르베그 통합

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에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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수학에서 단일 변수의 비음수 함수의 적분은 가장 단순한 경우 해당 함수의 그래프와 x축 사이의 영역으로 간주할 수 있다. 프랑스 수학자 앙리 르베그의 이름을 딴 르베그 적분은 그 적분을 더 큰 부류의 함수로 확장한다. 또한 이러한 기능을 정의할 수 있는 도메인을 확장한다.

20세기 훨씬 이전부터 수학자들은 이미 충분한 그래프를 가진, 즉 닫힌 경계 구간의 연속 함수 같은, 충분히 부드러운 그래프를 가진 비음수 함수의 경우, 곡선 아래의 영역이 적분으로 정의될 수 있다는 것을 이해했고, 폴리곤에 의해 그 지역의 근사 기법을 사용하여 계산되었다. 그러나 수학적 분석의 제한 과정과 확률의 수학적 이론의 결과로 더 불규칙한 기능을 고려할 필요성이 제기됨에 따라, 적합한 적분을 정의하기 위해 보다 세심한 근사치 기법이 필요하다는 것이 분명해졌다. 또한, 실제 선보다 더 일반적인 공간에 통합하기를 원할 수도 있다. 르베그 적분은 이것을 위해 필요한 추상적 개념을 제공한다.

르베그 적분은 확률론, 실제 분석, 그리고 수학의 많은 다른 분야에서 중요한 역할을 한다. 적분(Lebesgue 1904년)을 도입한 앙리 르베게(1875–1941)의 이름을 따서 지은 것이다. 그것은 또한 확률의 자명론에서 중추적인 부분이다.

르베그 통합이라는 용어는 르베그에 의해 소개된 일반적 측정에 관한 함수의 통합의 일반이론이나, 르베그 측정에 관해서 실선의 하위 영역에 정의된 함수의 통합의 구체적인 경우를 의미할 수 있다.

소개

한계치 a와 b 사이의 양의 함수 f의 적분은 f의 그래프 아래 영역으로 해석할 수 있다. 이것은 다항식 같은 기능으로는 간단하지만, 보다 이국적인 기능에는 어떤 의미가 있을까? 일반적으로, "곡선 아래의 영역"은 어떤 종류의 함수를 의미할까? 이 문제에 대한 답은 이론적이고 실제적인 중요성이 크다.

19세기 수학의 엄격함을 향한 일반적인 운동의 일환으로 수학자들은 적분 미적분을 확고한 기초 위에 올려놓으려고 시도했다. 베른하르트 리만(1826–1866)이 제안한 리만 일체형은 그러한 기반을 제공하기 위한 광범위한 성공적 시도다. Riemann의 정의는 주어진 함수의 적분으로 수렴되는 쉽게 계산된 일련의 영역의 구성으로부터 시작된다. 이 정의는 이미 해결된 많은 문제에 대해 예상된 답을 주고, 다른 많은 문제에 유용한 결과를 준다는 점에서 성공적이다.

그러나 Riemann 통합은 함수의 시퀀스 제한과 잘 상호작용하지 않아 그러한 제한 프로세스를 분석하기 어렵다. 예를 들어 푸리에 시리즈, 푸리에 변환 및 기타 주제에 대한 연구에서는 이것이 중요하다. 르베그 적분자는 적분 부호(단조 융복합 정리 및 지배적인 융복합 정리를 통해) 아래 한계를 어떻게, 언제 취할 수 있는지를 더 잘 설명할 수 있다.

리만 적분은 곡선 아래 영역을 수직 직사각형으로 만드는 것으로 간주하지만, 르베그 정의는 반드시 직사각형만이 아닌 수평 슬래브를 고려하므로 더욱 유연하다. 이러한 이유로, Lebesgue 정의는 더 넓은 종류의 함수에 대한 통합 계산을 가능하게 한다. 예를 들어, 디리클레 함수는 논거가 비이성적인 경우 0이고 그렇지 않은 경우 1이며, 르베그 적분은 있으나 리만 적분은 없다. 더욱이 이 함수의 르베그 적분은 0으로 단위 간격에서 무작위로 실수를 균일하게 추출할 때 합리적인 숫자를 선택할 확률은 0이어야 한다는 직관에 동의한다.

