ${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

비균종 유니언-잭 격자, $확률{\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}_{}}$ 2, p ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}}$이(가) 있는 사이트 퍼콜레이션

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

Inhomogeneous 마티니 격자, 채권 여과[58][255]1−(p1p2 이렇게 3+p2p3r1+p1p3r2)−(p1p2r1r2+p1p3r1r3+p2p3r2r3)+p1p2p3(r1r2+r1r3+r2r3)+{\displaysty.르 1-(p_{$1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p$$_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-{1}p_{1}p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

균질하지 않은 마티니 격자, 현장 퍼콜. r = 항성 내 부지

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{1}p_{3}+p_{2}p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

균질하지 않은 마티니-A(3–7) 격자, 본드 퍼콜레이션. 왼쪽(A에서 아래쪽까지): r $2{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ 오른쪽$:$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \text{p}{}_{}}$ 2 ${\$ 교차 결합: ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 3{}_{}}$ ${\$

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

균질하지 않은 마티니-B(3–5) 격자, 본드 퍼콜레이션

채권의 외부를 둘러싸는 삼각형을Inhomogeneous 마티니 격자, 확률, y x내부에서 외부에 z{\displaystyle y,x,z}, 채권 여과[255]1− 3z+z3−(1− z2)[3x2이 어두워져서(1+y− y 2)(1+ z+x3y2(3− 2y)(1+2z])0{\displaystyle 1-3z+z^{3}(1-z^{2})는 경우에는 3x^{2}y.(1+y-$y^{2} (1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z))]$$=0}$

불균형 체커보드 격자, 결합 퍼콜레이션

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

비균형 보타이 격자, 본드 퍼컬레이션^[46][78]

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-}$ ${\displaystyle u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

where ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ are the four bonds around the square and ${\displaystyle u}$ is the diagonal bond connecting the vertex between bonds ${\displaystyle p_{4},p_{1}}$ and ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$.

그래프의 경우

공간에 포함되지 않은 랜덤 그래프의 경우 퍼콜레이션 임계값을 정확하게 계산할 수 있다. 예를 들어, 모든 노드의 도 k가 같은 임의의 일반 그래프의 경우_c, p=1/k. Poissonian 학위 분포를 포함한 Erds-Rény(ER) 그래프의 경우 p_c=1/<k>.^[256] 임계 임계값은 상호의존적인 ER 네트워크의 네트워크에도 대해 정확히 계산되었다.^[257][258]

참고 항목

• 2D 퍼콜레이션 클러스터
• 방향 퍼콜레이션
• 유효 매체 근사치
• 선반 위의 전염병 모델
• 그래프 이론
• 네트워크 과학
• 퍼콜레이션
• 과집합 임계 지수
• 퍼콜레이션 이론
• 부트스트랩 퍼콜레이션
• 무작위 순차 흡착
• 균일 틸팅

참조