르베그는 폴 몬텔에게 보낸 편지에서 통합에 대한 그의 접근법을 요약했다.

나는 주머니에 모아둔 일정한 금액을 지불해야 한다. 나는 호주머니에서 지폐와 동전을 꺼내 총액에 도달할 때까지 찾은 순서대로 채권자에게 준다. 이것은 리만 적분이다. 하지만 나는 다르게 진행할 수 있어. 나는 주머니에서 돈을 모두 꺼낸 후에 지폐와 동전을 동일한 값에 따라 주문하고 나서 여러 갑을 차례로 채권자에게 지불한다. 이건 내 필수품이야

— Source: (Siegmund-Schultze 2008)

적분 값을 보존하면서 함수의 가치를 자유롭게 재정렬할 수 있어야 한다는 통찰이다. 이러한 재배열 과정은 매우 병리학적 기능을 통합의 관점에서 "좋음"으로 변환할 수 있으며, 따라서 그러한 병리학적 기능이 통합되도록 할 수 있다.

직관적 해석

서로 다른 통합 접근법에 대한 직관력을 얻기 위해서, 우리가 (해발 위) 산의 볼륨을 찾기를 원한다고 상상해보자.

리만-다르부스 접근법

산기슭을 1미터 정사각형의 격자로 나눈다. 각 광장의 중앙에서 산의 고도를 측정한다. 단일 격자 사각형의 부피는 약 1m² × (저 사각형의 고도)이므로 총 부피는 고도 합계의 1m² 배이다.

르베그식 접근법

인접한 등고선이 고도 1m 간격으로 있는 산의 등고선도를 그려라. 등고선에 포함된 부피는 약 1m × (그 등고선의 면적)이므로, 총 부피는 이들 부위의 합이 1m이다.

폴랜드는 리만과 르베그 접근법의 차이를 다음과 같이 요약한다: "f의 리만 적분을 계산하려면 도메인 [a, b]을 하위간격으로 분할"하는 반면, 르베그 적분에서는 "실제로 f의 범위를 분할한다."^[1]

Lebesgue 적분을 정의하기 위해서는 대략적으로 A의 "크기"를 나타내는 비음수 μ(A)의 각 실수에 연관되는 측정치의 공식적 개념이 필요하다. 이 "크기" 개념은 간격의 일반적인 길이 또는 간격의 분리 결합과 일치해야 한다. f : R → R이⁺ 음이 아닌 실질 가치 함수라고 가정한다. 높이 dt의 f 그래프 아래 작은 수평 슬래브의 면적은 스트립 시간 dt의 폭과 동일하다. 이 기본 영역은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\dt, \mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\\right)\,dt,}$

그리고 르베그 적분은 이러한 기초 영역을 더해서 결정할 수 있다.

르베그(1904)는 리만-다르부스 접근법과 유사하게 이 기초 영역의 합에 대한 상한과 하한 합 근사치를 경계하여 그의 적분을 구성한다. 이는 단순한 기능을 통한 현대적 치료와 맞먹는다. 또는, 르베그 적분은 기초 영역의 부적절한 리만 적분을 취함으로써 정의할 수 있다.

측량 이론

측정 이론은 처음에 실제 선의 부분 집합 길이 개념, 그리고 보다 일반적으로 유클리드 공간의 부분 집합 면적과 부피에 대한 유용한 추상화를 제공하기 위해 만들어졌다. 특히 R의 어떤 서브셋의 길이가 있느냐는 질문에 체계적인 답변을 제공했다. 나중에 집합 이론 발전이 보여주었듯이(측정이 불가능한 집합 참조), 일부 자연적인 부가성과 번역 불변성을 보존하는 방법으로 모든 R 하위 집합에 길이를 할당하는 것은 실제로 불가능하다. 이는 적절한 등급의 측정 가능한 하위 세트를 선택하는 것이 필수 조건임을 시사한다.

리만 적분은 길이 개념을 명시적으로 사용한다. 실제로 리만 적분 계산 요소는 직사각형 [a, b] × [c, d]이며, 면적은 (b - a)(d - c)로 계산된다. 수량 b - a는 직사각형의 베이스 길이, d - c는 직사각형의 높이다. Riemann은 더 많은 일반 세트를 측정하기 위한 적절한 이론이 없었기 때문에 곡선 아래의 면적에 근사치를 하기 위해 평면 직사각형만 사용할 수 있었다.

대부분의 현대 교과서(1950년 이후)에서 이론의 전개에 있어서 측정과 통합의 접근은 자명하다. 즉, 측정치는 특정 속성 목록을 만족하는 집합 E의 부분 집합의 특정 클래스 X에 정의된 함수 μ이다. 이러한 특성은 많은 다른 경우에 유지된다는 것을 보여줄 수 있다.

측정 가능한 함수

우리는 측정 공간(E, X, μ)으로 시작하는데, 여기서 E는 E의 하위 집합의 σ-알지브라, μ는 X 집합에 정의된 E에 대한 (비 음의) 측정이다.

예를 들어 E는 유클리드 n-공간 R 또는ⁿ 그 중 일부 레베그 부분집합일 수 있으며, X는 E의 모든 레베그 측정 가능한 하위집합 중 of-알제브라, μ는 르베그 측정값이다. 확률의 수학적 이론에서 우리는 연구를 μ(E) = 1을 만족하는 확률 측정 μ에 국한한다.

Lebesgue의 이론은 측정 가능한 함수라고 불리는 종류의 함수에 대한 통합을 정의한다. E의 실제 값 함수 f는 형태(t, ∞)의 모든 간격의 사전 이미지가 X:에 있으면 측정할 수 있다.

$\\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)]t\}\in X\quad \fall t\in \mathb {R}.}$

우리는 이것이 R의 보렐 부분집합의 사전 이미지를 X에 요구하는 것과 동등하다는 것을 보여줄 수 있다. 측정 가능한 함수의 집합은 대수 연산 하에서 닫히지만, 더 중요한 것은 다음과 같은 다양한 종류의 점-현상 순차 한계에서 닫힌다.

${\displaystyle \sup _{k\in \mathb {}f_{k},\quad \mathb {N}{k},\quad \mathsup _{k\in \mathb {}f_{k}}}}}, {k}}}}$

원래 시퀀스(f_k),_k 여기서 k n N은 측정 가능한 함수로 구성될 경우 측정할 수 있다.

적분을 정의하기 위한 몇 가지 접근법이 있다.

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f\left(x\right)\,d\mu \left(x\right)\,d\mu \left(x\right)}$

E에 정의된 측정 가능한 실제 값 함수의 경우.

정의

르베그 적분 이론은 이들 집합에 대한 측정 가능한 집합과 측정에 대한 이론과 더불어 이들 함수에 대한 측정 가능한 함수와 통합에 대한 이론이 필요하다.

간단한 기능을 통해

Lebesgue 적분 구성을 위한 한 가지 접근방식은 소위 단순한 함수, 즉 지표 함수의 유한한 실질-선형 조합을 이용하는 것이다. 측정 이론 초보자의 경우, 이 레베그 적분 구조는 리만 적분 정의/구성과 함께 리만 합이 사용되는 방식과 비교할 때 보다 직관적인 의미를 갖는다. 범위를 레이어로 분할하여 측정 가능한 함수의 근사치를 위해 간단한 기능을 사용할 수 있다. 단순함수의 적분은 주어진 층의 측정치와 동일하며, 층의 높이를 곱한다. 비 음의 일반적 측정 가능 함수의 적분은 단순한 함수에 의한 근사치의 적절한 우월성으로 정의되며, a(필수적으로 양의 것은 아님) 측정 가능 함수의 적분은 비 음의 측정 가능 함수의 두 통합의 차이다.

표시기 기능

주어진 측정 μ와 일치하는 측정 가능한 집합 S의 표시기 함수 1의_S 적분에 값을 할당하려면 유일하게 합리적인 선택은 다음을 설정하는 것이다.

$\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu(S).}$

μ가 유한한 측정이 아닌 한 결과는 +10과 같을 수 있다는 점에 유의하십시오.

단순함수

표시기 함수의 유한 선형 조합

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$

여기서 계수 a는_k 실수이고 S는_k 불연속 측정 가능한 집합이며, 이를 측정 가능한 단순함수라고 한다. 우리는 선형성에 의한 적분을 음이 아닌 측정 가능한 단순한 함수로 확장한다. 계수 a가_k 양수일 때, 우리는 설정했다.

${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}\right)\,d\mu = {k}a_{k}\int 1_{k}\,d\mu = {k}a_{k}\,\mu(S_{k}})$

이 합계가 유한한지 아니면 +값인지. 단순한 함수는 지시함수의 선형 결합으로서 여러 가지 방법으로 작성할 수 있지만, 적분은 측정의 부가성에 의해 동일할 것이다.

정의되지 않은 표현식 ∞ - ∞: 표현을 피하기 위해 실제 가치의 단순함수의 적분을 정의할 때 약간의 주의가 필요하다.

${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$

즉_k, μ 0일 때마다 μ_k(S) < μ이다. 그런 다음 f의 적분에 대한 위의 공식은 타당하며, 그 결과는 가정을 만족시키는 특정한 표현에 의존하지 않는다.

만약 B가 E의 측정 가능한 부분집합이고 s가 측정 가능한 단순한 함수라면.

${\displaystyle \int _{B}s\,d\mu =\int 1_{B}\,s\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu(S_{k}\cap B)}$

비음수함수

e에서 f는 음수가 아닌 측정 가능한 함수가 되도록 하며, 다시 말해 f는 확장된 실수 라인에서 음수가 아닌 값을 취한다. 우리는 정의한다.

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\\\nt_{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\\\\\\\\\\text{simple}\,\,\rig\}.}$

E가 세그먼트[a, b]인 경우, 단순함수 집합에 정의된 앞의 것과 일치한다는 것을 보여 줄 필요가 있다. 이것이 리만 통합의 개념에 어떤 식으로든 부합하는가에 대한 의문도 있다. 두 가지 질문에 대한 답이 '그렇다'라는 것을 증명할 수 있다.

우리는 E에서 음이 아닌 확장된 실제 측정 가능한 함수에 대한 f의 적분을 정의했다. 일부 기능의 경우 이 적분 ∫_E f dμ는 무한하다.

종종 르베그 적분 우물(아날로그 리만 합)에 근접한 간단한 기능의 특정 순서를 갖는 것이 유용하다. 한non-negative 가 측 함수 f 들어, 피지 말라고 n()){\displaystyle s_{n}())}이 간단한 함수 값이 k/2n{\displaystyle k/2^{n}} 때마다 k/2n≤ f())<>(k+1)/2n{\displaystyle k/2^{n}\leq f())<,(k+1){n}}, k 음이 아닌 정수 이하( 말한다)4n. {$\displaystyle 4^{n$그렇다면 그 사실을 직접 증명할 수 있다.

$\d\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infit \}\int s_{n}\,d\mu }$

그리고 오른편에 있는 한계는 연장된 실수로 존재한다는 것이다. 이것은 단순한 기능을 이용한 레베그 적분 접근과 레베그 적분과의 연결을 연결한다.

서명된 함수

서명된 기능을 처리하기 위해서는 몇 가지 정의가 더 필요하다. f가 reals에 대해 설정된 e의 측정 가능한 함수라면(±∞ 포함) 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$

어디에

${\displaystyle f^{+}(x)={\case}f(x)&{\text{{}f(x)}}{{0}\{\text}}\case}}}}$

${\displaystyle f^{-}(x)={\prease}-f(x)&{\text{present{present}}}}{present{pase}}}}}$

f와⁺ f⁻ 모두 음이 아닌 측정 가능한 함수라는 점에 유의하십시오. 또한 이 점에 유의하십시오.

${\displaystyle f =f^{+}+f^{-}.\cHB }$

측정 가능한 함수 f의 Lebesgue 적분이 존재하거나,$$one ${}^{}$${}^{}$+ d $\mathrm{\mu s}$ ${\textstyle \int$ f$^{+}\,d\mu }$ 및$$ $\int$ f -${}^{}d{}^{}$ $\mathrm{\mu s}$ ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$ 중 적어도 하나가 유한한$$ 경우 정의된다.

$\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu,\int f^{-}\,d\mu \fty.}$

이 경우 우리는 정의한다.

$\\d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$

만약

$\\d\mu <\fully ,}$

우리는 f가 르베그와의 통합이 가능하다고 말한다.

이 정의는 적분자의 바람직한 특성을 제공하는 것으로 밝혀졌다.

부적절한 Riemann 적분을 통해

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 측정 가능하고 음성이 아니라고 가정하면 함수

${\displaystyle f^{*(t)\\\\stackrel {\def}}{def}}\\mu \left(\{x\in E\mid f(x)}t\right)}$

단조롭게 증가하지 않는다. 르베그 적분은 $f{\displaystyle {}^{}}$integral{\$displaystyle f^{*}}$의 부적절한 리만 적분으로 정의할 수 있다$.$^[2]

${\displaystyle \int_{E}f\,d\mu \\\\\stackrel {\text{def}}}\int _{0}^{\f^{*(t)\,dt.}$

이 적분은 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$에서 부적절하며, (아마도) 0에서도 적절하지 않다. 그것은 무한할 수도 있다는 허용으로 존재한다.^[3][4]

위와 같이 르베그 통합형(꼭 음이 아닌 것은 아님) 함수의 적분은 양의 적분과 음의 적분을 빼서 정의한다.

복합값함수

실제 부분과 가상 부분을 별도로 고려함으로써 복잡하게 계산된 함수를 유사하게 통합할 수 있다.

실제 값 통합 함수에 대한 h=f+ig가 f, g이면 h의 적분은 다음과 같이 정의된다.

$디스플레이 스타일 \int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu.}$

함수는 절대값이 르베그 통합 가능한 경우에만 르베그 통합이 가능하다(절대 통합 기능 참조).

예

디리클레 함수라고도 하는 합리적인 숫자의_Q 지표 함수, 1을 고려한다. 이 기능은 어디에서도 연속되지 않는다.

• ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbf{}}_{}}$ ${\$은(는) [0, 1]에 리만 통합이 가능하지 않음: 집합 [0, 1]을 하위 절개로 어떻게 분할하든 간에 각 분할에는 최소한 하나의 합리적 숫자와 불합리한 숫자가 포함되어 있는데, 이는 이성적인 숫자와 불합리한 숫자는 모두 실재에 밀도가 있기 때문이다. 따라서 위쪽 다르복스 합은 모두 1이고, 아래쪽 다르복스 합은 모두 0이다.
• ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbf{}}_{}}$ ${\$은(는) [0, 1]에서 Lebesgue 측도를 사용하여 통합 가능: 실제로, 그것은 정의상 이성들의 지표 기능이다.
  $${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q}\}\\d\mu =\mathbf {Q}\cap [0,1]=0,}$$

  
  왜냐하면 Q는 셀 수 있기 때문이다.

통합 영역

Lebesgue 통합의 기술적 문제는 통합의 영역이 방향의 개념이 없는 집합(측정 공간의 부분집합)으로 정의된다는 것이다. 기초 미적분학에서 방향과 관련된 통합을 정의한다.

${\displaystyle \int _{b}^{a}f:=-\int _{a}^{b}f.}$

이를 보다 높은 차원으로 일반화하면 차동형식이 통합된다. 이와는 대조적으로, Lebesgue 통합은 조치에 관한 하위 집합에 대해 통합하는 대체 일반화를 제공한다. 이것은 다음과 같이 명시될 수 있다.

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

부분 집합 A에 대한 통합을 표시한다. 이러한 일반화 간의 관계에 대한 자세한 내용은 차등 형식 § 조치와의 관계를 참조하십시오.

리만 적분의 한계

푸리에 시리즈의 등장과 함께, 통합과 관련된 많은 분석적인 문제들이 나왔고, 그들의 만족스러운 해결책은 상호 교환적인 한계 프로세스와 통합적인 신호를 필요로 했다. 단, 통합이 이루어지는 조건

${\displaystyle \sum_{k}\int f_{k}(x)dx,\dism \int \int \ref[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$

리만 틀에서 상당히 이해하기 어려운 것으로 판명되었다. Riemann integrated에는 다른 기술적 어려움이 있다. 이것들은 위에서 논의한 한계 극복의 어려움과 관련이 있다.

단조로운 수렴의 실패. 위와 같이 Rationals의 지표함수_Q 1은 Riemann 통합이 불가능하다. 특히 모노톤 융합 정리가 실패한다. 이유를 보려면 {a_k}을(를) [0, 1]의 모든 합리적인 숫자의 열거로 두십시오(이러한 숫자는 셀 수 있으므로 셀 수 있음). 그럼 그렇게 합시다.

${\displaystyle g_{k}(x)={\prease}1&{\case}{{nif }x=a_{j},j\leq k\\0\{\text}}\end{case}}}}}}}$

함수 g는_k 유한한 점 집합을 제외하고 모든 곳에서 0이다. 그러므로 그것의 리만 적분은 0이다. 각각의 g는_k 음성이 아니며, 이 일련의 함수들은 단조롭게 증가하고 있지만, 그 한계치는 k → ∞ 1로_Q 리만 통합이 불가능하다.

제한되지 않은 간격에 적합하지 않음. 리만 적분은 한정된 간격으로만 기능을 통합할 수 있다. 그러나 ∞ - ∞과 같은 대답이 나오지 않는 한, 한도를 취함으로써 무한 간격까지 연장할 수 있다.

유클리드 공간 이외의 구조물에 통합. 리만 적분은 실선의 주문 구조와 불가분의 관계에 있다.

르베그 적분의 기본 이론

두 함수는 거의 모든 곳에서 동일하다고 한다(${\displaystyle \stackrel{}{\text{f}}\stackrel{}{}}$=${\displaystyle \stackrel{}{}g\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle f\\\stackrel {\text{a.e).$$}}{}=}\g$$}{$${\displaystyle x}{\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \ne }$ g ${\displaystyle (x}$)}${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq$ g$(x)\}}}}}$이(가) null 집합의 하위 집합인$$ 경우.

${\displaystyle \mathrm{세트}}$ { ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}$의 측정성은 필요하지 않다.

• f, g가 음이 아닌 측정 가능한 함수라면(아마도 값 + migration을 가정함) f = g 거의 모든 곳에서 측정 가능한 함수일 것이다.
  $$\d 디스플레이 스타일 \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$

  
  재치 있게 말해서, 본질은 거의 모든 곳에서 평등하다는 동등성 관계를 존중한다.
• f, g가 거의 모든 곳에서 f = g와 같은 함수라면 f는 르베그 통합이 가능하고, g가 르베그 통합이 가능한 경우에만, f와 g의 통합은 존재한다면 동일하다.
• 선형성: f와 g가 Lebesgue 통합 함수이고 a와 b가 실제 숫자라면 af + bg는 Lebesgue 통합 가능 및
  $$\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$

  
• 단조로움: 만약 f ≤ g이면
  $$\디스플레이 스타일 \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$

  
• $({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ,${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle }$μ ) ${\displaystyle (\Oomega$,\$Sigma$,\$mu )}$을 측정공간으로 한다$$. Denote ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ the ${\displaystyle \sigma }$-algebra of Borel sets on ${\displaystyle [0,+\infty ]}$. (By definition, ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ contains the set ${\displaystyle \{+\infty \}}$ and all Borel subsets of ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$.) Consider a ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-measurable non-negative function ${\displaystyle s:$$\Oomega \to [0,+\inful$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ${\displaystyle S\in \Sigma }$에 대해 정의하십시오$.$
  $$\displaystyle \nu(S)=\int _{S}s\,d\mu .}$$

  
  그러면 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$)${\displaystyle (\Oomega ,\Sigma )}$에 대한 Lebesgue 측정값이다$.$
• 모노톤 수렴 정리: {f_k}_{k ∈ N}이(가) 다음과 같은 음이 아닌 측정 가능한 함수의 시퀀스라고 가정하십시오.
  $${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathb {N},\,\forall x\in E.}$$

  
  그 다음_k, f의 점괘 한계 f는 측정 가능한 르베그와
  $$\displaystyle \lim_{k}\{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

  
  통합의 가치는 무한할 수 있다.
• 파투의 보조정리: {f_k}_{k ∈ N}이(가) 음이 아닌 측정 가능한 함수의 시퀀스인 경우
  $${\displaystyle \int \liminf _{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\nt f_{k}\d\mu .}$$

  
  다시 말하지만, 통합의 가치는 무한할 수 있다.
• 지배적인 수렴 정리: {f_k}_{k ∈ N}이(가) 점괘 한계 f를 가진 복잡한 측정 가능한 함수의 시퀀스이며, 모든 k에 대해_k f ≤ g를 갖는 Lebesgue 통합 함수 g(즉, g는 공간 L에¹ 속함)가 있다고 가정한다.
  그렇다면 f는 르베그 통합이 가능하고
  $$\displaystyle \lim_{k}\{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

  

대체 제형식

측정 이론의 완전한 기계에 의존하지 않고 르베그 측정에 관하여 일체형 개발을 할 수 있다. 그러한 접근법 중 하나는 다니엘 적성에 의해 제공된다.

기능분석 방식을 통해 통합론을 발전시키는 대안적 접근법도 있다. Rⁿ(또는 고정 오픈 서브셋)에 정의된 콤팩트 서포트의 모든 연속 함수 f에 대해 Riemann 적분이 존재한다. 이러한 통합에서부터 보다 일반적인 기능의 통합이 구축될 수 있다.

C는_c R의 모든 실질가치가 압축적으로 지원되는 연속함수의 공간이 되도록 한다. C에_c 대한 표준 정의 기준

그러면 C는_c 표준 벡터 공간(특히 미터법 공간)이다. 모든 미터법 공간에는 Hausdorff 완성이 있으므로 L을¹ 완성으로 한다. 이 공간은 Lebesgue 통합함수의 공간과 이형성이며, 적분 0의 함수의 하위공간을 모듈한다. 더욱이, 리만 적분 ∫은¹ L에 밀도가 높은 C의_c 규범과 관련하여 균일하게 연속적인 기능이다. 따라서 ∫은 L의¹ 모든 부분에 고유한 확장을 가지고 있다. 이 적분은 정확히 르베그 적분이다.

보다 일반적으로, 기능이 정의되는 측정 공간이 국소적으로 콤팩트한 위상학적 공간(실수 R의 경우와 같이), 적절한 의미에서 위상과 양립할 수 있는 측정(Radon 측정, Lebesgue 측정의 예가 됨)인 경우, 이들에 관한 적분을 동일한 방법으로 정의할 수 있다.컴팩트한 지지로 연속적인 기능의 통합으로부터 아지트. 보다 정확히 말하면, 압축적으로 지원되는 함수는 자연적인 위상을 전달하는 벡터 공간을 형성하며, (Radon) 측정은 이 공간에서의 연속적인 선형 함수로 정의된다. 압축적으로 지원되는 함수에서 측정값도 함수의 적분이다. 그런 다음 연속성에 의해 보다 일반적인 기능으로 측정(적분)을 확장하고, 집합의 측정을 지표 함수의 적분으로 정의한다. 이것은 부르바키(2004)와 일부 다른 작가들이 취한 접근법이다. 자세한 내용은 라돈 측정을 참조하십시오.

르베그 적분 한계

Lebesgue 통합의 주요 목적은 통합의 한계가 가벼운 가정 하에서 유지되는 통합 개념을 제공하는 것이다. 모든 기능이 르베그와 통합될 수 있다는 보장은 없다. 그러나 Lebesgue 통합이 가능하지 않은 기능에 대한 부적절한 통합이 존재할 수 있다. 예를 들면 sinc 함수를 들 수 있다.

전체 실선에 걸쳐서 이 기능은 다음과 같이 Lebesgue를 통합할 수 없다. 반면 $\int {}_{}^{}$ -${\mathrm{\infty }}_{\mathrm{}}^{}\frac{\sin }{}$ $\frac{\sin }{}$ $\frac{}{}$($\frac{}{}$) x $d$ $x$ x$$\$textstyle \int _{-\inflt }^{-\inflt }{x}}{x}dx}$은(는) 부적절한$$ 적분으로 존재하며 유한하다고 계산할 수 있으며 디리클레 적분의 2배이다.

참고 항목

• 앙리 르베그, 르베그 통합에 대한 비기술적 설명을 위해
• Null 집합
• 통합
• 치수
• 시그마알게브라
• 르베그 공간
• 르베그-스티엘트제스 통합
• 리만 적분
• Henstock-Kurzweil 적분

메모들

참조

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